浅谈高中数学中抽象函数的解题策略

王云龙

（山西省晋中市寿阳县第一职业中学校 山西寿阳 045499）

通常将没有给出具体解析式，仅给出体现函数特征的式子的函数称为抽象函数。抽象函数的表现形式具有较强的抽象性，抽象函数问题因此成为高中数学整个函数的重难点内容之一。关于抽象函数的解题方法，目前高中数学教学中多包括赋值法、换元法、凑合法及待定系数法等多种解题策略。总体来看，对抽象函数问题的解决，始终需要学生带着抽象思维进行理解，教师在教学中仍然要注重学生抽象思维的激发和抽象思维运用能力的培养。

一、抽象函数介绍

1.抽象函数概念

抽象函数在一定程度上对立于具体函数，但并非完全对立。事实上，抽象函数在具体函数性质的基础上变化而成，抽象函数作为函数的重要内容贯穿于高中数学教学始终。通常以初等函数为模型的抽象函数是抽象函数问题的解题出发点，通过分析判断抽象函数蕴含的性质，采用赋值法、换元法等解题方法使其简单化，从而准确抓取抽象函数问题的解题突破口。抽象函数的基本问题主要是指在没有给出具体函数解析式，仅给出能够体现函数性质或已知关系的条件，在此情况下要求学生求解函数的解析式、函数值或参数值、定义域等均属于抽象函数的基本问题。由于缺少函数解析式而导致对抽象函数问题的理解更加抽象，关于抽象函数问题的解题思路和方法相比基本常规函数更具复杂性。

2.抽象函数解题思路

首先，需要明确抽象函数问题的必备条件，学生应当对函数的概念、性质特点等进行深刻理解并熟练应用，以此作为攻克抽象函数问题的关键点，只有抓住抽象函数问题的本质，明确题目已知的必备条件，才能更好地转换解题思路。对学生来说，切忌一直抓着抽象函数解析式这一未知因素不放，容易使学生走入解题误区。抽象函数的解析式尽管是一个未知函数，但它具有真实具体、客观存在的特性，即抽象函数的相关特性是具象化的，并非是抽象的，学生只有认识到这一点才能巧妙转换解题思路，对学生来说应当重点把握的是具象化的东西。

其次，抽象函数常用的变化要领主要包括抽象函数的性质与不同变量间的联系。学生要善用抽象函数的性质，一方面利用奇偶性去掉抽象函数符号“f”前的正负号；另一方面利用函数单调性去掉函数符号“f”。另外，学生应当善用洞察抽象函数中间变量间的关系。由于抽象函数多以复合函数的形式出现，如f（-1/（1+X））等，通过对复合函数的概念进行理解可以得出-1/（1+X）即为中间变量，-1/（1+X）作为f（X）的自变量，同时-1/（1+X）自身也以X为自变量成为函数。学生应当分析抽象函数中间变量间的特点与联系来进行合理变换[1]。

二、抽象函数解题常见问题

1.抽象函数求值问题

抽象函数求值问题采用赋值法，通过观察并带入0或1等特殊值来求解，同时学生要重点考虑函数定义域及其性质作用，如定义域的边界对抽象函数问题解题产生的影响。另外，也可采用解方程或解方程组法进行求解。

例1：已知定义域为R的函数f（x）同时满足（1）f（2）＝1，f（6）＝1/5，（2）f（x·y）＝f（x）+f（y）两个条件，求f（3），f（9）的值。

解析：令x＝2，y＝3，得f（6）＝f（2）+f（3）。∵f（2）＝1，f（6）＝1/5，∴f（3）＝-4/5.又取x＝y＝3，得f（9）＝f（3）+f（3）＝-8/5.针对抽象函数求值问题应当观察函数的已知条件与未知间的联系，通过合理复制使得x＝2，y＝3，此时将已知条件f（2）＝1，f（6）＝1/5与未知的f（3）联系起来进行求解。

2.抽象函数求奇偶性问题

抽象函数求证奇偶性问题采用定义法，仍然需要观察并带入特殊值进行变换，得到满足奇偶性定义的关系式进行求解。

例1：已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于零的实数x1，x2，有f（x1·x2）＝f（x1）+f（x2），判断函数奇偶性。

解 析：取x1＝-1，x2＝1，得f（-1）＝f（-1）+f（1），∴f（1）＝0.又 取x1＝x2＝-1，得f（1）＝f（-1）+f（-1），∴f（-1）＝0。令x2＝-1，则f（x1·（-1））=f（x1）+f（-1）=f（x1）。即f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数。

3.抽象函数求单调性问题

抽象函数求证单调性问题采用定义法，如已知题目为和差式时通过作差f（X1）-f（X2）与0比大小的方式进行求解。当已知为商积式时需要作商f（X1）/f（X2）与1比大小的方式进行求解，此时f（X2）非0。当抽象函数满足的关系式看作给定的运算法则，则函数变量赋值或变量数值的分解与组合应当与抽象函数已知或所给条件、所求结果密切关联。

4.抽象函数求解析式问题

抽象函数求解析式的问题，一方面，当学生根据已知条件推断出函数模型时可利用待定系数法进行求解；另一方面，当学生无法推知函数模型时，需要采用解方程（组）法进行求解。对抽象函数解析式的求解仍然是高中数学函数教学部分的重难点问题之一。关于抽象函数求解表达式问题可采用换元法、凑合法、待定系数法以及函数性质法、赋值法等多种方法进行求解[2]。

利用抽象函数性质构造一个新的方程式，通过与已知方程式进行联立求解，这是抽象函数常见题型较多使用的解题思路。关于抽象函数题型常用的解题方法包括函数性质法、特殊值法与解方程法等。其中函数性质法是指利用函数性质进行直接求解或进行变换求解，特殊值法是指利用函数特殊值进行求解，解方程法主要通过联立方程组进行求解。

三、抽象函数常见解题策略

1.换元法

对抽象函数问题的求解采用换元法化函数抽象为具体，通过分析抽象函数性质特点将其转化为具体函数进行求解，采用换元法求解时需要注意新元的x取值范围。换元法适用于抽象函数问题求解析式的情况，即利用函数中间变量表示函数原自变量x的代数式，进而求出函数f（x），在证明某些公式、等式解题过程中同样适用，对学生的灵活变形能够有着较高要求[3]。

2.图像示意法

图像示意法也可被称为数形结合法，图像示意法在抽象函数问题求解中应用较为普遍，一些示意图根据题意作出m个孤立点，借助示意图将抽象转化为具体化，帮助学生更直观地观察对比函数，减少学生的推理难度和计算量。

3.穿脱策略

采用穿脱策略主要是指在已知条件中穿插函数符号并去掉函数符号来达到穿脱的目的，对于一些抽象函数问题需要根据函数值相等或函数单调性完成对函数符号的穿脱，本质上在于对抽象函数问题已知条件的简化，此时需要利用函数单调性定义使问题变得具体化。

4.模型化策略

学生根据抽象函数题目给定的已知关系进行大胆猜想，结合抽象函数性质生成函数原始模型，明确函数猜想目标，利用函数性质进行探索和求解。模型化策略法多应用于选择、填空等类型的抽象函数问题，在解答题中应用模型化策略能够给学生带来一定的解题思路，起到指导验证的作用，运用类比模型使抽象函数问题变得具体化。

5.赋值法

高中数学教学中，抽象函数多以复合函数方程的形式出现，在对这类抽象函数进行求解时需要让题目变量取0或1等特殊值来进行辅助求解，同时采用赋值法能够凸显解题的规律性[4]。

6.特殊模型法

特殊模型法主要是指结合抽象函数的性质特点找出与之对应的具体函数模型，进一步研究抽象函数模型的其他性质。高中数学教学中常见的抽象函数对应的具体函数模型主要包括：（1）当抽象函数f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）时，对应特殊函数模型为f（x）＝k x（k≠0）；当f（x1+x2）＝f（x1）·f（x2）时，f（x）＝ax（a＞0且a≠1）；当f（x1·x2）＝f（x1）+f（x2）时，f（x）＝logax（a＞0且a≠1）；当f（x1·x2）＝f（x1）·f（x2）时，f（x）＝xa（a为常数）等，包括线性函数模型抽象函数、二次函数型抽象函数和指数函数性抽象函数、对数函数型抽象函数。

7.函数性质法

通过函数的性质表现函数的特征，包括单调性、奇偶性、对称性及特殊点等性质反映函数特征。在求解抽象函数问题时需要充分挖掘已知条件下表明或隐藏的函数性质，进行等价转换，化抽象为具体，化难为易。由函数性质法衍生出来的解题策略主要包括奇偶性整体思考法、单调性等价转换法、周期性回归已知法以及对称性数形结合法等[5]。

例1：已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）[1-f（x）]＝1+f（x），求证当f（1）＝2＋√3，求f（2001），f（2005）的值。

解析：由条件可知，f（x）是周期为8的周期函数。f（2001）＝f（1）＝2＋√3。f（2005）＝f（5）＝f（1+4）＝-1/f（1）＝ -1/（2＋√3）＝-2＋√3。

关于抽象函数中的奇偶性，通常对于函数f（x）定义域内的任意x，有f（-x）＝f（x）或f（-x）＝f（x），则称f（x）为这一定义域内的奇函数或偶函数。通常奇函数的图像关于原点对称，偶函数的原点关于y轴对称。

例2：已知函数f（x）对于任意实数x、y满足f（x y）＝f（x）+f（y），判断f（x）的奇偶性。

解析：令y＝-1，得f（-x）＝f（x）+f（-1），又f（-1）＝0，即f（-x）＝f（x），∴f（x）是偶函数。

关于抽象函数中的周期性，对于函数f（x）若存在非零常数T，当x取定义域内每一值时有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）称为周期函数，非零常数z叫做函数的周期。如f（x+1）＝f（x），则T＝1（1为非零常数，且1为函数周期）。当f（x+z）＝-f（x），则T＝2z（z为非零常数）。

例3：已知f（x）是R上的奇数，且f（x+3）＝-f（x），求解f（2004）的值。

解析：∵f（x+3）＝-f（x），∴f（x+6）＝f（x+3+3）＝-f（x+3）＝f（x），即周期＝6.又∵f（x）是R上的奇数，此时有f（0）＝0，因此f（2004）＝f（6×334）＝f（0）＝0。从解题步骤抓取题目关键点，∵f（x+3）＝-f（x），以此得出抽象函数的周期值为6；当奇函数f（x）在x＝0处有定义，此时必有f（0）＝0。

关于抽象函数中的单调性，假设函数f（x）定义域为M，对于M定义域内的任何一个区间上的任意两个变量值x1，x2，当x1＜x2时，此时有f（x1）＜f（x2）或fx1＞f（x2），即f（x）在m区间上为增函数或减函数。

例4：当定义在M区间的函数同时满足（1）（2）两个条件：（1）f（x+y）＝f（x）+f（y），x，y∈M；（2）当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝-2.此时求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值。

解析：有已知条件（1）可得出f（x）为奇函数，∵x1＞x2＞0时，f（x1）-f（x2）＝f（x1）+f（-x2）＜0，∴f（x）是M区间上的减函数。由此得出函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值为6和-6.

四、关于抽象函数解题的几点思考

高中数学抽象函数解题是学生思维发散的过程，从理解问题到探索和转换问题，直至最后解决问题，形成完整的思维活动。在解题思维活动过程中，为保证学生猜想、假设、观察、联想方向的准确性，一些解题思路、解题策略方法的应用尤为重要。总体来看，依据抽象函数性质特点，学生在解题抽象函数问题时应多考虑以下几方面掌握解题方法，包括熟悉化、简单化、具体化、直观化即整体化等解题策略[6]。

结语

高中数学抽象函数解题策略的探索应用旨在帮助学生将复杂的问题简单化，将抽象的函数性质特征变得具体化。为此，本文以抽象函数概念特点为出发点，重点引出抽象函数解题常见问题，以此为研究背景分别提出几点具体的解题策略，并附上相应的解题案例以供参考。关于抽象函数解题是学生思维转换的关键过程，解题方法的应用程度决定了学生解题思路方向的正确性。