破解平面向量最值问题的两个“妙招”

马小芹

平面向量最值问题一般与动点、参数有关．这类问题具有较强的综合性，通常会考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、公式，平面几何图形的性质，本文结合例题探讨一下破解平面向量最值问题的两个妙招，

一、建立坐标系

當遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题，

解答该题，需根据已知条件AD⊥ CD，来建立平面直角坐标系．求得点A、B、C、D、E的坐标，并设出点E的坐标，便可根据向量的数量积公式求得AE-BE的表达式，最后根据二次函数的性质求得最值．

二、几何性质法

平面向量具有“数”“形”两重身份，因此在解答平面向量问题时，往往可采用几何性质法来求解，可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值，

解答本题，需先根据平面向量的共线定理证明A、B、C三点共线，根据圆对称性得出结论：AB是圆C的直径，然后利用向量的模的公式和向量的数量积公式求得PA-PB的表达式，将求PA-PB的最小值转化为求|PC|的最小值，而c为顶点，P点在直线l上，只需根据点到直线的距离公式即可求得最小值．

运用几何性质法解答平面向量最值问题，需仔细研究向量的几何意义，联系直线、中点的向量表达形式，把向量以点和图形的形式呈现出来，将向量的最值问题等价转化为平面几何中的距离、角度的最值问题，结合平面几何图形的性质来求解，

虽然平面向量最值问题较为复杂，但是我们只要能根据图形的特点建立合适的平面直角坐标系，根据向量的几何意义构造平面几何图形，便能通过向量的坐标运算，利用平面几何图形的性质，求得问题的答案，

本文系江苏省陶研会立项课题《高中生小组合作学习下数学错题反思的有效性研究》（课题批准文号：JSTY624）研究成果