加强尺规作图建立几何直观

赵桂芳

（辽宁教育学院）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）“几何更强调直观”，更加强调通过尺规作图等几何作图活动过程来实现几何概念的直观建立。随着新课标的修订，各个版本的教材也将随之进行相应的调整与优化，但无论怎样变化，把握尺规作图相关内容的相互联系和内在逻辑，以及明确尺规作图在建立几何直观、发展核心素养方面的意义和价值应该成为数学教师的专业要求。

一、直观与几何直观

《辞海》的释义：直观即感性认识，其特点是生动性、具体性和直接性。《中国大百科全书》“哲学卷”的释义：直观是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。西方哲学家通常认为：直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。我国当代著名数学家徐利治教授提出：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”

新课标对几何直观行为特征的描述如下：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言的描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。建立几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

华东师范大学鲍建生教授说：“几何直观不仅能为学生学习几何知识、进行几何探究与推理提供便利，而且也能为学生理解与洞察其他更为抽象的数学内容与结构搭建桥梁，几何直观是启发问题解决思路的基本策略。”东北师范大学史宁中教授指出：“在思考问题时，我们往往通过画几何图形来理解问题，启发思路，得到结论，这是直观的三个本质功能。只有利用图形、图形的关系、图形的变化和运动的轨迹来实现直观的三个本质功能，才是几何直观。”可见，几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

二、尺规作图

尺规作图是几何作图的重要内容，是指用无刻度直尺和圆规进行作图。新课标“几何更强调直观”，更加强调通过尺规作图等几何作图活动过程来实现几何概念的直观建立（明确“是否存在？”如“圆的切线”等概念的建立）；更加强调基本尺规作图的理由（明确“为什么这样做？”）；更加强调作图背后的思考（明确“如何想到要这样做？”）。以第四学段为例，新课标中尺规作图相关内容的要求及变化如下。

【学段目标】通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系。

【内容要求】与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，新课标将基本作图“作一条线段等于已知线段”下移到第二学段（3~4年级）的“图形的认识与测量部分”，这样就共有4个基本作图，即作一个角等于已知角，作一个角的平分线，作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线；5个三角形作图，即已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高线作等腰三角形，已知一直角边和斜边作直角三角形。5个与圆有关的作图，即过不在同一直线上的三点作圆，作三角形的外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和内接正六边形。同时，新增“过直线外一点作这条直线的平行线”和“⋆过圆外一点作圆的切线”两个内容。

【学业要求】经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。

【教学提示】新课标中指出：“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法。

可见，新课标不仅把尺规作图作为一种几何任务，更重要的是将它作为一种感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具。

著名数学教育家傅种孙先生曾指出：“几何之务，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”具体到几何作图，达成上述“几何之务”则要求不仅能做出符合某种条件的几何图形，还要知道它的作图根据是什么，更要明白为什么会有如此限制以及如何想出怎么进行尺规作图，最终领会作图的内涵。

三、尺规作图与几何直观

随着新课标的修订，各个版本的教材也将随之进行相应的调整与优化，但无论怎样变化，把握尺规作图相关内容的相互联系和内在逻辑，以及明确尺规作图在建立几何直观、发展核心素养方面的意义和价值应该成为数学教师的专业要求。

（一）尺规作图是实现图形变化的科学手段，直观且准确

如作一条线段等于已知线段或作一个角等于已知角，相当于把已知线段或已知角利用图形变换移到到另外一个位置，使用圆规直尺可以非常精确地做出来，且大小不变，既直观又准确，比起用量角器和刻度尺来做要容易得多，也更加清晰严密。

（二）尺规作图是数学中反例说明的有效手段，直观且简洁

数学中说明一个命题是假命题的简单且常用方法就是举反例，而举反例的最有力证据之一就是画图。如“SSA”不能作为两个三角形全等的判定条件，若用尺规作图进行处理，很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有极强的说服力。

（三）尺规作图是基于图形感知的结论预判，直观且精巧

史宁中教授说：“数学直观是对数学对象和对象之间关系的一种直观判断。”有时候，一道题目我们要思考很长一段时间才能得出结论，而直观则能帮助我们快速做出判断。

例如，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则sin∠ABC的值为________。

很显然，这个题目需要先画图再分析求解，而部分学生会画出所谓的“草图”，然后作出BC边上的高，用勾股定理列方程求解（如图1）。这样做虽然答案不受影响，但解方程的计算量较大，也易使学生对知识理解不深入和机械套用模型。

图1

事实上，由该题题干可知，已知三边ΔABC是完全确定的，若用尺规作图规范画图，ΔABC是钝角三角形，而已知三边时三角形的三条高均可求，但实际求解过程中计算量的大小会有差异，哪个高相对来说更好求呢？当然是希望出现特殊角，而此三角形中是否有特殊角呢？学生直观感知就能发现：∠B和∠C不是特殊角。若考虑到∠BAC是特殊角，可尝试作出AC边上的高（如图2），由此很容易求得AD=2.5，再用面积法，可轻松求得AH的值。这样，问题便会轻松解决。教师若能引导学生进一步探究，可能还会有意想不到的收获（如图3）：有60°的外角时，补出等边三角形，又能发现两个特殊的三角形，即三边都是整数且有1个角是特殊角的三角形。无论是求三角形的面积，还是求某个锐角的三角函数值，所作高不同，求解的难易度会有很大的差异。像这样，教师应借助尺规作图培养学生的几何直观，引导学生在猜想中尝试，在尝试中发现，在发现中积累。

图2

图3

（四）尺规作图是学生实际执行的操作，直观且深刻

华东师范大学鲍建生教授说：“尺规作图等操作活动是一种手脑并用的活动方式，可以增强大脑中不同功能区域的联系，有助于发展学生的几何直观。”新课标提倡“让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。尺规作图中学生思考、作图、验证的过程正是这样的活动，让学生直观地感受、直观地体验。一方面，便于学生在体验中明确何为尺规作图及其相关要求；另一方面，便于学生在操作中领会尺规作图背后的数学思考，如“为什么要这样作？”“怎样想到要这样作？”等，在积累尺规作图基本经验的同时发展了其几何直观。

四、尺规作图的教学实施建议

从现行教材的尺规作图教学实施情况来看，目前尺规作图教学多数停留在“教师示范作法，学生模仿作图”的实施水平，仅仅表现为一种工具使用的程序性知识的学习，教学缺乏单元整体的系统设计，活动缺乏数学思维的深度参与。这实际上是对尺规作图教学水平要求的降低（缺乏道理的解析，更缺失作法的探析），更是对尺规作图在帮助学生有效建立几何直观等数学核心素养育人价值上的弱化。

基于尺规作图的教学现状，教师有必要按照新课标的相关要求，进一步规范与加强尺规作图的教学与研究，整体设计尺规作图教学，深度挖掘尺规作图中蕴含的思维营养，充分发挥尺规作图在建立几何直观等数学核心素养方面的育人价值。

（一）基于单元整体目标，明确尺规作图的地位与价值

尺规作图教学是单元整体教学的重要环节，教师需要明确局部与整体之间的联系，需要在单元整体目标的统摄下明确尺规作图教学的地位和价值。

（二）规范作图过程的实操示范，挖掘尺规作图背后的数学思考

尺规作图的教学具有“动手操作”和“动脑思考”两重教学价值。从“动手操作”的教学价值看，尺规作图属于程序性知识的教学，需要学生明确操作规范和操作程序，即明确尺规作图的要求、作法、步骤以及注意事项。从“动手思考”的教学价值看，教师要让学生去想为什么要这么做，这是尺规作图教学促进学生思维发展的关键环节。

（三）培养学生有效画图、用图思考、依图想象的习惯

在尺规作图的教学过程中，数学逻辑和数学直观相辅相成、交织关联。在具体的教学中，建议教师通过课程中的尺规作图教学，让学生逐步积累用图形理解数学概念、探寻解题思路等活动经验；不断增强几何概念、几何关系、几何结论等的存在感，不断明确尺规作图与图形判定（定义）内在的本质联系，逐步养成画图、用图的习惯，逐步建立几何直观，为学生核心素养的全面提升提供支撑。

（四）让尺规作图教学贯穿学生整个学习过程

尺规作图不仅是一种画图操作，更是一种数学思维、数学探究的过程，是知法明理的追溯。在学生学习的各环节，教师要有针对性地设计相关作图活动，通过尺规作图让知识有机融合，以学生的先行独立尝试开路，使其经历合情推理到演绎推理的过程，这也是几何直观到几何推理的过程。以下五点建议仅供参考。

1.以尺规作图为载体，进行新知的探索

如图4，探索全等三角形的判定定理,可以给定一个ΔABC，明确标注出该三角形的三条边和三个角的大小，要求学生在旁边复制一个ΔDEF，使得ΔDEF≌ΔABC。

图4

教师应关注：（1）学生会怎么操作？是否能体会到尺规作图的简洁方便？（2）学生作图是否规范？作图过程中是否能发现：复制该图形不需要所有条件都用上；（3）学生会有什么猜想？是否会主动尝试新的做法？（4）学生会有什么样的验证方法？叠合法外是否能合情推理？

2.以尺规作图为抓手，加深对命题的理解

如图5，“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件，教材中是用木棒拼摆举反例加以说明的，但教师的教学不该停留于此，应进一步引导学生反思：满足“SSA”的两个三角形是否有全等的情况？有哪些情形？这时尺规作图的直观性就能发挥最大效能。

图5

如图6，学生将木棒拼摆的图形抽象出这个反例后，会主动去思考：只要让图6中的弧线与射线BC只有一个交点即可。在尺规作图尝试的过程中，学生会想到图7、图8和图9的情况，并能进一步总结出：若“SSA”中已知角的对边大于或等于已知的邻边，三角形能完全确定；若“SSA”中已知角的对边小于已知的邻边，只有直角三角形时才能完全确定。到这里，学生的思考与总结已经非常到位。但为了进一步加深理解，针对图7，教师可以继续追问：什么情况下角的对边一定大于其邻边？这时图10和图11两个特例会很容易出现（其实图11就是“HL”）。这样，通过作图及反思，学生能更为深入地理解新学习的知识，同时增强思维的全面性和深刻性。

图6

图7

图8

图9

图10

图11

3.以尺规作图为媒介，促进思维的深入发展

几何作图的教学，若教师提出作图的目标，引导学生会从不同的角度出发，选择不同的方法、运用不同的定理解决问题，这样会更具开放性，更能考查学生知识运用的能力。为此，教学中教师可适时设计相关几何作图题，力求让学生在作图的过程中灵活运用新知。

例如，中考真题：用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是________。

显然，本题考查的是“SSA”的深入理解和灵活应用，若“满足SSA的两个三角形不一定全等”这个结论是学生经历全面的探究发现并自我总结得出的，那么解答本题就不会出现大多数学生因考虑不全面而“丢解”的情况。相反，若学生当初的学习只是机械的记忆，这道题就会是超级拉分题。

如图12所示，本题的答案是：b≥a或

图12

4.以尺规作图为牵动，促进知识的建构

应该说，尺规作图教学活动安排的时间节点不同，学生的作图思路和作图方法也会不同，但一定是随着知识的增加，学生的思维更灵活更发散。以“过直线外一点作这条直线的平行线”为例，教师可以从单元整体教学的理念出发，以问题解决为驱动，以知识的整合与延展为抓手，引导学生从不同的思考方向尝试给出具体的尺规作图操作，感悟尺规作图的合理性及图形的几何特征，形成局部的演绎体系。

如图13~图15，学生直接从平行线的定义、性质、判定出发，自然联想到构造“三线八角”的解题思路，并且思维能从角一般性（一般锐角）到特殊性（直角）合理展开，实现解决问题由通法到技巧的过渡。这种灵活运用图形的性质让数学作图更加简约的方式，培养学生优化意识的同时也让学生感受到此类作图依然是继承了尺规作图的道理，培养学生逻辑推理的同时发展学生的几何直观。

图13

图14

图15

如图16~图21，会有部分学生思维更加灵活，从一个点通过联想打通数学学习的各个知识板块之间的关联，进而产生更多的作图方法。这种经历“草图—分析—验证—反思”的自我探究和发现的过程，是发展学生几何直观的良好契机。

图16

图17

图18

图19

图20

图21

特别要指出的是，在探析做法的过程中，教师应强调一般化的思考方法，引导学生形成一般化的思维习惯，感悟尺规作图的合理性及图形的几何特征，感悟尺规作图的魅力在于它内隐的作图道理——图形性质的运用。

5.以尺规作图为工具，彰显学科的融合

几何直观的养成依赖于学生对数学对象本质的认识，依赖于学生数学活动的经验。小到学习小组或班集体的徽标，大到奥运会或国际会议的徽标，教师都可以鼓励学生积极参与设计。如在探究性作业、实践性作业、长周期作业等中融入这种开放性的图案设计活动，既是作图技能的再次巩固，作图道理的再次理解，作法步骤的再次实践；又是展现学生动手操作能力，发展学生应用意识与创新意识，促进学生思维发散及语言表达的最好载体；更是渗透数学文化，发现美与创作美，落实立德树人根本任务的最好体现。