活用图示巧解高中数学向量题目

◇乐山师范学院电子与材料工程学院 陈利群

高中数学中有不少题目是与向量相关联的，有的计算量较大，稍有不慎容易出现错误。如果能够深谙向量知识的精髓、灵活使用图示法可以巧妙地进行解答，较之于公式计算法，显得更加直观且简单。

向量是既有大小又有方向的，通常用一条有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指表示向量的方向。众所周知，向量的加减运算法则有三个，分别为：①三角形定则；②平行四边形定则；③坐标系解法。

三角形定则：三角形定则主要是将各个向量依次按照首尾顺序相互连接，最后得到的结果为第一向量的起点指向最后一个向量的终点，这种解法称之为三角形定则。

平行四边形定则：平行四边形定则则是选择以向量的两个边作为平行四边形的两条相邻边，而相加的结果就是作为公共起点的那条对角线。同时，平行四边形定则还能解决向量的减法。例如，，相当于对的反向量作平行四边形相加运算，最终由减向量的终点指向被减向量的终点。而这个平行四边形定则只是可以用来做两个非零非共线向量的加减运算。

坐标系解法：坐标系的加减法要从定义的原点作为向量起点，每个向量用坐标表示为（x,y）的形式。那么，与相加为，相减为。简单来讲的话向量的加减就是将向量对应分量的加减，和物理解题中的正交分解比较相似。

以上就是关于向量的加减法的运算法则，三种法则在同时做运算的时候是有自己算法的，所以这就要求学生们在学习向量加减法的时候要注意一点—就是要注意它们之间的运算法则，通过正常的学习来熟练使用上述三种解法。在使用的时候也要注意不能混淆，学生们要求掌握的是必须熟练运用三种法则然后挑选最适合题目的法则来进行解答，不能随便选择，而是要选择最合适的，才是最简便的。

1 深刻理解向量合成的规律

根据平行四边形或三角形法则，我们都知道向量与向量之和，当同向（夹角0°）时最大，反向（夹角180°）时最小，当夹角介于（0°-180°）时，向量和也处于最大值、最小值之间。某些与向量之和相关的题目可以灵活使用这一特性，获得快速、简便作答的效果。

在《5年高考3年模拟》中，记载2011上海春季高考一选择题目。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

书中给出的参考答案为：B.充分性显然不成立，下面证明必要性。

以上参考答案具有一定的计算量，且分析并不是十分清晰明了。从该题目的题干条件看，不外乎涉及到两个知识考点。其一，充分条件、必要条件的概念理解。如果P能推出Q，P是Q的充分条件，Q就是P的必要条件。因此当则互为充要条件；如果满足（是）而不满足（非），则的充分不必要条件，同理则的必要不充分条件。其二，向量的方向性和大小的问题。两个向量要相等，它们的两个要素“方向”和“大小”都相等。

图1

这种解题思路明显比参考答案的使用坐标系解法更直观、简便并且几乎不需要计算。只要学生能深刻领会向量的合成规律，很容易想到需要关注一下向量的角度问题，向量相等须两个要素均相同才行，于是便能想到着眼于观察方向，易得出两向量方向是一致的，大小一个是“1”、一个是“3”，从而获得该题的快速解答方向，草稿上只需勾勒简单图示便可作答。

2 深刻理解向量与三角函数的关系

图2

此类题目只要学生掌握了向量的大小和角度方向与x、y坐标值之间的转化关系，直接根据题意列式作答即可。

3 深挖向量与其他知识点之间的内在联系

中学数学中，向量还可以跟别的知识点联合起来考量学生的综合分析能力。

上述思路是逆向思维想到面积的计算需要对应角度的正弦值，然后思考如何从已知条件获得这个角度，联想向量数量积的两个公式中其中之一涉及到夹角的余弦值，故而对原式进行移项、两侧平方便可将解题思路打通，得出最后结果了。

图3

4 结束语

关于高中数学向量题目的解答思路，始终是要把握住向量知识的基本要领。首先，向量是具备“大小”和“方向”两个要素的基本含义是什么？两种表达形式“大小+角度”、“坐标（X，Y）”之间的相互转换方法是怎样的？坐标表达法与三角函数之间的密切联系是否能联系图示快速完成？其次，有没有掌握向量加减运算法则的灵活选取及运用？向量的数量积计算里，两个公式使用要领的把握是否到位？然后，能否注意到和其他章节知识的关联性，根据题干条件逆向思考大脑中有关知识点，从而快速找寻出正确的解题思路。尤其碰到从未曾做过的题型时，如果是一个基础知识体系掌握完备的学生，以前通过刷题是在不断训练其逻辑思维性的过程，也是在不断地强化学生大脑中各个知识点之间的内在联系的过程，所以他们可以通过已经建立起的强有力的逻辑思维性展开有效的分析和思考，最终能独立找寻出正确的解题思路。相反，对于只专注于单纯刷题并不注重加强基础知识的扎实训练的学生，恐怕只能完成见过的题型，而无法通过自己的逻辑思维做到独立分析作答那些从未见过的问题。

因此，很多时候学生想通过刷题来提高分数，而忽视对基本知识点概念、特性的深刻理解是事倍功半的做法。其实，唯有对知识点全方面基础掌握，遇到各种题目才能灵活运用所学快速且正确解答问题。