数学思想、方法在高中数学解题中的应用实践

严 琛

（甘肃省天水市甘谷县第六中学，甘肃 天水）

在当前高中数学教学课堂中，教师不仅要为学生讲解完善的理论知识，还需要对学生的数学解题思路进行全面的培育，教师需要做好课前的准备工作，认真地分析在高中数学解题过程中涉及的数学思想、方法，逐渐改革当前的教学模式，从而使学生能够在教师的引导下更加透彻地了解在数学解题中常见的思想、方法，逐渐提高学生当前的数学素养。

一、高中数学解题中数学思想、方法的概述

为了使学生在高中数学解题过程中了解其中涉及的数学思想、方法，教师需要在课堂开始之前分析高中数学解题中数学思想、方法的表现形式，逐渐优化当前的教育模式，为学生高效率地学习奠定坚实的基础。每门学科在发展过程中会形成特定的数学思维，数学也不例外，数学思想、方法主要是指学生在学习时按照现实世界的空间和数量关系形成的思维活动，是对各个知识点认知的重要表现形式，之后再根据各个知识点之间的关系，了解整体的解题思路，不断地优化当前的学习效果[1]。在数学思维方面要根据数学语言的表达特点，经过一系列的思维活动和推导来形成对最终事物的解释。数学思想相比于数学方法，本身的抽象性特征非常突出，但是数学思想更加接近数学各个知识点的本质内容。数学思想和数学方法之间的关系是相辅相成的，学生需要先掌握数学学习方法之后再形成正确的数学学习思维，不断地优化学生当前的学习效果。数学方法是数学思想的重要表现形式，两者都属于方法论的范畴，有效提高了学生当前的学习效果。

学生需要掌握数学概念建立与之对应的数学理论，之后利用数学的思想、方法来掌握主要的思想范畴，以此来完成对数学知识的全面认知，这也是数学学科的精髓。学生需要掌握数学方法的内涵，领会其中数学思想的运用方向，形成清晰的认知，灵活地解决在实际学习时所存在的问题，并将数学思想为主要的指导方法，逐渐优化学生当前的学习思维，从而为学生高效学习奠定坚实的基础。教师需要在教学中充分分析解题中涉及的数学思想以及数学方法，逐渐优化当前的课程教育模式，以此来保证课堂教学的顺利实施。

二、高中数学解题中数学思想、方法的应用

（一）函数与方程思想

1.内涵

在高中数学解题中，函数与方程思想为常见的组成部分，学生在解题时需要借助有关函数的相关性质解答求值和解不等式的相关问题，明确参数的取值范围，以此来快速地检查出问题的答案。在问题研究过程中，学生需要建立函数关系式或者构建中间的函数，将研究的问题转变为讨论函数的相关性质，这样一来可以降低学生当前的学习难度[2]。函数和方程属于高中数学中的重要组成部分，也是历年来高考的重点，要运用运动和变化之间的关联，分析数学中的数量关系，建立函数关系，或者是构建函数利用函数图象的方法来解决问题、转换问题，从而得出最终答案。在方程思想中，主要是让学生通过了解数学问题中的变量间等量关系，建立方程和方程组，了解各个数值之间的变化关系，或者是通过解方程和方程组的方式来进行日常的解答，按照方程的性质来转化和分析问题，以此来获得解决问题的方法，方程思想将动静因素进行结合，让学生能够研究其中的等量关系。函数和方程之间的关系非常紧密，两者能够通过相互的转换，借助函数图象性质能够解决方程中的问题，并且在研究方程时也可以借助函数的思想来进行日常的解答。

2.解题

函数y=f（x），当y=0 时，方程就可以转化为f（x）=0或y-f（x）=0；而方程f（x）=0 的解是函数y=f（x）图象与x轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f（x），当y=0 时，就是不等式f（x）=0，而求f（x）=g（x）的解则可比较y=f（x）与y=g（x）函数图象位置的交点而得到解。在教学中教师可以让学生按照这一方法来进行日常的解答，通过数量之间的关系，利用方程和函数性质进行相互转换，以此得到解决问题的答案。函数和方程之间的思想关系非常紧密，也是高中数学的主要内容，因此需要优化学生当前的解决思路，以此来提升课堂教学的效果。在学生解答题目时，教师需要让学生根据函数和方程之间的关系来掌握其中的数量关系，当学生遇到难题时，教师可以让学生通过函数和方程之间的相互转换解决问题，深入地把握函数和方程的思想特点，逐渐提高学生当前的解决效率，从而保证课堂教学的顺利进行。

（二）数形结合思想

1.内涵

数形结合思想在高中数学中的应用非常广泛，同时也是重要的思想，数和形式是数学中最古老的关系，在一定条件下能够进行相互的转换。在数形结合思想运用的过程中，需要借助几何图形来阐述某种数量之间的关系，也可以通过数量关系来构建几何直观图形，两者是相互连通的，要根据整体的解题思路来进行图像的深入性分析，以此来抓住背后所蕴含的规律。在实际解题时需要将抽象的语言变得更加生动和直观，了解其中的位置关系和数量关系等，并且将抽象思维和形象思维相互结合，使问题的解答更加清晰以及透彻，从而降低学生当前的学习难度。在班级教学中，教师需要加强对数形结合思想的深入性教学，逐渐让学生把握这部分重点知识，以此来提升课堂教学的效果。在学生数形思维运用过程中，需要遵循简单性和双方性的原则，构建函数模型，结合图象研究参数的取值范围，并且掌握其中的数量关系，以此来解答出函数的最值问题和证明不等式等。另外也可以通过构建几何模型来解决一些代数问题，全面地分析几何中的斜率和距离等。在最值求解方面的应用非常广泛，教师可以让学生在求根时构建方程模型，通过数形结合的方法来降低学生当前的学习难度，从而使学生能够掌握这部分重点知识，逐渐提高学生当前的学习效率。

2.解题

在教学中，教师可以为学生布置这样的例题：“二次函数y=ax2+2ax+4 的图象和Y 轴分别交于A、B 点，与Y 轴相交于点C，∠CBO 的正切值为2，请同学们求二次函数的解析式。”在学生解题的过程中，如果只是单调地阅读这部分内容会产生迷茫，这时教师可以让学生通过数形结合的方法，先将这部分函数图象进行完整的构建，之后再求得最终的答案，对于点C 可以在坐标系中表示为（0，4），之后再按照题目中的内容分别画出不同的图形，更快地解答，从而使学生学习效率能够得到全面的提高。在教学中，教师需要让学生感受到数形结合转换之间的乐趣，对学生知识迁移能力进行全面的培育，将抽象知识变得更加生动和直观，以此来了解几何和代数之间的关系，找到解决问题的主要方法，全面提升课堂教学的效果。通过题目的简单化处理，提升学生的解题效率，为学生学习提供重要的基础。

（三）转化思想

1.内涵

转化思想在高中数学中也是常见的组成部分，在数学学习中，最重要的是把握各个数量之间的等量关系，但是解决不等量关系问题时，可以通过转换的思想转变为等量的关系之后再解答出问题的答案，在一般情况下可以通过特殊化的思想找到特殊取值和特殊图形，以此来分析解答问题的方法，可以利用字母来表示某个数值，也可以通过特殊图形找到问题的解决方法。在转化思想过程中，主要是指将未知解法或者难以解决的问题，通过观察和分析进行类比，选择恰当的方式来进行数据的转换，将复杂的数量关系转变为更加生动而直观的数量关系，以此来找到问题的解决方法。例如，将分散转变为集中、未知转变为已知等，从而提升学生的学习效果。转化思想是解决数据问题中的重要思想，在研究问题时需要将抽象内容变得更加生动和直观，并且还需要将复杂的问题转变为简单的问题，深入地分析其中所蕴含的数量关系，实现各个数量关系之间的相互转化，为学生的解题提供重要的帮助，以此来提升课堂教学的效果。因此在教学中，教师要通过转换思想，让学生理解其中的奥妙，逐渐增强学生当前的学习效果。

2.解题

在教学中，教师可以为学生布置这样的问题：“已知三角形ABC 的三边为a、b、c，a2+b2+c2=ab+ac+bc，请同学们判断三角形的形状。”在为学生布置这道题目时，教师要让学生先不要通过几何的方法来进行计算，要转变为代数的方式来进行等式的分析。教师可以让学生结合自身在之前所学到的等式内容来进行式子的变换，得出简化的式子，这样一来可以快速得出这一三角形为等边三角形，为了让学生深刻地记住转换思想运用的方法，教师可以让学生先在图上画出这个三角形之后，再判断其中的数量关系，再通过代数的方法进行日常的转换，从而增强学生的学习效果。教师需要让学生在学习时认真地分析题目涉及的数学思想、方法，转变为自己所学习到的内容建立数学模型，将一个领域的问题转变为另一个领域的问题，逐渐深化学生对相关内容的印象。当学生在解题时遇到复杂的问题时，教师可以让学生将某个数量关系转变为其他的数量关系来进行日常的解答，从另一个角度入手来提升学生解决问题的效果。这样一来可以将复杂的问题变得更加简单，提高学生的解题效率。

在当前高中数学教学课堂中，为学生渗透解题中的数学思想、方法为重要的教学环节，因此教师需要加强对数学思想、方法的认知，根据学生的解题特点来为学生布置不一样的课堂教学模式，全方位地渗透在数学思想、方法中。值得注意的是，教师要引导学生在学习时也要进行数学思想、方法的归纳以及总结，提炼出常用的数学思想、方法，通过体会和研究提高学生当前的解题效果。