对一道2022年全国高考试题的探究与思考

张 鹄

(湖北省武汉市第二中学 430010)

孔 峰

(湖北省武汉市教育科学研究院 430022)

2022年高考数学全国乙卷理科第21题是一道函数与导数的压轴题．题设中函数结构简洁明了，是由基本的指数函数与对数函数模型整合而成；设问内容更是司空见惯，是师生常见的切线方程求解和已知零点个数求参数的问题类型．为此，笔者就该题的解答情况对即将进入新高三的学生进行了问卷，发现大部分学生对第(2)问不知从何处入手分析．这让笔者在思考，如何帮助学生透过试题表象找准切入点，进而对“冰冷美丽”的试题进行一番“火热”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名数学家波利亚的“怎样解题”表为指引，开启我们的探究思考过程．

1 基于“怎样解题”表的试题探究

1.1 理解题目

题目1已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(-1,0)和(0,+∞)内各恰有一个零点，求a的取值范围．

问题1题目1第(2)题是一个什么问题？

预设 这是已知函数零点个数求参数范围的问题．

问题2条件是什么？

预设f(x)在(-1,0)和(0,+∞)内各有一个零点．

1.2 拟定方案

问题3你以前见过它吗？或者你见过以稍有不同的形式呈现的类似题目吗？你知道与它有关的题目吗？

预设 我们见过一道与它类似的题目，即2017年新高考全国Ⅰ卷理科第21题：

题目2已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．

问题4题目2的第(2)题与题目1的第(2)题有关，你能利用题目2的求解方法解答题目1的问题吗？

预设 形式上类似．不过，题目1限定了零点存在的区间，即两个断开的区间．

问题5为什么不把两个区间合成一个区间(-1,+∞)？

预设 合成一个区间就暴露了与题目2的联系．命题者也许为了推陈出新，通常会在问题形式上设计新意，但万变不离其宗．

问题6为什么要在x=0处将区间断开？这里有没有命题者想要表达而又有所隐藏的信息？能否分析一下？

预设f(x)在x=0处的函数值等于0，即0是函数f(x)的零点．若把0放在区间内，那就有3个零点，与题意不符．另外，函数f(x)在(-1,+∞)上的图象穿过原点，意味着满足题意的图象特征可能如下面图1和图2所示．

图1 图2

问题7在上面的图象中，你能判断题目1第(2)问对应的图象是哪一个吗？把握函数图象特征一般应从哪些方面进行分析？

预设 就本题而言，可以从定义域、值域、单调性、极值以及零点等方面分析．由于f(0)=0，f′(0)=1+a均存在，为使f(x)的图象在区间(-1,0)及(0,+∞)上各恰好穿过x轴一次，函数f(x)的变化情况只能如图1和图2所示．为了进一步找到题设函数对应的图象，还可以先动态定性研究较容易的局部图象特征：

首先，基于零点附近两侧的函数值要么为正，要么为负．于是，我们不妨先研究x=0右侧的情况．因为当x>0时，ln(1+x)>0，xe-x>0，所以，若a≥0，则f(x)>0，与题意不符．从而a<0．

问题8借助图1，你能分析一下函数f(x)在(-1,0)及(0,+∞)上各有一个零点的含义吗？

预设 函数f(x)在(-1,0)上先增后减，在(0,+∞)上先减后增．这需要函数f(x)在两个区间上各有一个极值点．这样，把零点转化为极值点来讨论，体现了数学的转化与化归思想．

问题9你能找到这两个极值点吗？又准备采用什么工具和方法？你之前有过这方面的经验吗？

预设 记得之前是这样做的，先对函数求导，若导函数的零点可以直接求出，就接着讨论这些零点附近两侧的导函数符号；若不能，则利用函数零点存在定理将零点限定在适当区间，有时为找到这样的区间，可能还会用到找点技巧如借助函数不等式进行放缩的方法．

分析到这里，我们就可以着手解决问题了．

1.3 实施方案

若a≥0，则当x>0时，ln(1+x)>0，axe-x≥0，从而f(x)>0，与题意不符．

若a<0，则对φ(x)求导得，φ′(x)=ex-2ax，当x>0时，因为ex单调递增，2ax递减，所以φ′(x)递增，从而φ′(x)>φ′(0)=1>0，因此φ(x)在(0,+∞)上递增，φ(x)>φ(0)=1+a．

若-1≤a<0，则φ(x)≥0，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)>f(0)=0，也与题意不符．

综上可得，a<-1．

1.4 回顾

问题10你能检验一下这个结果吗？有没有直观的验证方法？

预设 能．画出函数f(x),φ(x),φ′(x)的图象，并结合图3～图5进行分析验证发现上述过程正确．

图3 图4 图5

问题11你能结合图象给出新的方法吗？

预设 解法2，仍然对a进行分类讨论．

若a≥0，则当x∈(-1,0)时，φ(x)>0，f′(x)>0，f(x)递增，f(x)

若-1≤a<0，则当x>0时，φ′(x)>0，φ(x)递增，φ(x)>φ(0)=1+a≥0，即f′(x)>0，f(x)递增，从而f(x)>f(0)=0，f(x)在(0,+∞)内无零点，不符合题意．

综上，a<-1．

问题12你能借助图象从新的角度解释题设条件的含义吗？

预设 所谓函数f(x)的零点，就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．有时为便于利用图象寻找交点，也可以转化为两个函数的图象之间的交点问题．因此，分别构造函数g(x)=ln(1+x)，h(x)=-axe-x，再画出这两个函数的图象(图6)．可以看出，除原点外，这两个函数图象若还能再有两个交点，需要考虑原点附近图象特征及变化趋势．从而又转化为两个函数在原点处的切线斜率-a与1的大小比较，结合图象不难得到，当-a>1即a<-1时，满足题意．

图6 图7

问题13你还能借助图象从切线的角度再次给出恰有两个零点的新的解释吗？

预设 构造两个新的函数m(x)=exln(1+x)及y=-ax．f(x)在(-1,0)和(0,+∞)上各有一个零点⟺方程exln(1+x)=-ax在区间在(-1,0)和(0,+∞)内各有一个实根(图7)．

问题14你能对上面的探究过程作个总结吗？

预设 借助函数图象进行直观分析，从局部入手，把握特殊点、关键点处函数性态的刻画，然后再拓展到整体全面的分析判断．

2 若干思考

2.1 借助波利亚“怎样解题表”解题

“怎样解题表”的4个步骤和程序组成了一个完整的解题教学系统．当我们对一个比较难的高考导数压轴题按照波利亚“怎样解题表”进行解答时，会发现在由浅入深的问题串引导下，能够让分析逐渐进行下去直至顺利完成解答过程．因此，我们需要加深对波利亚“怎样解题表”的理解和掌握．

2.2 多角度深入研究高考试题

高考全国卷导数压轴题尽管年年求新求异，但我们透过近几年试题仍然可以发现，高考命题的原则是整体稳定，适度创新．命题始终围绕导数部分的主线内容，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧，突出数学学科核心素养的考查．

在高三复习备考教学中，要深入研究近几年高考试题，并对其作系统全面的梳理与研究，把握试题的变化趋势，挖掘高考试题的潜在功能价值；积极引导学生从知识的本质出发，对导数压轴题进行多角度剖析；运用函数图象等直观想象分析工具，对定义区间边界点或区间内特殊点附近的图象进行微观分析，利用局部到整体、特殊到一般等思想方法多角度领悟题目的隐含条件，充分暴露命题意图，简化思维过程，优化解题方法，降低运算难度．从而在分析问题的过程中提升学生的直观想象、逻辑推理等学科核心素养．