例谈解答排列组合问题的三种方法

李家森

常见的排列组合问题有分组问题、排队问题、分配问题、计数问题等，解答排列组合问题，需重点讨论完成一件事情所需要的步数、方法数，通常需灵活运用分类计数原理和分步计数原理来求解．那么对于不同的事情，如何计算步数、方法数呢？下面介绍三种方法．

一、优先法

若题目中的元素有特殊要求，则需采用优先法求解．首先分析题目中有特殊要求的元素的排列方式，再分析题目中其他没有特殊要求的元素的排列方式，最后利用分步计数原理进行求解，

例1．小明有A、B、C、D、E、F、G7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每个盒子只装1个小球．若A小球必须放进4号盒子里，有多少种不同的放法？

剖析：本题中的特殊元素为A小球，则需采用优先法，优先考虑A小球的位置，再考虑剩下的6个小球以及盒子的放置顺序，

解：先将A小球放进4号盒子里，有1种放法；

再将剩下的6个小球任意放进6个盒子里，有A =720种放法；

所以一共有A6A1= 720种不同的放法．

二、捆绑法

有些题目中要求几个元素必须相邻排列，此时可以运用捆绑法求解．先将必须相邻排列的元素捆绑起来看成“一个整体”，当做1个元素，与其他元素一起排列；然后考虑这个“整体”内部元素的排列顺序；最后根据分步计数原理求解，

例2．小明有A、B、C、D、E、F、G7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每个盒子只装1个小球，若放A、B、C小球的3个盒子的标号相邻，则一共有多少种不同的放法？

剖析：根据题意可知，要使放A、B、C小球的3个盒子的标号相邻，需将放有A、B、C3个球的盒子捆绑起来，视为一个“整体”，采用捆绑法求解．

解：将放有A、B、C3个球的盒子捆绑起来，视为一个“整体”，与其他4个盒子一起排列，有A51 120种放法；

将A、B、C3个小球放进标号相邻的盒子，有A3 =6种放法：

因此一共有A5A3_ 720种不同的放法，

三、插空法

有些题目要求某些元素不能相邻排列，对于这类问题，需运用插空法求解．先将没有要求的元素排列；再将要求不能相邻排列的元素插入已排列好的元素间的空隙中；最后利用分步计数原理求解即可．

例3．小明有A、B、C、D、E、F、C7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，并按照盒子的顺序摆成一排，每个盒子只装1个小球，要求放A、B、C3个小球的盒子的标号不相邻，且也不放在第一个位置，则一共有多少种不同的放法？

剖析：由题意可知，要使放A、B、C3个小球的盒子的标号不相邻，则需采用插空法，先将放D、E、F、G4个小球的盒子排列好，再将放A、B、C3个小球的盒子放在其他盒子间的缝隙中，

解：先将放D、E、F、G4个小球的盒子的顺序排列，有A4=24种方法；

这4个盒子之间有3个空隙，加上最后的位置，有4个位置，

再将装有A、B、C3个小球的盒子任意放置在这4个位置中，有C4=4种放法；

所以一共有A4C4=96种不同的放法，

优先法、捆绑法、插空法都是解答排列组合问题的常用方法，但每种方法的适用情形不同，优先法适用于求解有特殊要求的元素问题；捆绑法适用于求解元素相邻问题；插空法适用于求解元素不相邻问题，同學们在解题时，要仔细审题，先明确题目对元素的要求，确定是否有特殊元素，元素是否相邻，然后再选择与之相应的方法进行求解．