关于大学教育数学的设想*

王雷 李丽

（1.吉林财经大学 吉林长春 130000；2.吉林省医药中等职业学校 吉林长春 130000）

伴随着社会的发展和科技的进步，数学在其中扮演的角色愈加重要。以至于著名数学教授叶其孝先生深有感触地评价：“高技术的出现把社会推进到了数学工程技术时代，高技术本质上是数学技术。”从某种意义上讲，大学生的数学受教育程度和水平直接关系到未来中国的国民综合素质、科技实力乃至综合国力。当今社会对于应用型和复合型数学专业人才的需求业已达到了前所未有的程度。然而，大学数学教育的发展在很多方面跟不上时代前进的步伐，有滞后甚至落后的现象，尤其是在数学教育领域里师生的功利思想严重限制了教育教学质量。很多学生盲目地应付考试、追求高分，死记硬背进行程式化学习，机械地模仿在短期内确实让他们记住了规定步骤和计算方法，取得了学分。但是如果将时间拉长，着眼于五年、十年甚至更长的时间段，这部分学生由于数学思想、精神没有理解、领悟和彻底吃透，脑子里数学的思维意识也没有达到根深蒂固的程度。在这种情况下，一旦遇到实际问题往往会不知所措，无法举一反三、触类旁通，更谈不上打破常规和开拓创新了。

如何与时俱进地发展大学数学教育呢？早在1989 年，张景中院士在著作《从数学教育到教育数学》中曾打了这样一个十分贴切的比方：“学数学好像吃核桃。核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。如若砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净。”表面上，这段话给出了数学教育和教育数学的联系与区别，其实它指明了今后大学数学教育的一个极其重要的发展方向，即在深化数学教育改革的过程中不断推进教育数学的成长。通过改造甚至重构大学数学自身的形态，来降低数学学科特有的抽象难度，让数学教育变得易学宜教，从而提高大学生的学习兴趣，减少功利性学习成分。对于具体实施层面上的教育数学，我们应该立足于大学数学教育的长远发展，明确培养大学生“大数学观”、数学模型意识以及创新能力的战略目标，以促进大学生“用数学思考”和“在数学上行走”为抓手，以课堂教学范式改革为驱动力，遵循教育规律和认知规律，革新教学内容和教育模式，设计好数学教育教学改革进程中的教育数学发展路线图，通过激发大学生的个人潜能，提高他们的综合素养。

从纯粹数学到教育数学的转化是一项系统且深刻的教育变革，需要在教育思想、内容、范式、培训等诸多环节上做出相应的调整，此处我们着重阐述知识更新、范式改革以及过程考核这三个侧重点。首先，教育数学要适应人才培养要求，及时更新换代教学内容。大学数学知识本身是动态的和发展的，绝对不是一成不变的，哪怕对于那些放之四海而皆准的真理也同样需要随着时代的发展不断地丰富内涵和拓展外延。大学数学课堂不仅要向大学生传授既有的数学思想、工具和方法，更关键的是要展示最新的前沿研究成果，探讨开创性的数学技术方案。大学数学教材改革要体现时代性、趣味性、直观性、启发性、技巧性、逻辑性以及简易性。同时，教学内容的前瞻性、深刻性和思想性也正是培养时代需要的创新型数学人才的重要前提条件。在实践中，我们要力争打破“数学无用论”，集成优秀教学模块，弘扬数学的多维价值。由于数学思想普遍渗透到应用学科和交叉学科中，我们需要从中挖掘有用素材，补充经典案例、文化背景、数学、模型、前沿成果和哲学观点等知识到教材中，丰富大学生的知识结构，开阔他们的学术视野。这里不妨举几个例子。一补充交叉学科的特色案例。如将经济学著名的生产要素最优组合问题补充到微积分教材之中，假设生产函数只依赖于劳动投入量和资本投入量，而后两者同时满足特定成本方程。生产经营者关心一定成本条件下的最大产量问题，它可以归结为利用拉格朗日乘子法求解条件极值问题，这里极值理论帮助到工厂优化配置生产要素。学生阅读此案例自然会觉得数学理论的确是实实在在的有用，学习也不是“空对空”并且摸不着头脑的。二、从哲学视角审视数学之美。计算机之父冯·诺依曼曾经指出“微积分是近代数学中最伟大的成就”，它承载了海量文化信息，其中不乏令人赞叹的奇思妙想和世代相传的传奇佳话，更有随处可见人类思想的流淌，处处充斥着曲与直、变与不变、运动与静止、有限与无限、局部与整体、精确与近似等等辩证关系。历史上，两位科学巨人牛顿和莱布尼兹共同发明了微积分基本定理，被后人称为牛顿-莱布尼兹公式。该公式深刻地揭示了微分和积分的辩证统一关系，在微分学和积分学之间搭起了一座意义深远的桥梁，至此微分学和积分学合二为一，成为一个自封的、强大的科学体系。我们在教材上以备注方式解释何谓既对立又统一的辩证关系。一方面，微元经过无限作和，从量变到质变，不断累积成为总量；另一方面，总量经过无限细分，可以不断地退化成微元。大学生看到这部分内容会有一种“不识庐山真面目，只缘身在此上中”的感觉，他们仿佛远远地站到“数学圈外”，正在以一种哲学观点来欣赏数学之美，领路数学思想的博大精深和无穷魅力，熏陶数学情感和人文情怀，从而增进对数学本质的再认识、再理解和再领悟。三、传承数学建模思想。建立量化模型是数学特有的观察、思考、分析和处理实际问题的方法和手段。从人才培养的高度看待数学建模教育，及早帮助学生确立模型观点并且接触包括假设、建模、求解、解释和验证在内的基本建模方法，对于培养学生的应用能力、合作精神、创新意识有着独特的作用。如在谈到第二个重要极限的应用时，引入雅克比·贝努力连续复利模型。学习到这里，学生一定会感受得到：生活中随处是数学，模型是用数学刻画生活的语言和方式，学习建模也就是在体验生活。四、融入思政教育元素。如微积分的课程体系中蕴含了严谨、理性、辩证、简洁、分明的最上层之美，具有天然的思想教育功能。从微分、积分、级数、微分方程等主要知识点中挖掘马克思列宁主义思政元素并融入教材之中，在大思政教育背景下，讲好中国数学家的故事，弘扬中华数学文化，深化学生的生活感悟，补强隐性思政教育短板，帮助大学生塑造独立、健康的人格和科学的、正确的人生观、价值观和世界观，实现德育育人目标。

其次，构建生成性数学课堂，创新数学教学范式。伴随着大学数学课程教学内容的重新整合，知识结构变得更加开放，学习过程变得更加灵活和自由，课堂教学也更多地承载着激活大学生的创造意识、唤醒创新精神以及教会他们如何自主学习和独立学习的教育职能。生成性课堂为师生提供了一个共建、共享、对话、协作、体验和创新的教学平台，它不是传统意义上教和学的简单加法，而是二者的有机融合。该课堂教学范式致力于培养大学生的思辨能力，注重启发和引导，提倡突破现存观念和模式的限制，同时鼓励质疑、反思、合作和创新。在这种学习氛围中，教师和大学生的主体性地位互换。教师从知识传授者逐渐转变成为学习对话者和思维启迪者，学生从被动接受者逐渐转变成为主动研究者。在具体操作层面上，我们的主要想法包括以下四个方面。一、广泛使用数学实验软件和现代多媒体技术，提高教学内容的可视性和生成性。在很多情况下，数学的难度源自抽象，课堂上如果能够使用数学软件绘制出图形甚至制作出动画，边讲边演示更直观、也更生动。学习者往往会自然而然地置身其中概括和归纳出相应的规律、公式和结论。数学教学上应用几何直观胜过千言万语，可以达到事半功倍的良好效果。二、重视传承数学思想方法为主的文化信息。由于微积分课程并非单纯介绍知识，而是非常重视思维训练尤其是演绎分析与逻辑推理的一门课程。因此，在《微积分》课程的教学中，教师需要明确其中重要的数学思想、精神实质并交代给学生，如使他们了解局部线性化的思想、会用微元法解决实际问题、理解微分方程建模思想等等。三、数学课程的课堂教学方式从单一的讲授式逐渐转向案例式、类比式、启发式以及讨论式等多种教学方式的综合运用。接下来，我们顺次介绍几种教学方法及其应用。（一）案例教学法。按照高等院校人才培养要求，在数学课程的教学中要凸显服务所学专业的特点。在经管专业数学教学中，教师根据专业特点，提倡从解决经济管理领域中的实际问题入手，建立和求解数学模型。这些数学模型包括导数经济意义：边际和弹性以及最值理论、级数理论在经济与管理问题中的应用等。（二）类比教学法。在数学课程的教学过程中，教师要关注各知识点之间的联系，注重类比引导，使学生理解新旧知识的区别与联系，培养他们观察问题、思考问题、分析问题以及解决问题的能力。如将二重积分的定义和性质与定积分的定义和性质作类比，找出相同点与差异点，引导学生在比较中思索，加深对二重积分知识的理解和记忆。（三）启发式教学法。在课堂教学中，教师要多注意激发学生学习兴趣，调动他们的学习积极性，多以启发性语言展开讲解，给学生留出一定的想象空间，引导他们发挥想象力积极思考，不断探索。（四）讨论式教学法。以问题驱动学习，通过提出问题，再分析问题的本质，一步一步探讨解决问题的思路，最后给出解决问题的方法。还原科学发现过程，培养学生数学思考、应用和创新能力。四、基于“把课堂还给学生”的理念，将研究生数学教育中普遍采用的“自主式”教学模式局部地嵌入到本科生数学课堂上来，即实施 “半自主式”的教学模式。“半自主式”模式让认识过程中的必不可少的质疑、理解、反思的链条得到修复，学生可以更大地发挥主观能动性，真正成为课堂教学活动的“主角”，他们可以大胆的质疑，可以展开辩论，可以凭兴趣交流，甚至可以挑战教师的权威。而教师只负责设计教学方案，把握教学方向，测评及教学成效，总结教学经验。相较于传统数学教学，教师功能从单一的“授业”逐步转变成“传道”“授业”“解惑”兼而有之。“传道”即“授人以渔”，传授学生学习的能力和方法，“授业”只教授给学生“不教不能懂”的知识点，“解惑”包括普通的答疑和布置带有启发性的习题。事实上，这种模式寓教于乐，既锻炼了学生的数学思维，又深化了他们对数学知识的理解和领悟。同时，教学相长也直接促进了教师的专业成长。

最后，强调大学数学课程教学效果的过程性考核，科学合理建立、设计和优化评价指标。对于如何保证生成性课堂活动的教学质量问题，是否需要重新建立一套行之有效的评价体系，还是只需要简单地“复制”常规的大学数学课堂教学量化指标体系？答案是显而易见的，我们只能不断地改造、完善和更新当前的评价体系，使之更加适应新的教学形态。我们所要确定的评价体系一定不是淡化学生对于大学数学知识的掌握程度，而是强化了监测学生学习状态的即时性和准确度。从评价维度上看，则应当更倾向于诸如学习兴趣、过程体验以及创新能力等在内的内生和成长性项目。考虑到数学学科自身的特点，通过与学生进行私下沟通和交流，感受他们真实的学习状态，诊断学习上存在的不足和问题，在教学理念、内容、形式和方法上及时做出相应的调整，提出个性化的教学整改方案是十分必要的。作为教育工作者，我们不能仅仅关注学习者的认知因素，而应当更加重视非认知因素的作用和影响。比如我们需要尽力帮助学业上遇到困难的学生找到自信心并迎头赶上。之前有关于教育数学的研究已经表明：这种新的教学形态更容易被学生所接受，而学习成绩的提高和能力素质的增强与之均存在显著的正相关性。然而，现实中受教育者的个体差异仍然是一条不可忽视的客观因素，我们不能期望所有学生都能从教育数学中获益，教育数学也只是提供了一条通向数学殿堂的道路，同学们可以没有障碍地迈出前进的第一步。我们完全有理由认为衡量教学效果的好坏的标准中最基本的一条，不是天赋高低，不是勤奋程度，不是能力强弱，而是学生头脑中是否已经初步形成了数学思想意识。

综上，在中国大学数学教育改革进程中，教育数学研究是一项需要大量投入、不断试错并且探索前行的关键课题，其研究意义应该获得社会各界特别是数学教育界的充分重视。无论是从探讨中国大学数学教育理论的专业角度，还是站在服务于未来国家社会经济发展大局的高度，当代数学教育工作者均有责任、有义务深耕于教育数学领域，系统地开展理论研究与实证分析，共同携手、奋力开创中国大学数学教育的崭新时代。