“频率”与“概率”是一回事吗？

文／张卫明

在实际生活中，我们常用随机事件的频率去估计该事件的概率。那么，频率与概率是一回事吗？为什么可以用频率估计概率？如何用频率估计概率？频率和概率虽然是两个不同的概念，但二者既有区别又有联系。下面，我们从两个方面进行分析，来帮助同学们厘清频率与概率的关系。

一、频率与概率的区别

频率是指在试验中，某个对象出现的次数（即频数）与试验总次数的比值。频率在试验之前是不能确定的，它随着试验次数的变化而变化，即便两次重复试验的次数相同，随机事件出现的次数也可能不同，频率也就可能不同。因此，频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量，它是不确定的。

概率是指一个事件发生的可能性大小的数值。概率是随机事件自身的属性，是对随机事件发生的可能性大小的度量。一个随机事件发生的概率是由随机事件自身决定的，并且是先于试验而客观存在的，它不会因为试验次数的变化而发生变化。比如，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率是0.5，与做不做试验或做多少次试验都无关。

二、频率与概率的联系

初学概率的同学可能会产生困扰：概率是什么？是一个精确的数，还是一个近似的数？事实上，一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说），又存在统计规律性（对大量重复试验来说），是偶然性与必然性的统一。随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率会随着试验次数的变化而变化，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，而且，试验次数越多，摆动越小，并且频率会趋于稳定。这个性质就是频率的稳定性。在实际中，当概率不易求出时，人们常常取试验次数很大时的事件的频率作为概率的估计值。试验次数越多，频率与概率就越接近，因此，概率可以通过频率来“测量”。

对于概率可以通过频率来“测量”，我们要明确两点：

首先，频率稳定于概率这个结论是对于在相同的条件下，大量重复试验而言的。如果在试验次数不多的条件下，用频率估计概率是不可取的。

比如，在抛掷硬币的试验中，抛掷一枚质地均匀的硬币50次，正面朝上的有20次，则正面朝上的频率是0.4，于是就认为正面朝上的概率大约为0.4。这样的结论我们肯定不认同，因为误差太大了。如果我们不断增加试验的次数，就会得到不同的结果，而这个结果也会越来越接近这个事件的理论值0.5。因此，频率稳定于概率是对于大量重复试验而言的。

其次，虽然大量重复试验后，一个事件的频率会稳定于它的概率，但频率并不等同于概率，它只是概率的一个近似值。

比如，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5，但人们在做抛掷硬币的试验时，并不能保证硬币正面朝上的次数是试验总次数的一半。事实上，在试验次数很多时，正面朝上的频率只是接近0.5。当然，这与我们在实际中用频率去估计概率并不矛盾，就像测量一根木棒的长度一样。木棒有其客观存在的“真实长度”，但在实际中，我们测量时，必定会存在误差。因此，我们用工具测得的木棒长度，总是稳定在木棒“真实长度”的附近，很难得到木棒的“真实长度”。这里测量得到的数值与木棒的“真实长度”的关系就像频率与概率的关系一样。

对同学们来说，概率是一种新的数学观念。概率中的数学方法和其他确定性数学方法一样，也是一种科学的方法，它能够有效地解决现实世界中的众多问题，能够反映概率的思维方式与确定性思维的差异。

在我们的日常生活和科学研究中，概率都有着广泛的应用，用频率估计概率只是求概率的常用方法之一。希望这篇文章能帮助同学们拨开云雾，为今后的概率学习以及在生活中运用频率和概率解决问题打下基础。