数学理解：发展学生核心素养的教学策略

2022-11-22荀步章

中小学教师培训 2022年12期

荀步章

(宝应县实验小学，江苏宝应 225800)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程理念”中提出“促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验”等要求。当前数学教学存在表征方式较单一、知识建构缺系统、思想方法感悟不透、问题解决能力不足等问题。正如章建跃教授所说“课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量‘双低下’”[1]。数学理解是发展学生核心素养的基础和关键，也为发展学生核心素养提供进阶与策略。通过理解数学知识、学会数学方法、感悟数学思想、形成数学经验等过程逐步发展数学核心素养。那么，什么是数学理解？数学理解有哪些进阶？数学教学如何发展学生的数学理解？本文拟从指向核心素养的数学理解这一既是过程又是结果的命题作阐述与探讨。

一、数学理解内涵：发展学生核心素养的新要求

从认知主义视角来看，数学理解是学习者对信息的感知、接收、编码、记忆和提取的一系列过程。李新成教授认为：“学习者根据自己的已有经验和认知结构，主动建构心理表征进而获得心理意义，在此过程中原有知识与新的外界刺激相互作用，发生了意义同化。”[2]用图1可简要表示数学理解的认知过程。

图1 数学认知过程

学生感知新知识，找到新知识的数学特征，把新知识与旧知识联系对比，找到若干支撑和关联的已有经验，通过类属学习或数学推理形成横向联系或纵向联系，从而把新旧知识有效链接，建构知识网络或知识地图，促进学生个性化建构数学认知结构。李士锜教授认为：学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了[3]。

数学理解是建构数学认知结构的基础，也是检验认知结构的主要指标。数学表征是数学理解的有效载体，通过多种形式的数学表征能够促进数学理解的生成与达成。数学表征方式包括情境表征、言语表征、实物表征、图形表征和符号表征等。这些表征可独立呈现，不同表征之间又相互关联、相互促进，形成一个完整的表征系统(如图2)，完整的表征系统对学生的数学理解起支持性和外显性作用。数学知识通常划分为陈述性知识和程序性知识，每类知识教学采取不同的表征方式，以帮助和达成学生的数学理解，完善学生的数学认知结构，形成数学关键能力。

图2 数学理解的五种表征及其关系

斯根普把数学理解分为“关联性理解”和“工具性理解”[4]。“关联性理解”即知道如何做、做什么，并知道为什么这样做；而“工具性理解”只知道如何操作，不知道为什么这样操作的理由。后人完善为“工具性理解、关系性理解、直觉性理解和形式性理解”。数学理解是帮助学生在已有的数学知识和经验的基础上，生成新的数学知识、方法和思想，不断补充和完善认知结构，达到灵活运用认知经验的能力。

二、数学理解层级：发展学生核心素养的新进阶

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出“三会”核心素养的要求，基于数学课程内容和核心素养的主要表现，构建数学理解模型(如图3)。

数学理解模型从三个维度建构：一是从横轴课程内容维度。数学课程内容包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。二是从竖轴核心素养的主要表现维度。小学数学核心素养的主要表现包括数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识和模型意识，这些“指标”与数学课程内容紧密相关，有利于数学理解层级的实施与评价。三是从纵轴数学理解层级维度。主要包括五个层级：表象层理解、解释层理解、联系层理解、思想层理解、创新层理解。数学课程内容和核心素养的主要表现两条轴构成了二维平面图，加入数学理解五个层级，使平面图模型立体化，从三个维度不同要素共同组成了数学理解的空间模型。

图3 数学理解模型

建构数学理解模型并非为了割裂数学课程内容、核心素养主要表现和数学理解层级三者关系，而是从数学课程内容或核心素养主要表现不同维度具体分析学生数学理解的进阶水平。如“数与代数”中“分数”这一概念的理解，可以从这五个层级进行划分，第二学段侧重分数的实物表征和情境表征，在表象层理解分数，初步解释几分之一或几分之几；第三学段采用图形表征和言语表征，在解释层理解分数的意义，初步理解分数和小数的关系，运用图形表征和符号表征在具体情境中理解分数并解决实际问题。学生对分数的理解从直观的“具体意义”到形成“关系思维”再到学会“创新应用”，分数理解是一个螺旋上升的过程，在数学理解的层级上不断进阶。

数学理解在课程内容和核心素养的主要表现中不断递进，表1呈现了数学理解各层级的具体数学表现，学生在数学学习过程中逐步感受数学意义和价值。

表1 数学理解层级

第一，表象层理解。表象层理解是数学内容在学生大脑中所保持的直观形象，是数学技能和数学方法能够初步复现，具体包括借助表象陈述数学结论、操作数学技能、验证数学规律、复述数学方法等。数学知识和技能到数学能力的形成需要借助直观形象为载体进行理解。表象是学生对数学知识的一种映象或结果，也是学生进行数学心理操作的主要过程。表象层理解借助情境表征、实物表征、图形表征等方式，用直观形象的图像思维进行数学理解。

第二，解释层理解。学生用数学多元表征解释数学规律、学会数学方法中的“理”，用自己的独立思考进行举例验证、识别错误、释译规则、表达历程等。解释层理解学生能够初步深入到数学的原理层，借用生活事例、具体情境、实物操作、言语描述、符号表达等不同方式进行“自我”解释，在已有的数学知识和经验上，形成数学初步观点。但解释层理解局限于数学概念、技能或问题本身，缺少概念联结和跨领域内容的关联。

第三，联系层理解。学生逐步学会在数学知识、技能和方法的相互联系中形成“自我”观点。具体包括发现不同知识点之间的联系，运用旧知编织新概念，学会归纳新内容，建构新知识网络。这一层级强化学生对数学知识、技能和方法等不同领域的联系与联结。由知识点向知识线、知识网、知识面的扩展，由单一技能向组合技能、复合技能的“升级”，由生活操作向实验操作、数学操作的“进阶”，在数学联系中走向数学理解、综合理解，培养学生的必备品格和关键能力。

第四，思想层理解。学生在学习数学知识、技能和方法的过程中，逐步感悟数学思想，通过数学学习帮助学生学会思考、学会思维。数学理解中的思想层包括建立数学模型、形成一般方法、运用数学策略、反思数学转化。这一层级侧重数学思想方法的培育、生长、发展到运用，从数学的具体方法到一般方法，从数学的一般思想到基本思想——抽象、推理和模型，发展学生核心素养。

第五，创新层理解。学生的核心素养是在学习过程中逐步发展起来的，核心素养的培育离不开教师的引导点拨和学生的自我经验。创新层数学理解是学生对自己学习经验的深度调动、多样编组、自动迁移、问题解决。创新能力是学生面对新情境新任务，能够从已有经验出发，主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，对旧知、已知和未知进行自主搭建，形成解决问题的新通道，实现学科综合的自觉跨越，对学生而言是“个体首创性”。

综观这五层“进阶”，数学理解具有层次性、连续性和跳跃性，从简单到复杂、从低级到高级、从具体到一般的螺旋上升过程。从同一层级看，又表现为由表层、浅层向深层发展的过程。如表象层理解这一层级，由单一表象到多元表象，从情境表象到言语表象，从实物表象到符号表象，体现了表象理解的广度、高度和深度。

指向核心素养的数学理解模型，为小学数学课堂教学和评价提供实践导向和评价路径，为低阶数学理解发展高阶数学理解提供基础和支撑。当然，学生呈现某一方面的高阶数学理解并不意味着低阶数学理解的全面达成，也可能只是某些内容和方法上的单一表现。高阶数学理解可以促进低阶数学理解的进一步发展，它们之间是相互支撑、相互促进、相互融合、统一发展的共同体。

三、数学理解教学：发展学生核心素养的新策略

(一)表象层理解：多元表征丰富学生数学概念图式

数学概念图式是有组织、有结构的数学概念知识网络，具有一般性和概括性。要帮助学生形成准确的数学概念图式，应通过对数学概念多元表征丰富学生头脑中的数学概念，达到表象理解的情境性、概括性和符号性。如“分数的初步认识”教学：一是情境表征。从猴妈妈“分饼”开始，把1块饼平均分给2只小猴，每只小猴分得几块(半块)？二是实物表征。饼的形状各种各样，出示长方形、正方形、三角形、圆形不同形状的饼，怎样表示出它的一半呢？三是操作表征。学生分组操作，用纸片代表不同形状的饼，通过折一折、画一画、涂一涂，都表示出半块饼。四是图形表征。通过对不同图形的操作过程，学生感悟到“一半”的意义。如果画一条线段表示1块饼，怎样图示它的一半？观察这些图形，表示“一半”的方法有哪些共同点呢？(平均分；分成2份；表示1份)五是符号表征。学生尝试创造表示“一半”的数学符号，这个符号应体现上述三个共同的特点。学生在经历多元表征的基础上独立思考，合作交流，达成共识。上述教学活动充分关注学生已有经验，借助情境和生活经验思考，形成“半个”的概念。实物表征和图形表征相结合，让学生感悟“半个”存在的特征，先平均分成2份，表示其中1份的过程。符号表征强化对“一半”的符号理解与创造。学生已有经验对“半个”有基础，是单个物体的一半。现加强凸显两者关系，即“半个”与“1个”的比较，体现分数的无量纲性，平均分2份中的1份，用“1/2”表示。教学过程要不断丰富数学概念表征形式，让不同学生有不同的理解与表达，对学生建构数学概念图式起支撑性发展性作用。

(二)解释层理解：加强勾连发展学生数学释别能力

弗赖登塔尔认为：“不要教孤立的片段，应该教连贯的材料，这个观念从原则上看是正确的。”杨泽忠教授说：“数学理解的过程起始于积极主动的探索，由学生在接触到新概念时的言语和回顾陈述可知，学生面对一个新概念时，起初虽不理解，但并非完全默然，几乎都有一个根据新概念的有关信息主动猜测的过程，也就是主动联系旧知识、积极尝试与旧知识建立联系的过程。”[5]如“梯形的认识”教学：第一步回忆识别。让学生回忆一下梯形是什么样子的图形，在头脑中提取旧经验，识别梯形表象。第二步分类辨别。信封里有很多图形(如图4)，找一找哪些是梯形？哪些不是梯形？把它们分类。学生把(1)(2)(3)分为一类，(4)(5)(6)(7)分为一类，前面三个不是梯形，后面四个是梯形。

图4 图形分类示例

教师问：“梯形到底是怎样的图形？”学生辨别后面四个图形发现“梯形是只有一组对边平行的四边形。”继续追问：“为什么要加‘只有’两个字？”学生说：“如果不加这两个字，只知道一组对边平行的四边形，另一组对边是不是平行就不知道了。”第三步转化释别。让学生把(1)(2)(3)号图形剪一刀变成一个梯形。引导学生思考：“剪一刀，能不能随便剪，怎么剪呢？”学生抓住梯形的本质说：“长方形和平行四边形要破坏一组平行线，因为长方形和平行四边形都是有两组对边平行”“三角形要创造一组平行线，三角形没有一组对边平行，就要创造一组”“因为梯形只有一组对边平行”，数学概念的形成需要在识别、辨别、释别中加深理解，在解释中理解数学本质。

(三)联系层理解：自主建构发展学生数学认知结构

建构主义强调现实与意义是主体用意识主动建构，强调学习主体的知觉性，主张“学习”是学生认知结构的修正与重建。让学生在具体情境中实现“自我”发现、编译、调整、储存和运用等一系列建构过程。如“长方体体积计算公式”教学：一是课始发现长度、面积、体积的计量方法的相通性。计量长度。出示一条5厘米线段。教师问：“知道它有多长吗？怎么办？”学生答：“用尺量，它里面包含多少个1厘米，就是几厘米长。”要计量一条线段有多长，看它包含多少个相同的长度单位。采用类推的方法计量面积、计量体积。二是课中呈现长方形和长方体的动态变化的过程。动画演示，长方形长与宽的变化引起面积的变化。长延长或缩短宽不变，宽延长或缩短长不变，观察长方形面积变化情况。发现“长方形的面积与长、宽都有关”“长方形的面积等于长乘宽”。再动态演示长方体长、宽、高的变化引起体积的变化。引发学生猜测，长方体的体积可能与什么有关？长方体的体积公式可能是什么？三是课尾展现不规则物体体积与生活经验的链接性。课后布置探究作业：准备一个鸡蛋，一个装有水的正方体容器，一把直尺，想办法求鸡蛋的体积？让学生充分利用身边的素材解决实际问题，在解决问题的过程中完善数学认知结构，发展核心素养。

(四)思想层理解：经历过程培育学生数学思想方法

史宁中教授说：“我确信：数学素养的培养特别是创新人才的培养，是‘悟’出来的，而不是‘教’出来的，因为数学结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的。可以想象，会‘悟’会‘看’的底蕴是把握数学思想，会‘悟’会‘看’的教育是一种经验的积累。”[6]如“长方形的面积公式”教学，出示一个长方形，引发思考，如何求出这个长方形的面积？独立思考，实践操作，合作探究。学生汇报摆法一(如图5)，这个图形的面积是20平方厘米，一排正好放5个小方块，可以放4排，面积是20平方厘米。摆法二(如图6)，一排可以放5个小方块，一共放4排，这些空白不需要摆，仍然是20平方厘米。摆法三(图7)，直接用尺量了长和宽，做上标记，长是5厘米，宽是4厘米，这个图形的面积是20平方厘米。教师引导：“这三种方法，你们觉得哪一种简便？”学生一致认为第三种方法。教师追问：“长方形的面积如何计算呢？”学生讨论后回答：“因为长是小方块每排的个数，宽是小方块摆出的排数，小方块一共个数是每排的个数乘排数，长方形的面积等于长乘宽。”

图5 摆法一

图6 摆法二

图7 摆法三

教学通过三个层次引导学生理解长方形的面积计算公式：一是设置情境任务，用摆小方块的方法求一个长方形的面积；二是比较发现学生不同的摆法，以及摆法背后的思考过程，全部摆满，只摆长边和宽边，用尺量出长和宽；三是发现规律，摆出小方块的个数和长方形面积之间的相等关系，每排个数与长相等，排数与宽相等，建构数学模型，形成长方形面积计算的方法，感悟“简洁”的数学思想。