MPCK视域下初中有理数运算的教学研究*

王誉锟 金 晶

（黄冈师范学院数学与统计学院 湖北黄冈 438000）

一、问题提出

笔者通过调研发现，学生在进行有理数运算时经常出现偏差，感觉难以适应，逐渐对数学学习产生畏难心理。而部分教师的教学方法和行为存在以下几个问题：忽视学生已有数学经验，不重视推导运算法则的由来；忽视培养学生的观察能力，不利于良好运算习惯的养成；注重学生的运算熟练程度，不注重总结运算思路，挤压学生思考时间；过度关注学生的运算过程，对算理缺少重视；一味强调“标准算法”与“常规算法”，不利于学生的思维发散。此外，许多教师缺乏先进的教学理念，对运算教学持有片面观点，导致教学效果不突出，也不利于学生树立正确的学习观念。

本文拟针对学生在有理数运算中存在的问题，运用MPCK理论剖析数学运算的教学过程，尝试提出相应的教学建议，为一线教师的教学及学生的数学学习提供借鉴与思考。

二、MPCK视域下初中有理数运算的教学

1.理论概述

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），即数学教学内容知识，由香港中文大学黄毅英教授等学者结合数学学科的特点，在PCK的基础上提出的数学教师从事专业教学所应具备的核心知识。MPCK结构模型主要由MK（数学学科知识）、CK（有关数学学习的知识）和PK（一般教学法知识）三部分融合而成。该理论的本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，以增强学生对于数学的理解，提高学生的数学能力和数学核心素养，同时加深数学教师对专业发展的认识[1]。

2.基本维度

中学数学教师的MPCK水平对有理数运算教学有较大的影响。MPCK视阈下的有理数运算教学主要包括以下三个方面：

（1）MK维度下的有理数运算教学

MK是指数学教师应具备的学科基础知识。教师对此知识要有一个多角度、立体化的认识，即知晓某一特定知识的产生背景、思想方法等，准确把握知识本质，明晰纵横向联系。该维度主要解决“教什么”的问题。教师通过分析课程标准对有理数运算的目标要求以及分析教材内容和架构确定教学重点，主要包括设定明确的教学目标，确定贯穿教学的思想，设置课堂教学的情境，呈现有梯度的课堂问题。

（2）CK维度下的有理数运算教学

CK主要是指教师从学生层面了解数学学习的知识，即从知识、思想方法、能力素养方面准确把握学生的现有学情和“最近发展区”情况，确定教学难点，解决“学什么”的问题。从知识层面，教师要对学生在有理数运算时可能存在的误解和遇到的困难进行预判和教学预设，分析学生已有的数学经验和认知水平，了解学生的学习特点和思维习惯，明确哪些问题的解决对学生难度不大抑或存在难度。在思想方法和数学核心素养层面，让学生感知解决有理数运算问题的过程，注重发现、归纳等学习体验，经历合情推理的全过程[2]。

（3）PK维度下的有理数运算教学

“为美好生活加油”是中国石化的企业使命，中国石化青工委也积极践行绿色低碳战略，广泛传播绿色环保理念，倡导绿色生活方式，组织动员青年开展“光盘行动”、植绿护绿、绿色出行、垃圾分类等环保实践，大力开展以绿色生产为主题的“青年文明号”“青年绿色生产示范岗”创建活动，提升青年环保意识和环保技能，助力绿色企业创建。

PK是指教师在MK和CK的基础上具体落实数学教学内容的方法，主要解决“怎么教”的问题[2]。针对学生存在的有理数运算问题，教师要思考如何有效安排教学流程和教学活动，以及如何根据课堂教学反馈做出有效调整，帮助学生理解和解决疑点和困惑，实现知识体系的进一步建构。

三、案例呈现与剖析

1.基础知识层面，学生对运算符号和运算法则缺乏深入理解与实践

存在问题：学生学习有理数时，经常会出现死记硬背运算法则、对“+”“-”的本质存在理解偏差的情况。学生在小学算术的思维定式下，机械理解“正负号表示具有相反意义的量”，认为“加法表示增加，减法表示减少”。在案例1中，学生在执行乘法分配律时错误地转换“+”“-”，从而导致错误的结果。在实际数学教学中，教师不注意推导运算法则的由来，忽视学生已有数学经验，以致学生无法真正理解和内化运算法则。

从MK的角度：教师要对基础知识进行“二次开发”，概括、提炼和升华运算法则和运算符号的“生长点”与“延伸点”，使学生形成多维、立体化的理解。同时，教师要准确诊断学生错误认识的根本原因，如知识负迁移、关联性知识混淆等。教师还应注重学生在学习过程中的整体思维发展，为学生提供表达想法的机会，帮助学生建立合理的知识结构体系，为培养学生的数学运算能力奠定基础。

从CK的角度：学生在以往的学习和生活中已具备一定的运算基础，教师应善于利用学生已有数学经验，引导学生不断同化、顺应新算法，建立知识间的联系，培养数学迁移能力。教师可采用“错例展示”的方式，让学生判断错解与正解之间的差异，分析产生错解的原因，使学生在头脑中形成认知差，有“一探究竟”的冲动，让其在“最近发展区”内不断加深对运算知识的认识和解读。在此过程中，教师要时刻以“引领者”身份通过提问、举例等表征方式引导学生探究，体会知识的发生发展过程，提高学生对知识的感知和运用能力。

从PK的角度：教师在课堂教学中，应充分利用信息技术的动画、视频等方式支持教学，通过创设生活情境，使学生在生活实例中感知数学符号的抽象过程，使“正负号表示具有相反意义的量”这一数学意义生动化、具体化。

2.运算习惯层面，学生缺乏良好的观察能力

存在问题：在日常学习中，多数学生缺少运算前的准备工作——观察，表现出运算求解的盲目性，对题干与问题“一带而过”，结果不仅耗时耗力，且正确率较低。案例2涉及的是有理数乘除混合运算，由于学生没有仔细观察题目特征，就按运算法则从左向右依次计算，直到运算至 ×0 后才“恍然大悟”。实际教学中，教师往往更强调具体的运算过程。因此，良好的观察能力是学生进行有理数运算不可或缺的内容，教师也需提高对其重要性的认识。

从MK的角度：教师应“突出条件化知识的教学”[3]，引导学生明确以下几个问题：运算类型，即观察题目中包含有理数的哪些运算；题目特征，即观察是否包含特殊运算内容或条件，是否与已知条件存在某种联系；运算方法，即是综合信息形成整体运算思路的过程。此过程不仅可以锻炼学生分析问题的能力，且为之后思考具体算法提供基础。

3.数学思考层面，学生缺乏利用题干探求算法的能力

案例3：已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求的值。

存在问题：在有理数运算的练习中，部分学生理论知识扎实，但实际做题时却经常出错，其中部分原因是由于数学思考导致，即无法提取、运用有效信息寻求运算思路。日常检测和考试的范围来源于书本，为提高试题区分度和难度，往往“隐藏”运算条件。而学生对已知条件无从下手，常表现出无法正确表达题目的显性条件，无法深挖出隐藏条件。在教学中，教师一味地进行机械训练，增加运算熟练程度，挤压学生思考的时间，学生无法将所学与题目条件建立联系，不利于培养思维能力。

从MK的角度：对于案例3，学生常因题目条件冗长、问题繁杂，而感到懈怠和无助。在数学运算教学时，教师需展示数学思维过程（即如何利用题目条件逐步转化为已学知识）。这包括由已知条件可获得什么信息，此过程亦能检验学生的基础知识是否扎实；观察运算问题，由条件得到的信息能否直接应用进行求解；信息与问题之间是否存在某种联系，以及是否需要“二次转化”。“授人以鱼，不如授人以渔”，数学教师应让学生学会“举一反三”，以类似的思维过程应对其他问题。

从PK的角度：教师引导学生进行数学思考时，要充分利用图形、图示，或直观模型，促进学生对题目信息深入理解与适当转化，实现其对运算思路的有效探求。同时，贯彻问题驱动教学理念，在讲解过程中发挥“脚手架”的作用，注重师生互动和学生的学情分析，促使学生有效地开展学习活动，培养学生的化归思想。最后，教师要引导学生及时反思思路的形成与发展过程，让学生积累有关数学问题思考的实践智慧。

4.在问题解决层面，学生不理解运算程序蕴含的算理

存在问题：学生运算时机械地执行教师传授的运算规则与程序，但对其中蕴含的算理、适用条件并不清晰，以致学生在实际计算时频频出现错误使用法则和运算律、遗漏运算程序的现象。对于案例4，导致学生错误的原因有：一是类比乘法分配律，认为除法亦具有分配律；二是试图按原式的倒数进行技巧运算，便机械地颠倒被除数与除数的位置，但对最终答案取运算结果的倒数产生疑惑。调研发现，部分教师过度关注学生的具体运算操作过程，而对算理重视程度不够。

从MK的角度：学生掌握运算技能固然重要，但更应引导学生理解和掌握技能背后的“数学”。这是数学教师MK能力发展是否完善的表现之一。结合具体的运算过程，对其算理进行适当揭示，逐步加强学生对其运算意义的深入理解，既是数学运算学习的必要环节，也是进一步提升学生对某一数学运算理解水平的基本手段[4]。对于案例4的教学，教师首先要明确除法没有分配律的根本原因是，在进行除法运算时被除数与除数不能交换位置。其次，教师应解释将原式被除数与除数颠倒位置进行运算的原理是想运用乘法分配律进行简便运算，由于运算的结果即是原式结果的倒数，所以最终答案应取倒数。

从PK的角度：教师是否能把对教学理论与学习理论的认识落实到具体教学中，是检验教师是否具有教学法知识的主要体现。教师在揭示算理时，要以“问题串”的方式，引导学生加深对运算过程的直观理解与几何解释，积极参与问题求解，培养其解决问题的良好图式。同时，根据不同层次学生的课堂反馈进行分层教学，设置有梯度的练习题及时巩固提高，循序渐进地实现由“不知”到“理解”到“掌握”再到“实践运用”的过程[5]，让不同的学生得到不同的数学发展。

5.择优运算层面，学生无法选择最佳算法

存在问题：能否择优运算是学生数学运算能力强弱的表现之一。研究发现，部分学生的算法单一化，且对运算题目缺乏全面思考和深究，不能实现算法优化，无法选择最佳算法。对于案例5，由于学生没有观察到每个因式的一般特征，以致无法找到最佳算法的“症结”所在，而选择直接相乘再相加的方法稍显不实际。教师在教学中不应一味强调“标准算法”与“常规算法”，更重要的是分析运算方法是否适当，运算过程是否合理，应引导学生注重运算过程及运算结果的合理呈现与恰当表达[4]。

从MK的角度：对于有理数运算，教师不能仅仅就题论题，而应注重对知识的概括，对思想方法的提炼，使学生能从多角度看待问题，发展灵活的解题策略，进一步加强学生对相应运算规则的掌握与运用能力[4]。教师在教学时，应重点探索如何把案例5的每个因式展开为的形式，以及发现因式展开后的规律，让学生尽可能发掘多样化算法，培养其数学运算与数学思维的发散性与灵活性。

从CK的角度：教师可根据实际教学情况对数学运算材料进行变式，以促进学生对数学运算的深度理解、牢固掌握与灵活运用[4]。为防止产生“一言堂”的效果，教师应让学生通过交流、合作等方式发现因式的规律，培养其合作问题解决（CPS）的能力，同时密切关注学生的学习过程，了解学生的认知障碍，为学生的探究式学习提供良好支持。

从PK的角度：教师在讲解时，要给学生提供适切的学习评价与反馈，为学生积极表达见解、揭示思维严谨性、师生共同探究创造条件。同时，教师要善于运用启发式问题，帮助学生体会一般解法的不合理性，增强学生寻找最优解法的积极性，实现由“学会”到“会学”的过程。