巧构对偶式，妙解数学题

朱振贤

对偶式是指结构相似或相同，运算符号不同，运算顺序不变的两个式子．在构造对偶式时，通常可将已知式中的“．”变成“+”，“+”变成“．”，“0”变“l”，“1”变成“0”；再将对偶式进行适当的变换、化简，即可顺利求得问题的答案．该解法新颖别致，思路新奇，主要是根据代数式的对称性来将代数式简化，下面结合实例来进行探讨，

一、构造“和差”对偶式

在求解形如U（x）±V（x）的代数问题时，若采用常规方法难以使问题得解，则需转换思路，根据题目中的已知关系式或目标式的结构特点，构造与之相匹配的对偶式U（x）干V（x），再通过加减运算来消去变量，即可使解题柳暗花明．

二、构造“互倒”对偶式

构造“互倒”对偶式来解题，实际上就是利用代数式的倒数关系，将已知条件与所求目标式衔接起来，以此达到解题的目的，在解答代数问题受阻时，同学们要学会另辟蹊径，对式子中的某些元素取倒數，构造出对偶式，再通过变形、化简，求得问题的答案，

三、构造“互余”对偶式

在求三角函数值时，往往可以借助角之间的互余关系来构造对偶式，再将两式相乘，即可根据三角函数的诱导公式、和差角公式、倍角公式、辅助角公式将函数式化简，从而求得函数式的值．

由于sin10°、sin50°、sin70° 不是特殊角，所以很难快速求得目标式的值，于是利用角之间的互余关系，构造对偶式Y= cos10°cos30°cos50 ° cos70°；再将两式相乘，利用二倍角公式、两角和差公式即可求得X的值，

构造对偶式法较为灵活，同学们在解题时，要根据已知关系式或目标式的结构特点构造“和差”对偶式、“互余”对偶式、“互倒”对偶式，将问题转化为简单的代数运算问题，从而优化解题过程，提升解题的效率．