分式方程的寻“根”之旅

文／唐荣喜

斐波那契是最早应用分式方程的欧洲数学家，早在13 世纪就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《计算之书》中给出了大量分式方程的应用问题，典型的有“分10 问题”和“分钱问题”。但《计算之书》中的所有分式方程在化整后，都没有出现增根现象，因此，斐波那契也就没有意识到分式方程增根的存在。

1850 年之后，西方许多数学著作中也出现了分式方程，但作者们往往对分式方程和分数系数方程不加区别，对增根仍视而不见。

“0 能否作除数”是分式方程是否产生增根的一个重要原因。1880 年左右，分析学的严密化促使数学家们重新讨论这个问题。德国数学家利普希茨、奥地利数学家斯托尔茨等相继指出：0 不能作除数。这次大讨论在一定程度上促进了分式方程增根问题的解决。

1882 年，美国康奈尔大学三位数学教授奥里佛、威特和琼斯在他们合著的《代数》中讨论了分式方程的解法，证明了下面的定理：方程两边乘同一个数，若这个数既不是未知数的函数，也不是0或无穷大，则方程的根不变。三位数学家对分式方程增根和失根问题已经有了比较清晰的认识，他们指出，在方程转化过程中，每一步都必须是正确的，并且是可逆的，否则必须将所得结果代入原方程进行检验，若有任何一步不正确或不可逆，就有可能会出现增根或失根。方程两边同时乘最简公分母显然不可逆，因此必须将所得结果代入原方程进行检验。结果若满足原方程，即为方程的根，否则就是增根。

1899 年，美国宾夕法尼亚大学教授费舍和施瓦特在他们编写的《代数基础》中给出了分式方程的一般解法：先移项，使得分式方程的一边化为0，然后进行通分、化简，再令分式的分子等于0 且分母不等于0 来求解，用这种方法解分式方程避免了增根的产生。

分式方程的增根问题，从发现到解决经历了漫长而曲折的历程，增根问题的完美解决是数学家们前赴后继、不懈追求的结果。数学家们锲而不舍、追求真理的执着精神值得我们学习。