具有多领导的Cucker-Smale模型的有限时间集群运动行为

2022-11-28杨施丹尤希舟茹立宁

苏州科技大学学报(自然科学版) 2022年4期

杨施丹，尤希舟，王俊，茹立宁*

（1.苏州科技大学数学科学学院，江苏苏州 215009；2.江苏科技大学理学院，江苏镇江 212003）

最近20年内，自组织粒子群的集群运动行为引起各个领域专家的兴趣，尤其是生物、物理、控制以及数学等领域[1-8]。集群运动行为是指鸟群、鱼群等生物群体只使用有限的环境信息和简单的通信规则，经过一段时间运动，最后实现速度同步。在描述上述运动的模型中，文中研究由Cucker教授和Smale教授创建的模型[9-10]：每个个体通过其他个体的影响作用来调整自己的速度。在Cucker-Smale（C-S）模型中，存在一个非常重要的衰减指数β：当0≤β≤1/2时[11-12]，无条件集群运动发生；而当β＞1/2时[9-10]，条件集群运动发生，且发生条件仅依赖于初值与模型参数。

C-S模型的新颖性与有趣性吸引了大量学者的注意力。受鸟群迁徙启发，Shen[13]把等级结构引入C-S模型，该模型所对应的Laplace矩阵是下三角矩阵。Li等人[14]利用（sp）矩阵研究了根领导下的C-S模型。Dong等人[15]进一步研究了一般有向图下的C-S模型，该模型是上述两种模型的推广。受这些模型的影响，刘友权等人[16]研究了仅有一个领导者的一维与多维C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的问题。需要注意的是，文献[16]假设影响函数具有下界，弱化了研究问题的难度。基于此，文中研究具有多领导的多维C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的问题。相较于仅有一个领导者的模型而言，首先，需要克服由多领导者的相互耦合所造成的研究难点，利用文献[17]的定理3.1，可以得到领导者在有限时间内发生集群运动行为，不妨设发生时刻为T1，因此在T1时刻后，领导者的速度相同；然后，把C-S模型转成一个新的误差模型，利用能量方法并构造Lyapunov函数研究该模型；最后，回归原始模型，得到系统在有限时间内发生集群运动行为。

1 预备知识

研究具有多领导的Cucker-Smale模型：考虑由N+M个个体组成的系统，其中个体N+1，N+2，…，N+M是领导者，个体1，2，…，N是跟随者。

对于M个领导者而言，满足如下模型

对于N个跟随者而言，满足如下模型

在系统（1）-（2）中，xi∈Rd，vi∈Rd分别表示个体i的位移和速度，α＞0是一个正常数。影响函数ψ是非负非增函数，具体表达式为：ψ（s）=1/（1+s2）β（β≥0）。｜｜·｜｜是l2-范数，即对于y=（y1，y2，…，yd）T∈Rd，有函数sig（y）θ=（sgn（y1）｜y1｜θ，sgn（y2）｜y2｜θ，…，sgn（yd）｜yd｜θ）T，其中，sgn:R→{-1，0，1}为符号函数，常数0＜θ＜1。

注：一方面，文中研究的多领导-多跟随者系统来源于文献[18]的3.2节“Flocking with multiple leaders”，多领导模型的具体定义见文献[18]的定义3.4。笼统地说，领导者仅受其他领导者的影响，而跟随者受跟随者以及领导者的影响。另一方面，对于一般有向图下的C-S模型，且该有向图含有生成树而言[15]，多领导-多跟随C-S模型是其特例。这是因为在系统（1）-（2）所对应的邻接图中，每个领导者都可以看成一个根，对其他领导者以及跟随者产生影响，从而该邻接图有M个生成树。综上所述，文中研究的模型是合理有效的。

C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的定义如下：

定义1如果系统（1）和（2）满足如下两个条件，则称该系统在有限时间内发生集群运动行为：

（1）速度的波动在有限时间内等于0：对于任意t≥T0，有｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，1≤i，j≤N，其中T0=inf{T:｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，∀t≥T}被称为收敛时间。

下面的两个引理在定理的证明中起到非常重要的作用。

引理1[19－20]设a1，a2，…，an是非负实数，若0＜r＜s，则