有界线性算子的a-Browder 定理及(R1)性质

车雨红，戴磊

（渭南师范学院数学与统计学院，陕西 渭南 714099）

1909年，WEYL［1］发现Hilbert 空间中自伴算子的Weyl 谱等于该算子的谱集去掉有限重的孤立特征值，该结论被称作Weyl 定理。之后，出现了许多Weyl 定理的变形和推广，如定义了a-Browder 定理及(R1) 性质等［2-9］；(R1) 性质是Weyl 定理的变形［10-13］。本文将讨论有界线性算子的a-Browder 定理与(R1)性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder 定理且具有(R1)性质的条件。作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder 定理且具有(R1)性质的判别定理。

1 预备知识

文中，H表示无限维复可分的Hilbert 空间，B(H)为H上有界线性算子的全体。若T∈B(H)，N(T)和R(T)分别表示T的零空间和值域，则可用T的零空间N(T)的维数n(T)和R(T)的余维数d(T)的有限性定义半Fredholm 算子：若n(T)<∞且R(T)为闭集，则称T为上半Fredholm 算子。若T为上半Fredholm 算子且n(T)=0，则称T为下有界算子。若d(T)<∞，则称T为下半Fredholm 算子。若n(T)<∞且d(T)<∞，则称T为Fredholm算子。当算子T为半Fredholm 算子（上半Fredholm算子或下半Fredholm 算子）时，其指标定义为ind(T)=n(T)−d(T)。若ind(T)=0，则称T为Weyl算子。算子T的升标asc(T) 为满足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数，当这样的整数不存在时，记asc(T)=+∞；算子T的降标des(T)为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非负整数，当这样的整数不存在时，记des(T)=+∞。若asc(T)<∞且des(T)<∞，则可证明asc(T)=des(T)。若算子T有有限的升降标，则称T为Drazin 可逆算子。若算子T为有有限升标和有限降标的Fredholm 算子，则称T为Browder 算子。可证明T为Browder 算子当且仅当T为半Fredholm 算子，且当λ充分小时，T−λI可逆。用σ(T)表示算子T∈B(H)的谱集，通过上述叙述，算子T的逼近点谱σa(T)、上半Fredholm谱σSF+(T)、Browder谱σb(T) 可分别定义为：

其中，C 表示复数域。分别记σ(T)，σa(T)，和σb(T)的余集为ρ(T)=Cσ(T)，ρa(T)=Cσa(T)，ρb(T)=Cσb(T)，ρSF+(T)=CσSF+(T)。ρSF(T)表示算子T的半Fredholm 预解集，ρSF(T)={λ∈C：T−λI为半Fredholm算子}。令ρea(T)={λ∈C：T−λI为上半Fredholm 算子且 ind(T−λI)≤0}，ρab(T)={λ∈C：T−λI为上半Fredholm算子且asc(T−λI)有限}，则σea(T)=Cρea(T)和σab(T)=Cρab(T)分别表示算子T的本质逼近点谱和Browder 本质逼近点谱。

算子值域的闭性及算子的Kato 性质在算子理论中具有重要作用，设ρk(T)={λ∈C：N(T−R((T−λI)n)}，其余集σk(T)=Cρk(T)称为算子T的Kato 谱。记σc(T)={λ∈C：R(T−λI)不闭}，令ρc(T)=Cσc(T)。另，记σ0(T)为由算子T的所有正规特征值组成的集合，即σ0(T)=σ(T)σb(T)。若集合E为复数集C的子集，则isoE，accE，∂E和intE分别表示集合E的孤立点的全体、聚点的全体、边界点的全体及内点的全体。

2 有界线性算子的a-Browder 定理及(R1)性质

注1（1）算子具有(R1)性质，并不能推出其满足a-Browder 定理。

例1设A，B∈B(ℓ2)，定义

可见，算子T既不满足a-Browder 定理，又不具有(R1)性质。

（4）当算子T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质时，ρea(T)=ρa(T)∪ρb(T)。

由注1，知a-Browder 定理和(R1)性质在形式上较相似，但并无必然联系。下面讨论算子T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质的充要条件。

定理1设T∈B(H)，T满足a-Browder定理且具有(R1)性质等价于σb(T)=σea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]。

推论2设T∈B(H)，则下列叙述等价：

（1）T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质；

由于算子的本质逼近点谱σea(⋅)不满足谱映射定理，所以对任意多项式p，p(σea(T))=σea(p(T))当且仅当对任意的λ，μ∈(T)，ind(T−λI)ind(T−μI)≥0［15］。由定理1，可得：

推论3设算子T∈B(H)，则下列叙述等价：

（1）σb(T)=σea(T)；

（2）σ(T)=σa(T)，T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质；

（3）σb(T)=σea(T)，对任意多项式p，p(T)均满足a-Browder 定理且具有(R1)性质。

证明由定理1，知（1）⇔（2）成立。

（1）⇔（3）。假设（1）成立，则对任意的λ∈(T)，有ind(T−λI)≥0。事实上，若存在λ0∈(T)，使得ind(T−λ0I)<0，即λ0∉σea(T)，λ0∉σb(T)，从而ind(T−λ0I)=0，矛盾。此时σea(⋅) 满足谱映射定理，即对任意多项式p，有p(σea(T))=σea(p(T))。由于Browder谱σb(⋅)满足谱映射定理，所以对任意多项式p，有

σb(p(T))=p(σb(T))=p(σea(T))=σea(p(T))。由定理1，知p(T)满足a-Browder 定理且具有(R1)性质。

（1）⇔（2）⇔（3）得证！

继续讨论算子函数满足a-Browder 定理且具有(R1)性质的条件。

注3（1）当T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质时，并不能推出T的算子函数满足a-Browder定理且具有(R1)性质。

例5设A，B，C∈B(ℓ2)，定义

（2）若存在多项式p，使得p(T)满足a-Browder定理且具有(R1)性质，并不能推出算子T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质。

由注3 可知，T满足a-Browder定理且具有(R1)性质并不等价于T的所有算子函数满足a-Browder定理且具有(R1)性质。

令(T)={λ∈C：T−λI为半Fredholm 算子且ind(T−λI)<0}。

定理2设T∈B(H)，则对任意多项式p，p(T)满足a-Browder 定理且具有(R1)性质当且仅当

实际上，定理2（2）等价于对任意的λ，μ∈(T)，有ind(T−λI)ind(T−μI)≥0，于是有：

推论4设T∈B(H)，则对任意多项式p，p(T)满足a-Browder 定理且具有(R1)性质等价于：

（1）T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质；（2）对任意的λ，μ∈(T)，有ind(T−λI)ind(T−μI)≥0；

（3）若σ0(T)≠∅，则σb(T)=σea(T)。

对算子T∈B(H)，若σb(T)=σea(T)或σa(T)=σea(T)，则算子T满足a-Browder 定理且具有(R1)性质。

推论5设T∈B(H)，则对任意多项式p，p(T)满足a-Browder 定理且具有(R1)性质等价于：

定义1［16］若x∈H，则称T∈B(H)为∗-paranormal 算子；若对任意的λ∈C，T−λI均为 ∗-paranormal算子，则称T∈B(H)为完全∗-paranormal 算子。

当T为完全∗-paranormal 算子时，对任意的λ∈C，T−λI有有限升标，有：

（1）σea(T)=σab(T)，即T满足a-Browder 定理；

（2）对任意的λ∈(T)，有ind(T−λI)≤0；

（3）对任意多项式p，p(T)满足a-Browder 定理。

推论6设T∈B(H)为完全∗-paranormal 算子，则对任意多项式p，p(T)具有(R1)性质等价于：

（1）T具有(R1)性质；

（2）若σ0(T)≠∅，则σb(T)=σea(T)⇔σb(T)=σea(T)或σa(T)=σea(T)。

当T∗为完全∗-paranormal 算子时（T*为T的共轭算子），σb(T)=σea(T)。

推论7设T∈B(H)，若T∗为完全∗-paranormal算子，则对任意多项式p，p(T)满足a-Browder 定理且具有(R1)性质。