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由一道最值问题引发的思考

2022-11-28刘航

语数外学习·高中版中旬 2022年9期
关键词:元法最值性质

刘航

最值问题比较常见,侧重于考查函数的图象、性质,方程的判别式,不等式的性质,三角函數的有界性等,解答最值问题的方法很多,如导数法、换元法、放缩法、基本不等式法、函数性质法等.下面结合一道例题谈一谈求解最值问题的方法,

目标式中含有两个根式,我们很难直接根据函数、不等式的性质求出目标式的最值,需采用基本不等式法、向量法、三角换元法求解.

方法一:基本不等式法

基本不等式法是指运用基本不等式:a+b≥2√ab(a、b>0)解题.运用基本不等式法求解最值问题要把握三个条件:(1)一正,即各项均为正;(2)_定,即两式的积或和为定值;(3)三相等,即当且仅当两式相等时等号成立.

方法二:向量法

向量法是指通过构造向量,运用向量知识求得问题的答案,该解法新颖,富有创造性,运用得当,往往可以收到事半功倍的效果,在运用向量法求最值时,通常要将已知关系式、目标式与向量的运算法则关联起来,构造出符合题意的向量模型,通过向量运算求得最值,

由目标式联想到同角的三角函数关系式sin2α+cos2α=1,通过三角换元,将问题转化为三角函数问题,利用正弦函数的有界性就能快速求得最值,

总之,在平时的解题训练中,同学们不要拘泥于一种解题方法,要学会从不同的视角去剖析问题,熟悉题目的通性通法,寻找更加简便、更富有创造性的解法,从而提升解题的效率.

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