加强数学原理教学 发展数学核心素养

史可富

(曲阜师范大学《中学数学杂志》编辑部，山东 曲阜 273165)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《新课标》)首次提出了数学核心素养这个概念.数学教育的根本目的是实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养”[1].这个目的是在学生连续接受完九年数学教育的过程中逐步实现的.在学生接受数学教育的内容中，数学原理(包括公式、性质和定理)占据重要“地位”，学生对数学原理的学习和掌握情况直接影响到其数学素养的高低.

在教学中，引导学生经历对数学原理的探究、猜测、抽象、发现、证明、应用等过程，是发展学生数学核心素养的重要渠道.立足于发展学生数学核心素养的角度看，数学的公式、性质、定理的教学，有不同的教学“程序”和侧重点.

1 数学公式的教学

数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法.在《新课标》界定的“课程内容”中，数学公式虽然不是很多，但数学公式是重要的数学原理，加强数学公式教学是发展学生数学核心素养的重要措施.对于具体公式，《新课标》都有针对性的要求，如对于“乘法公式”的要求是“理解乘法公式……，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单计算和推理”，在“四边形”中要求“探索并掌握多边形内角和与外角和公式”等.

对于数学公式的教学，我们应重点关注以下3个方面：

1)引导学生经历公式的推导过程.数学公式通常比较简洁，学生记住也不难，但是在教学中，教师不能把结论直接“抛”给学生，要求学生背过并熟记.这样的话，就失去了培养和发展学生数学运算和逻辑推理等核心素养的“机会”.引导学生经历公式的推导过程有助于学生加深对数学公式本质的理解，也是发展数学核心素养的需要.

2)引导学生对公式的结构进行分析.任何一个数学公式都有自己本身固有的结构，教学中引导学生明确公式的结构，加强与学生知识结构中已有的“旧”公式进行关联比较，有助于学生把握公式的内涵，加深对公式的理解程度，促进对公式的逻辑性认识，并能体会公式蕴涵的数学抽象之美.

3)注重公式的应用.明确了一个数学公式的结构之后，在实际运算中就可以直接“套用”公式了.在运用公式的过程中，既可以简化运算过程，又可以加深学生对公式本质的进一步理解和认识.

案例1完全平方公式的引入过程.

完全平方公式是“数与代数”方面的重要基础知识，完全平方公式包含两个公式(a±b)2=a2±2ab+b2,即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或者减去)它们积的2倍.

这两个公式是在学生学习了单项式乘多项式和多项式乘多项式之后学习的内容，可以看成是单项式乘多项式和多项式乘多项式内容的继续和拓展.

为了让学生经历公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，我们创设了下面的问题情境：

一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都增加b米，所得到的新正方形花坛的面积便是(a+b)2平方米(如图1).

图1

1)你能用多项式的乘法法则计算(a+b)2吗？

2)你能利用图1中的面积关系说明计算的结果吗？与同学交流.

3)由问题1)和问题2)你能得到一个怎样的公式？用自己的语言加以叙述.

4)用-b代替上式中的b，你能得到一个怎样的公式？

5)你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗？

设计意图本案例以“增加正方形边长扩大花坛面积”为背景提出了5个小问题，引导学生自主探索得到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.问题1)是从代数运算的角度，鼓励学生运用多项式的乘法法则，推导出公式.这样有助于学生对算理的理解，教学中要求学生尝试说出每一步运算的依据，能提高学生的数学运算能力、有条理的数学思考能力和语言表达能力等.问题2)是让学生从几何的角度对公式(a+b)2=a2+2ab+b2给出解释，这种设计符合《新课标》的要求，能培养学生的几何直观能力，有助于学生感悟“数形结合”的思想，加深对数学本质的理解.教学时，应让学生认真观察图形，分别说出图中所显示的(a+b)2，a2，b2及2ab的几何意义.问题3)可进一步发展学生的语言表达能力.问题4)的目的在于鼓励学生利用(a+b)2=a2+2ab+b2推导出公式(a-b)2=a2-2ab+b2，让学生认识到两数差的平方公式可以由两数和的平方公式得出(当然也可由多项式乘法直接计算得出).这种处理方式有助于学生进一步感悟“加减运算”的统一性.在回答问题5)时，学生已经明确了图1是用来说明两数和的平方公式的，在对两数差的平方公式进行几何解释时，仍然可借用图1，只不过将大正方形的边长a+b换为a即可.

在学生探索得到(a±b)2=a2±2ab+b2后，要引导学生分析完全平方公式的结构特点，等号左边是两数和或差的平方，等号右边是含有字母a，b的二次三项式，每项都是2次的，提醒学生注意运用时不要漏掉中间一项，也不能漏掉或弄错中间项的系数.

从本案例可以看出，学生在教师课前设计的问题引导下，从思考、探索“几何”图中有关图形的面积问题出发，得到了“代数”的计算公式，这种“内容融合”的设计让学生进一步认识到代数与几何之间存在的固有联系，加深了对数形结合思想的感悟和理解，积累了数学活动的经验.这样的运算、探索、发现活动可以培养学生运用数学的“眼光”观察问题、发现问题、提出问题和解决问题的能力[2]，不断提升学生的数学核心素养.

一个数学公式都伴随着一定的数学运算和推理过程，公式本身都是具体的知识点，这些知识点是“四基”中的重要数学知识，是学生形成数学基本技能、感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验，进而发展学生数学素养的重要载体.

2 数学性质的教学

数学性质是数学表观和内在所具有的特征，是一种事物区别于其他事物的属性.如等腰三角形的两个内角相等，这种特征是等腰三角形独有的区别于非等腰三角形的本质属性.

在《新课标》界定的“课程内容”中，关于数学性质多数是用“探索”“证明”描述的，如“探索并证明平行线的性质定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)”“探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的4个角都是直角，对角线相等；菱形的4条边相等，对角线互相垂直”.从表述过程看，发现性质是关键的一步，只要能引导学生探索并发现了性质，那么证明的过程往往比较简单.

数学性质一般是根据概念推导而来的，对于数学性质的教学应从构成性质的要素出发，厘清其中的逻辑关系，把重点放在性质的发现过程上，因此，教师不能单纯地按照知识的逻辑顺序展开，应精心创设既有实际意义又有趣味性的“问题串”，引导学生以“再发现”和“再创造”的方式经历数学性质的探索、猜想、发现过程.这样有助于学生加深对相关数学概念的深刻理解，培养学生的逻辑推理能力.

案例2角平分线性质的探究发现过程[3].

为了引导学生探究、自主发现角平分线的性质，丰富学生的数学活动经验，发展其空间观念，我们设计了下面的实验探究活动：

1)在硬纸片上任意画一个∠BAC(如图2)，对折∠BAC使它的一边AC与另一边AB重合，用手轻轻按一下得到图3，再把折叠后的纸片展开并铺平(如图4).设AD为折痕，请思考下面的问题：

图2 图3 图4

①∠BAC是轴对称图形吗？

②AD是∠BAC的平分线吗？

2)在AD上任意取一点P，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N(如图5)，请思考下面的问题：

图5 图6

①比较线段大小的常用方法有哪些？

②你能比较线段PM与PN的大小吗？通过比较你有什么发现？请相互交流.

③用自己的语言叙述你的结论.

④你能证明得到的结论吗？

3)在∠BAC内部任意作一条直线l1∥AB，再作直线l2∥AC，使得l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离.设l1，l2的交点为P，将∠BAC沿直线AP对折.

①∠BAP与∠CAP重合吗？

②直线AP是∠BAC的平分线吗？

设计意图为了引导学生探究角平分线的性质，我们以“数学实验”为主题设计了以上3个活动：活动1)的目的是引导学生通过折三角形纸片认识到角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线；活动2)是引导学生先用合情推理的方式探究到“角平分线上的点到角两边的距离相等”，然后利用推理的方式论证自己的发现，从而得到角平分线的性质；活动3)是活动2)的“逆活动”.通过这3个活动，让学生探究到“角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.

数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的工具[4].学生会表达是数学核心素养的一个部分，本设计充分考虑到“培养学生表达能力”的需要，及时在活动2)中设计了让学生用自己的语言表达探究过程中所发现结论的环节.这种设计学生不仅自主发现了角平分线的性质，而且还积累了探究数学问题的活动经验，提高了自己的语言表达能力，这些都是学生数学核心素养不可或缺的重要组成部分.

在学生通过探究、猜测、发现、证明角平分线的性质后，学生就能把其纳入已有的知识结构中，这样就扩大了学生的数学知识结构.在以后的学习过程中，若题目中出现一个角的平分线，则学生就能迅速联想到“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，从而快速解决有关问题.

3 数学定理的教学

数学定理是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的，又通过严格的数学证明确认命题正确.数学定理的教学是初中数学教学的重点和难点.定理的教学“承载”着培养、发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养.数学定理的教学应分整体感知阶段、深刻理解掌握阶段和深化发展这3个阶段[5]，但是在具体教学某一个定理时，对这3个阶段不能“平均”用力，应把重点放在帮助学生探索发现、证明过程上，这样才能有助于学生深刻理解从而掌握定理的本质.

在《新课标》界定的“课程内容”中，关于数学定理多数是用“探索并证明”“探索并掌握”描述的，如“探索并证明三角形的内角和定理”“探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形”.从表述的过程看，探索与证明同等重要.

数学定理的教学应注意以下3个环节：

1)经历定理的探究发现过程.不要直接告诉学生定理的具体内容，要设计必要的数学活动，让学生在活动的过程中，猜测到定理的具体内容.这个环节有助于学生合情推理能力的发展.

2)明确定理证明的步骤.定理的证明过程分为3步：

①根据题意，画出图形；

②分清命题的题设和结论，写出已知和求证；

③精炼、完整地书写证明过程.

说明定理的证明(几何证明问题)对于学生来说是一个学习难点，在学生完成①②两个步骤之后，不要急于让学生去书写证明过程，而应该引导学生对证明的过程做出深层次的分析，找到证明的关键.只有经过长时间这样的分析训练，才能从根本上解决学生证明难的问题.这个分析的过程不要求学生书写在“纸面”上，在学生的“笔纸”材料中是看不到的，但是这个分析过程对于培养学生的推理能力至关重要，教学中教师应予以重视.

3)定理的应用.通过应用定理解决一些问题，达到理解定理本质、提升推理能力的目的.

对于数学定理的教学，教师要把重点放在引导学生探索发现命题和用逻辑方法证明命题是真命题上.

案例3三角形中位线定理的学习过程.

根据《新课标》提出的“探索并证明三角形的中位线定理”要求，教学中不要把定理的内容直接告诉学生，而要引导学生探索、发现这个结论.基于此，三角形中位线定理的学习内容包括下面3个部分：

1)经历探索三角形中位线定理的发现过程；

2)证明三角形的中位线定理；

3)三角形中位线定理的运用.

本案例的设计是第一课时，主要解决前两个问题.下面是笔者的设计要点：

1)用剪刀剪一张△ABC纸片，你能把剪得的图形拼成平行四边形吗？请相互交流剪拼的方法.

2)图7是学生小明剪拼△ABC得到的BCFD，由此，你能发现什么结论呢？

图7

设计意图本案例以“剪三角形纸片”为主题，设计了上面两个问题，意在引导学生通过剪三角形并拼接平行四边形的活动，探索、发现三角形中位线的性质.学生对活动1)非常感兴趣，很快就能得出结论：沿三角形的“中间”剪开一拼就能拼出图7的形状.

学生通过剪三角形纸片拼接为平行四边形的实际操作能体验到三角形问题可以转化为平行四边形问题进行研究，这不仅可以引导学生进一步探索发现三角形中位线的性质，同时为证明时添加辅助线做好铺垫.这种设计既分散了难点，也体现了三角形与平行四边形的联系，加深了学生对转化思想的认识，也有助于几何直观素养的培养，促进了学生思维能力的提高，不断提升学生的数学核心素养.

至此，教师不要急于引导学生去证明，要利用这个命题培养学生的语言表达能力，可以用下面的问题继续引导学生去思考与探索：

3)如果要证明命题“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”，那么需要先把文字语言转化为图形语言，请写出已知和求证.

4)怎样证明呢？请相互交流.

5)对于上面的问题，你还有别的证明方法吗？请课后思考.

设计意图问题3)的证明方法很多，为了开拓学生的视野，培养学生“一题多解”的能力，笔者设计了问题5)留作课下解决.这样有助于引导学生探索不同的证法，以开阔思路、活跃学生的思维，“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”[6].

数学核心素养不是教师直接用“口耳相传”的方式教出来的，而是在经历问题的发现与提出、分析与解决、结论的猜想与证明等一系列数学活动的过程中，潜移默化发展起来的.数学原理是重要的数学知识，在原理的教学中，我们应根据《新课标》提出的“引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析和解决问题”的要求，结合具体的数学原理内容，精心设计问题串，引导学生要像“小科学家”一样去发现问题、提出问题、分析问题直至解决问题，在这些过程中实现掌握数学原理、培养能力、发展个性、提升数学核心素养的教育教学目标.