基于工程教育专业认证的概率系列课程“一体两翼”的教学设计

黄煜可，闵祥伟，胡细宝，焦荣珍

(北京邮电大学 理学院，北京 100876)

一、引 言

高等工程教育在我国高等教育中占有重要的地位。深化工程教育改革、建设工程教育强国，对服务和支撑我国经济转型升级意义重大。工程教育专业认证是目前国际通行的最为有效的工程教育质量保障制度，其秉承“以学生为中心、以产出为导向、持续改进”的理念。

北京邮电大学(以下简称北邮)是教育部直属、工业和信息化部共建的“985优势学科创新平台”项目重点建设高校，是我国信息科技人才的重要培养基地。北邮的信息与通信工程、计算机科学与技术以及电子科学与技术这三个一级学科在2016年全国第四轮学科评估中被评为A类学科，其中信息与通信工程被评为A+学科。随机数学理论是信息与通信工程、计算机科学与技术、电子科学与技术、人工智能、网络空间安全、软件工程等领域的重要理论基础之一。北京邮电大学从建校起就非常重视概率系列课程体系的建设，20世纪50年代就在通信类专业开设了“概率论与随机过程”课程，是北邮首批确定的校级重点建设的精品课程，并于2008年被评为北京市精品课程。近年来，随着计算机水平的飞速发展和数据处理能力需求的增加，北邮又增加了“概率论与数理统计”的教学需求。目前，这两门课程选用的教材分别为北邮数学系概率教学组编的《概率论与随机过程》和盛骤、谢式千、潘承毅编的《概率论与数理统计》。

二、教学改革的现状综述

课程，是保证毕业要求达成的最后一公里。可见，如果一线教师不行动，没有按照中国工程教育专业认证的要求改进课程目标、内容、方法和考核，认证工作的目标将无法实现。概率系列课程为高等工程教育提供了随机数学的重要理论基础，可见在工程教育专业认证背景下概率系列课程的教学改革十分重要和迫切。

(一)文献调研

在工程教育理念的引导下，国内的教学改革研究工作取得了丰富的成果。截至2022年4月，中国知网收录以“工程教育认证”为主题的文章5 500余篇。其中，近五年(2017—2021年)的年度发文量分别为467、752、1 066、1 144和945篇，2022年的预测发文量更是高达1280篇。然而，这些文章主要针对工科专业课程。事实上，增加主题“数学”后，中国知网收录的文章数量锐减为113篇。进一步的文献调研显示，其中绝大部分文章主要讨论如何在工科专业课程教学中优化数学内容以及数学建模课程的教学改革。涉及面向工科学生的数学类公共基础课程的教学改革文章仅22篇，其中数学类9篇、离散数学6篇、高等数学5篇、线性代数1篇、概率论1篇。在工程教育专业认证背景下数学类公共基础课程的教学改革尚处于迷茫期。

(二)教学改革和教学设计

章培军等[1]总结了传统数学课堂教学主要存在的问题，这些问题同样存在于概率系列课程教学中。具体而言：从教学内容上看，内容相对陈旧；从教学安排上看，面临学时少、内容多的困境；从教学方法上看，仍以讲授模式为主；从学生情况上看，个体差异大且学习的主动性不高。这些问题与工程教育专业认证的“以学生为中心、以产出为导向、持续改进”的理念有很大差距。

教学改革通常从教学内容、教学安排、教学方法、考核方法等角度展开。其中一些研究角度已经获得了不少被普遍认可的结论：如在教学方法方面，充分利用现代信息技术开展课程教学活动，注重建设和使用多媒体课件、数学软件、慕课(massive open online courses，MOOC)、小规模限制性在线课程(small private online course，SPOC)等创新性教学资源，变“教师主动教”为引导“学生主动学”；在考核方法方面，将过程性考核与终结性考核相结合，合理评价学生的知识、能力与思维的发展水平。

本文则主要关注教学设计方面。以概率系列课程为例，探讨如何优化面向工科学生的数学类公共基础课程的教学设计，以便更好地配合相关专业教学改革和工程教育专业认证，实现培养优秀工程人才的目标。

(三) 相关院校改革经验

尽管基于工程教育专业认证的数学类公共基础课程教学改革的成果很少，但相关问题的研究讨论很早得到了关注。北邮《电子与电气信息类专业理工融合教育模式及课程体系的研究与实践》项目荣获2004年北京市教育教学成果(高等教育)一等奖。近年来，以学生为本[2]、以“理工融合”[3-5]为契机、以“案例式教学”[6]为重要特征的教学改革正在高校中如火如荼地进行，这些成果值得分析、学习和借鉴。

2003年，电子科技大学开始了“国家工科数学课程教学基地”建设[7]，强调在课程设置和内容选择上进行整合与优化。具体包括专业性课程与基础性课程的整合、各基础课程之间的整合、数学基础课程之间的整合。2016年，电子科技大学启动了“互联网+”复合型精英人才培养计划，积极探索学科专业之间的交叉融合，培养更多工程实践能力强、创新能力强，具备国际竞争力的高素质复合型人才[8]。为了实现上述培养目标，电子科技大学整合了包含数学科学学院在内的7个学院的学科优势与优质教学资源，实施“2+2”和“双学位”培养模式。如对于第一专业为物联网工程、计算机科学与技术、智能电网信息工程、新能源材料与器件等4个工科专业的学生，可以将数学与应用数学等3个专业之一的专业作为第二专业。

杨威等[9]以西安电子科技大学国家精品在线开放课程“实用大众线性代数”为例，阐述了新工科背景下线性代数教学改革的思路：在教学内容改革方面，基于“成果导向”理念，从人才需求出发反向设计教学内容；从应用实例出发引出数学概念；制作与后续课程及不同专业背景相关的应用实例。

三、基于工程教育专业认证的教学设计

工程教育专业认证的通用标准中列出了12项“毕业要求”。通过优化教学设计，概率系列课程至少可以支撑以下三项毕业要求：(1)工程知识。能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题。(2)问题分析。能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。(3)终身学习。具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。

教学设计优化主要从以下两方面进行。

(一) 修订教学大纲，重构教学重点

对于大多数工科学生而言，数学教育的目标不是培养学生成为优秀的数学人才，而是为后续的工科专业课程学习打下坚实基础，帮助学生成为优秀的工程人才。因此，面向工科学生的数学类公共基础课程的教学大纲和教学设计必须响应学生所在专业的未来发展需求，能够让学生感受到数学思维、数学知识和数学方法在未来职业发展中的重要作用。

对比北邮概率系列课程2018年的教学大纲，2022年的教学大纲增加了很多基于工程教育专业认证的要求：课程目标需要对毕业要求指标点形成支撑，并且要可衡量、可评价；需要明确课程与所支撑的相关专业的毕业要求的对应关系，形成“培养标准及实现矩阵”。在新的教学大纲基础上，授课教师对教学重点进行系统化重构。

(二) 强化应用导向，克服学用分离

概率系列课程的教学指导思想是“学以致用”。工科学生学习数学，不是为了研究数学本身，而是为了运用数学知识和数学思维在自己的专业领域进行研究和创新[10]。但与很多面向工科学生的数学类公共基础课程一样，“概率论与数理统计”“概率论与随机过程”等概率系列课程也存在“学用分离”的痛点。理论脱离实践，学生不知道“为什么学、学了有什么用”。教学内容强调数学的严谨性，例题选择旨在帮助学生加深对数学知识点的理解，这些例题与学生所在专业的学科前沿、专业思想联系不够紧密，与学生关心的生活热点联系也不够紧密。

在教学实践中，从具体应用实例，特别是从本专业工程应用背景出发引入数学概念和理论，或者将这些应用案例代替传统的教学案例，有助于克服学用分离的痛点。培养学生应用数学知识分析和解决复杂工程问题的能力，培养终身学习的能力。

四、一体两翼、教学内容模块化

在“学以致用”和“工程教育专业认证”的背景下，笔者提出“一体两翼、教学内容模块化”的教学设计整体思路。“一体”指课程基础知识与基本技能，对传统教学内容做减法；“两翼”指工程应用案例和数学研究工具，对贴合学生专业发展需求的教学内容做加法。具体如图1所示。

图1 “一体两翼”的教学设计

粗略地讲：“一体”，即优化课程基础知识与基本技能的教学，有助于课程“高质轻负”，为增加贴合学生专业发展需求的教学内容提供教学时长的保障；“两翼”中的“工程应用案例”是基于工程教育专业认证的概率系列课程教学设计改革的关键；“两翼”中的“数学研究工具”是针对不同专业对数学推导能力和数学研究工具的要求，有选择性地增加部分数学基础理论；“教学内容模块化”则有助于教师根据学生学习基础和专业发展需求，灵活调整教学内容。接下来将逐一阐述每部分内容的改革意义、改革实例、实施手段和主要困难等细节。

(一)“一体”——课程的基础知识与基本技能

课程的基础知识与基本技能是课程学习要求的底线，是课程教学内容的“主线剧情”。本部分教学内容以传统的教师讲授为主。在教师讲授的过程中，需注重数学思想和知识本质的传授，将散见于不同章节的知识点进行系统化重构，这样有助于帮助学生更深刻地理解、更长久地掌握教学知识点，特别要反对“背公式套公式”和“题海战术”。数学课的目的不是培养会背公式、会考试的学生，而是培养会思考、会创新的学生。在实际应用，特别是复杂工程问题中，数学知识不会以课本中的定理和性质的形式呈现，需要学生灵活运用。而灵活运用数学知识的基础就是抓住知识点的数学本质，而非死记硬背固有公式。

1.改革意义

本部分教学设计的优化，有三方面重要意义。

其一，教学中注重数学思想和知识本质的传授，将知识点系统化重构，有助于提高学生解决实际应用，特别是复杂工程问题的能力。

其二，压缩课程中基础知识与基本技能的教学时间。根据学生不同专业发展需求，引入高阶性、创新性、挑战度的教学内容提供教学时长的保障。

其三，降低课程学习门槛，保证教学效果的“全员”性，即所有学生都能学会课程中最基础的教学内容。工程教育专业认证的毕业要求是面向相关专业全体学生。

综上所述，对传统教学内容做减法，有助于课程“高质轻负”，为在数学课程中增加贴合学生专业发展需求的教学内容提供教学时长的保障。事实上，更多的时间和精力的投入通常意味着更优秀的成绩，这是教学实践中被普遍认可的观点。但是如前所述，面向工科学生的数学类公共基础课程的教学目标不是培养学生成为优秀的数学人才，而是为后续的工科专业课程学习打下坚实基础，帮助学生成为优秀的工程人才。为了提高数学的学习水平而使学生大幅度加大学习精力的投入，有可能占用学生对专业课的学习精力，不利于学生的后续发展。以北邮为例，很多卓有成效的专业课教学改革正在如火如荼地进行，学生专业课的学习强度很大。从实践角度看，要求学生再拿出大量精力参与数学课程的教学改革并不现实。可见，通过优化“一体”，也就是课程基础知识与基本技能的教学，有助于课程“高质轻负”。

2.改革实例

在现行“概率论与数理统计”课程的教材中涉及三种常用的“中心极限定理”，它们的数学记号表述都非常繁琐，但其数学本质却很简单。中心极限定理研究在什么条件下，独立随机变量和的极限分布为正态分布。而三种常用的中心极限定理则给出了三种成立条件。掌握了这个本质，当学生在实际应用中遇到“独立随机变量和”时，就可以联想到“中心极限定理”和“正态分布”。如果学生在学习过程中只是死记硬背公式，那么他们只能在看到相应的数学符号和公式时才能想到正态分布，这样根本无法将知识点用于解决复杂工程问题。进一步地，笔者总结了几种不同情况下“随机变量和”的常见研究思路，即根据研究对象重构知识点，这将大大提高学生解决问题的能力。毕竟在实际应用，特别是复杂工程问题中，人们往往只能看到研究对象。

(二)“两翼”——工程应用案例和数学研究工具

如前文所述，“两翼”是对贴合学生专业发展需求的教学内容做加法，其中“工程应用案例”设计是基于工程教育专业认证的概率系列课程教学设计改革的关键。

1. “两翼”之工程应用案例

基于工程教育专业认证的教学设计，需要坚持“以学生为中心”的理念。为了实现这个目标，笔者认为，教学目标和内容设计须符合学生所在专业的学科特点和学生实际水平，响应学生所在专业的未来发展需求，能够让学生感受到数学思维、数学知识和数学方法在未来职业发展中的重要作用。

(1)改革意义

对工程应用案例做加法是基于工程教育专业认证的概率系列课程教学设计改革的关键。贴合专业背景的教学例题更容易激发学生的心理共鸣和学习兴趣。学生带着问题和思考走进课堂，并通过“数学小论文”(过程性考核)等形式探索数学知识点在生活热点和工程专业问题中的应用，学生自主学习和终身学习的意识显著提高。

(2)改革实例

笔者根据不同专业学生的数学基础水平和专业发展需求设计不同的教学内容。如在教学实践中，一般通过高尔顿钉板直观展示中心极限定理的结论，即每个小球的运动轨迹是无序的，但无序中蕴含了有序，大量小球下落最终形成优美的钟型曲线。根据北邮的整体教学安排，面向信息与通信工程专业学生的“概率论与数理统计”课程一般在本科二年级下学期开设。而学生在本科二年级上学期的专业课“信号与系统”中熟练使用卷积方法研究信号的叠加。因此，对该专业学生讲解中心极限定理时，可以让学生通过逐次卷积观察若干独立同分布的信号如何叠加成近似服从正态分布的信号。进一步的，针对中心极限定理的应用，对计算机科学与技术专业的学生着重介绍一种基于中心极限定理的正态分布伪随机数生成方法。这两个应用案例正好体现了在数学概念引入和数学知识应用两个方面响应学生所在专业未来发展需求的教学设计思路。

此外，网络空间安全专业的学生在学习“概率论与数理统计”的同时还在学习专业课“复杂网络”。因此，作为泊松定理的应用案例，笔者讲解了为什么当网络足够大时，ER随机图(Erdös-Rényi)的度分布可以由泊松分布刻画。数学知识与工科专业课程知识的“梦幻联动”让学生眼前一亮。

(3) 实施手段

由于面向工科学生的数学类公共基础课程的授课老师一般不具备充足的工程专业背景知识，贴合学生专业发展需求的教学设计非常困难。在教学实践中，笔者主要从三个途径获得教学设计(特别是工程应用案例)的灵感和理论支撑：查文献、问学生、问专家。

其二，问学生。北京邮电大学是我国信息科技人才的重要培养基地，其重点优势学科的学生基础好、学习能力强、学习积极性高。笔者在教学中引入过程性考核环节数学小论文，鼓励学生结合教学知识点，给出贴近生活或者本专业学习的应用案例及解答。这些数学小论文为贴合学生专业的教学设计提供了丰富的源泉，如“信号、卷积与中心极限定理”的教学案例就是根据信息与通信工程专业学生朱勇钢的数学小论文改编，而网络空间安全学院学生邓海晨关于Fermat素性检验和贝叶斯公式的数学小论文则形成教学论文一篇[11]。

其三，问专家。问专家，也就是向相关专业的教师，特别是后续工科专业课程的教师请教。相关专业的教师不仅可以提供教学设计思路，还会给出学生培养的建议，如应该加强哪些知识点以便更好地与后续工科专业课程衔接。近期，笔者还加入了北京邮电大学牵头的电子信息类专业虚拟教研室，期待与相关专业教师进一步加强教学改革合作，助力相关专业工程教育专业认证。

(4) 主要困难

目前，工程应用案例设计主要存在两方面困难。

其一，工科专业书籍中使用的记号与数学教材中的常用记号往往有较大差别，研究思路也存在差异。在教学设计时不能简单的拿来用，需要从数学课程的角度重新书写，这给教学案例设计带来了不小的困难。然而，这项工作的意义重大，一方面可帮助学生学习如何运用数学知识分析和解决复杂工程问题，提高学生对数学课程的学习兴趣；另一方面建立了以概率系列课程为例的数学类公共基础课程与后续工科专业课程的桥梁。

其二，应用于数学类公共基础课程教学的工程应用案例应该以数学知识点为主，不能涉及太多与课程知识点没有直接联系的专业知识，特别是学生尚未学到、比较陌生的专业知识。例如，极大似然估计法在人工智能算法中具有广泛应用，但这些算法对于人工智能等专业的本科二年级学生而言还比较陌生。笔者认为，将它们直接设计为工程应用案例在课堂教学中讲授并不妥当。目前，这类工程应用案例主要通过课外分级阅读材料等形式供学有余力的学生选读。当然，笔者也在努力探索这类工程应用案例的更优化的设计方案。

2.“两翼”之数学研究工具

在很多数学类公共基础课程的教学改革研究论文中存在“淡化数学推导”的观点。但笔者在与工科专业课程教师的沟通中发现，不同专业对数学推导能力和数学研究工具的要求具有较大区别。笔者在与北京邮电大学信息与通信工程等重点优势学科的工科专业课程的授课教师的交流中发现，为了让学生更好地适应后续工科专业课程的“金课”建设、工程教育专业认证等，不仅不应该过分淡化数学推导，甚至需要补充一些现行工科教材中没有涉及的数学理论知识。近年来的教学实践显示，这些专业的学生基础好、学习能力强，绝大部分学生愿意并且可以完成补充知识的学习。

(1) 改革意义

严格来讲，数学研究工具并不属于创新的教学内容，它与“一体”都属于传统教学内容。其中，“一体”仅包含课程基础知识与基本技能，其他相对较难的数学理论知识则被“淡化”。但这种“一刀切的淡化”不利于培养拔尖创新人才。因此，本部分改革旨在将不属于最基本的教学内容但常用的数学研究工具以模块化的形式呈现。授课教师可以根据学生所在专业发展需求，有针对性地“淡化”或“加强”课程中的数学理论知识。

(2) 改革实例

在教学实践中，笔者面向绝大部分工科专业学生补充伽玛函数这一数学工具，以帮助学生完成与正态分布和指数分布相关的几类特殊类型积分的计算。此外，为了更好地与后续专业课“随机信号分析”等衔接，在面向信息与通信工程专业的“概率论与数理统计”课程中，补充特征函数这一在现行工科教材中没有讲授的数学工具。

(三) 教学内容模块化

以概率教学组为例，数学类公共基础课程的授课教师通常需要面向绝大部分工科专业的学生授课，而且授课专业也需要根据全校整体安排统一调整，这使教师面向的学生专业不固定，教师在同一个学期需要面向多个专业的学生讲授课程名称和学时完全相同的课程。

1.改革意义

考虑到数学类公共基础课程授课教师需要面对不同的专业、学习基础和专业发展需求的学生授课，教学内容模块化为授课教师始终保持以“学生为中心”优化教学设计，提供了灵活性和可操作性。模块化的教学内容，特别是“两翼”中的工程应用案例和数学研究工具，可以很好地形成教学资源库，有助于教学内容的持续改进，并且具有很强的推广价值。

2.改革实例

在某学期的教学实践中，笔者需要同时面向“双培计划”学生和“英才班”学生讲授课程名称和学时完全相同的课程。其中，“双培计划”学生的数学基础与北邮本校学生相比相对较弱，而“英才班”学生则是从北邮电子信息类(信息通信)的本科一年级学生中择优选拔。“英才班”旨在支持出类拔萃的优秀学生更好地发挥潜能，促进拔尖创新人才的涌现。两个教学大班的学生在数学基础和专业发展需求方面存在较大差别。同时面向这两类学生授课，对教师的教学能力提出了很大的挑战。通过教学内容模块化设计，笔者较好地完成了两个教学大班的个性化教学，真正做到了以“学生为中心”优化教学设计。具体而言：(1)在面向“双培计划”学生的教学实践中，优先保证“一体”，也就是“基础知识与基本技能”的教学，让学生学懂学透，再补充少量生动有趣的生活热点和工程应用案例。这样的教学设计可以适当降低学习门槛，避免学生因突然面对高难度的数学内容而产生畏难情绪。(2)在面向“英才班”学生的教学实践中，笔者补充了当时设计完成的工程应用案例模块和数学研究工具模块。最终，两个教学大班都取得了较好的教学效果。

五、理论框架的实践效果

笔者从2018年开始在“一体两翼、教学内容模块化”的理论框架指导下推进基于学以致用和工程教育专业认证的概率系列课程教学设计改革。粗略地讲，就是对传统教学内容做减法，对贴合实际应用和学生专业发展需求的教学内容做加法。本节将从学生成绩、学生评价和教学成果三个角度逐一展示教学改革的实践效果。

(一)学生成绩——从应试到应用

随着改革的推进，学生的学习目标从提高考试分数逐步转变为学以致用、解决实际问题。具体表现在两个方面：

其一，在教学改革之初，学生最常提的问题是“这道题应该怎么做呢”“正确答案是什么呀”？随着在课堂中引入越来越多贴合生活热点和工程应用的案例，学生越来越深刻地感受到数学思维、数学知识和数学方法在未来生活和职业发展中的重要作用。学生主动学习、积极思考和交流互动，他们发现问题、分析问题和解决问题的能力大大提高。现在，学生最常提的问题已经转变为“某个生活热点或工程应用问题是不是可以用某个数学知识点解释呢”？这些问题看似天马行空，但这恰恰是值得鼓励和推广的独立思考、勇于创新的研究性学习。

其二，在过程性考核环节，要求学生在题型总结和应用案例中选择一个撰写数学小论文，其中应用案例又可分为生活热点和工程应用两类。在教学改革之初，大部分学生会选择题型总结，因为这种题型更有助于提高考试分数。现在，大部分学生会选择更具有探索性的应用案例，尝试运用数学知识解决实际问题，特别是贴合自身专业发展需求的工程应用问题。选题比例如图2所示。

图2 数学小论文选题比例变化图

如前文所述，学生的学习目标从应试逐步转变为应用，在应付期末考试方面花费的精力减少，这是否意味着考试成绩会下降呢？事实上，学生成绩箱线图(如图3所示)说明，随着改革的推进，学生整体成绩稳步提高，不同学生成绩差距缩小。在统计学中，四分位数是指把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值。具体而言，所有数值中大于上四分位数、中位数和下四分位数的数值比例分别为25%、50%和75%。上四分位数与下四分位数之间的距离称为箱体长度。上边缘是上四分位数加上1.5倍的箱体长度；而下边缘是下四分位数减去1.5倍的箱体长度。如果数据大于上边缘或者小于下边缘，就称为离群值。

图3 学生成绩箱线图

综上，在学生的学习目标从应试转变为应用时，其考试成绩稳步提高，这个现象并不意外，笔者总结出四个原因：

其一，针对“一体”的改革使传统教学内容“高质轻负”，有助于学生在付出的精力减少的同时，提高对数学知识点的学习效果。

其二，两翼中的工程应用案例使学生基于“应试”的外在动力转变为基于“应用”的内在动力。兴趣是最好的老师，学生的学习积极性大大提高。

其三，两翼中的“数学研究工具”不仅提高了学生解决实际问题的能力，也提高了学生解题的能力。

其四，现在的各类考试越来越反对死记硬背和题海战术，重点考察考生学以致用的能力。本文提出的教学改革正好顺应了新的命题趋势，有利于学生取得好成绩。

(二)学生评价——来自学生的认可

笔者在教学改革中非常重视收集学生的评价、反馈和建议，并以此作为持续改进的重要依据。在学生评价和问卷调研的各项指标中，特别是“激发学生学习热情”“培养学生发现问题、分析问题、解决问题能力”等指标稳步提升。越来越多的学生认可基于工程教育专业认证的教学设计改革，并积极参与到改革活动中。

在师生互动中，学生向笔者推荐了不少工科专业书籍。教学相长，促进了“工程应用案例”的持续改进。根据学生追踪调研和后续工科专业课程授课教师的反馈可知，基于“学以致用”和“工程教育专业认证”的概率系列课程教学设计改革对于学生的后续发展具有显著的正向推动作用。

(三)教学成果——来自专家与同行的认可

在学以致用和工程教育专业认证思想的指导下，笔者获得省部级教学竞赛奖1次，发表教改论文2篇，指导创新创业项目2项。相关教学设计改革思路得到了来自专家与同行的认可，并积累了大量的教学成果。

其一，针对“一体”的教学设计和资源建设，笔者编著了《极简概率论与数理统计》并配套系列教学微课程。这是一本很薄的双色小册子，通过跨章节思维导图和典型题，展示了“概率论与数理统计”课程中的基础知识与基本技能，帮助学生快速掌握课程核心内容，降低学习门槛，建立学生学习的信心。

其二，针对“两翼”的教学设计和资源建设，笔者整理了教学资源库，主要包括三种形式：方便教师课堂教学使用的多媒体课件、方便学生课外使用的分级阅读材料以及教学微视频。

这些教学成果以模块化的形式呈现，可以帮助授课教师灵活调整教学内容，也可以方便地持续改进，具有很强的推广价值。

六、工程教育专业认证与课程思政

北京邮电大学概率系列课程2022年的教学大纲修订除了增加了很多基于工程教育专业认证的要求之外，还强调课程应坚持“立德树人”的原则，充分发掘和运用课程蕴含的思想政治教育资源，把思想价值引领贯穿课程教学的全过程和各环节。

培养什么人、怎样培养人、为谁培养人是教育的根本问题，立德树人成效是检验学校一切工作的根本标准。2020年5月，《教育部关于印发〈高等学校课程思政建设指导纲要〉的通知》(教高〔2020〕3号)(以下简称《纲要》)指出，要坚持学生中心、产出导向、持续改进，不断提升学生的课程学习体验、学习效果，坚决防止“贴标签”“两张皮”，这与工程教育专业认证“以学生为中心、以产出为导向、持续改进”的理念一致。

同时《纲要》指出，结合专业特点分类推进课程思政建设。对于理学类专业课程：要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力；要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。这两项内容也与工程教育专业认证的毕业要求高度契合。

可见，基于工程教育专业认证的教学改革与基于课程思政的教学改革[12]在很多方面具有一致性，两者可以有机融合，共同指引课程教学改革的方向。

七、总 结

本文总结了笔者在北京邮电大学概率系列课程授课过程中的教学设计理论框架和实践效果。以此为例，探讨如何优化数学类公共基础课程的教学设计，以便更好地配合相关工科专业教学改革和工程教育专业认证，实现培养优秀工程人才的目标。通过文献调研和相关院校经验分析发现，基于工程教育专业认证的数学类公共基础课程教学内容改革尚无公认的最优方案。本文创新性地提出了“一体两翼”的改革思路，将教学内容模块化，根据学生的学习基础和专业发展需求灵活调整教学内容。其中，“一体”指课程基础知识与基本技能；“两翼”指工程应用案例和数学研究工具。本文还展示了基于上述理论框架的改革成果以及工程教育专业认证与课程思政的高度契合性。笔者希望通过不断推进和深化教学改革、持续改进、开拓进取，为基于工程教育专业认证的数学类公共基础课程教学设计改革工作添砖加瓦。