始于运算 达于素养——小学中年级数学运算能力培养的实践探究

薛燕萍

(江苏省常州市冠英小学 江苏 常州 213000)

随着课程改革的不断深入，核心素养被置于深化课程改革、落实立德树人目标的基础地位。计算教学是发展学生运算能力的重要载体。一直以来，运算能力在我国小学数学教学中占据重要的地位，被视为三大基本能力之一，是数学学习的基础，也是日常生活必须的基本技能。苏霍姆林斯基曾经说过：“知识是最容易被遗忘的，而能力却永远伴随终身。”因此，数学教师在教学中要注重培养学生的运算能力，帮助学生掌握各种运算方法与技能，还要在解决问题的过程中引导学生养成严谨的思维习惯。这正是计算教学所蕴含的独特的育人价值，是培养学生数学核心素养的具体表现。

1.数学运算能力的内涵解读

1.1 运算能力的认识。在20世纪，我国的数学教学大纲或数学课程标准中，对于小学生运算能力的培养都是极其重视的，都将其作为核心概念。但2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》却未将运算能力作为六大核心概念之一。直到在《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)中，才从增运算能力为十大核心概念之一，并将其定义为：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写的《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》一书表达得更为详细：不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。归纳起来就是三点：正确运算；理解算理；寻求正确的运算途径。《标准》重新提出运算能力的核心概念，足以表明国家对义务教育阶段学生数学运算能力培养的再次重视，这也是对运算能力在小学数学教学中的地位和作用的肯定。

1.2 运算能力的特征。运算能力的特征包括规范性、理解性、灵活性、合理性和创新性。运算指的是根据一定的数学概念、法则和定理，由一定已知量，通过计算得出确定结果的过程。因此，运算结果和过程的正确是运算“对”的内涵。在运算正确的前提下，教师还应关注学生运算方法的合理性和创新性，过程的理解性和简洁性，以及书写的规范性。

1.3 运算能力的形成。“课标2011年版”指出“运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成的”。其中，“不断地运用”包含两个方面，一方面是不能让学生在已有水平上停滞不前，另一方面是不能超越知识的内容和其他能力水平孤立发展，也就是说，运算能力的培养具有一定的层次性；“一定数量的练习”指出能力培养需要载体和素材，需要把握适度性，它不是“题海战术”。

运算能力并非单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与语言表达、逻辑思维等的有机整合。小学中年级运算能力主要包括整数领域中的口算、估算、笔算、验算、用计算器计算以及灵活计算的能力，要求学生会根据法则、公式正确地进行运算，并理解算理，能够根据问题的情景，寻求与设计合理、简捷的运算途径，并能选择或创新方法，还能对运算结果做合理性的判断。

2.数学运算能力的影响因素

在学生方面，影响学生运算能力的因素主要有以下五点。

2.1 运算书写的规范性。中年级学生不规范的书写习惯主要有以下几方面：有的学生书写不清晰，会把7写成1,6写成0等；有的学生书写不规范，尽量改正。

2.2 运算过程的理解性。大部分学生都会用竖式准确地计算除法，但有的学生对除法中每一个数字表示的意义并不清楚。通过教师的讲解和练习，正确率有所提高，但如果将文字换成图，学生又容易出错。

2.3 运算方法的灵活性。学生在计算时没有灵活计算的意识，拿到题目就做，稍微复杂一点的题目就列竖式，尤其在一步运算中，此现象最为明显。在两步及两步以上的运算中，三年级学生由于还没有真正接触简便计算，所以简算的意识不强。其次，平时练习中这类题目接触不多，所以简算的能力不够。四年级学生会运用运算律进行简便计算，但对于稍复杂的简便计算不能很好的分析题意，没有克服困难的毅力。例如，计算97×24+72时，学生很难发现72就是3个24；计算18+17×29时，学生不会意识到需要将18分成17和1。对于需要多次进行简便计算的，学生不能灵活运算，例如，56×98+56=56×99=5544,在计算56×99时学生没有简算的意识。说明学生对灵活运算的类型还不是很清楚，意识和能力还不强，不会联系运算意义进行简算。

2.4 运算结果的合理性。主要体现在以下三方面：第一，学生数学语言表达能力欠缺，往往写了很多却答不到关键点，没有用算式或字母进行数学语言表达的意识。第二，不会联系运算的特点进行分析。第三，学生在解决问题的过程中，运用估算的意识不强，而估算的方法又比较灵活，需要根据不同情境选择不同方法，学生选择合适的估算方法的能力还不强，例如，足球的单价是72元，王老师买了7个这样的足球，500元够吗？学生常常会运用四舍五入法进行估算，把72估成70，但在此题中显然不合适，学生还要联系生活经验选择将72估大。

2.5 运算思维的创新性。在教师方面，主要是有的教师没有清晰的解读教材，例如，用竖式计算57×40时，如果学生将7和0对位，有的老师也算正确，这些教师往往更注重运算结果，而没有及时优化笔算方法；有的教师教学运算方法时，没有将所学内容放在学生熟悉的情境中，为教而教，这样教出来的学生只会按部就班的计算，往往不理解算理，不知道为什么要这样算，每一步表示什么意思；有的教师在平时的新授课或练习课中，没有渗透灵活运算和对运算结果合理性的判断的方法；大部分教师不会将学情和运算内容结合起来自主设计一些关于运算的题目，往往都是让学生做现成的试卷或练习册，练习没有针对性。

3.数学运算能力的培养策略

3.1 培养良好习惯，降低运算的错误率。俗话说：“好习惯，益终身”。通过统计学生测试和平时作业中运算的得分率和分析错误原因，发现很多错误都是不良的学习习惯造成的。

3.1.1 教师在新授课时应正确的指导书写格式，最好能结合数学史介绍，在学生容易出错的地方重点强调，加深学生的印象。中年级学生用递等式计算时，往往格式会错误，因为学生刚接触递等式会受已有经验影响，如果新授课上老师不强调、不详细地介绍，就很难给学生留下深刻印象。

3.1.2 教师应通过示范、作业指导等，培养学生规范的书写习惯，并长期严格要求。学生书写的随意性经常会导致把1看成6，把7看成1等。

3.1.3 教师应培养学生良好的检查习惯。时时提醒，形成习惯；以身作则，树立榜样；教给方法，避免盲目；语言激励，增强信心；给足时间，落实到位。

3.2 经历丰富活动，让算理与算法相融。在计算教学中，要引导学生循“理”入“法”，让学生不仅“知其然”，更要“知其所以然”，达到以“理”驭“法”、“理”“法”相融的要求。在中年级运算中，对“算理”的理解主要体现在对竖式计算的理解和结合具体问题(算法)步骤的理解，以及对问题解决下的算理理解(表达与分析)。运算教学一般情况下比较枯燥，有的知识点学生自以为会了就不认真听了，教师可以在运算教学中多设计一些活动，以学生为中心，让学生多操作、多交流、多对比、多反思、多归纳，教师相机给予点播与总结方法。

3.2.1 让学生在操作中寻求算法、掌握算理。例如，借助小棒分一分，理解除法计算每一步，尤其是余数的意义；借助正方形摆一摆，理解长方形面积计算公式(长×宽)的由来。

3.2.2 鼓励学生运用已有经验自主或合作探究算法，在对比中促进算理理解。例如，学习《三位数乘两位数》时，当出示例题“月星小区有18幢楼，平均每幢楼住132户，一共住了多少户？”后，学生根据已有经验，会想到以下方法解答。①132×2×9或132×3×6=2376把三位数乘两位数拆成三位数乘一位数再乘一位数。 ②130×18=2340，2×18=36，2340+36=2376把132个18分成 130个18和2个18。 ③100×18=1800,32×18=576,1800+576=2376联系课前复习题。 ④132×20=2640，132×2=264，2640—264=2376联系估算方法，估大了，那就要减去2幢的户数。⑤132×8=1056，132×10=1320，1056+1320=2376把8幢的户数加上10幢的户数就是18幢的户数。⑥用竖式计算。学生联系情境，自主选择方法，在交流中感悟各种算法之间的联系，促进了算法和算理的相融，在掌握算法的基础上理解了算理，对算理的理解能更好的巩固算法。

3.2.3 引导学生归纳运算方法，教师点拨形成计算法则，方便记忆。例如，整数的除法笔算运算法则是“试商定商位，乘商求余数，移数继续除，个位要对齐”。汪履平校长编写的《小学数学学习手册》中，将小学阶段所有运算法则都编成了口诀，方便学生掌握与记忆。

3.3 创设探索时空，体验方法灵活多样。著名数学家陈省身曾说过，数学实自己思考的产物，首先要能够自己思考起来，用自己的见解与别人的见解进行交换……教师要给学生充足的时间去尝试探究、体验感悟，在充分的思考和交流中，对比各种资源，并从中对比、选择出最优方法。例如，在三年级《认识面积单位》这节课，当学生知道了1平方分米有多大时，让学生想办法求出《小学生数学报》的面积，有的学生会用1平方分米的正方形比一比，在比的过程中，学生会感悟到其实只要比一比报纸的长和宽，再相乘，还有的学生会把报纸对折再对折，估出四分之一报纸的面积。在这些方法中，后两种方法显然比较好，对学生思维要求较高，也为后面学习长方形的面积公式奠定基础。

教师在鼓励学生寻求多种方法解决问题的过程中，还要重视让学生体验灵活运算的优势。灵活运算在计算模块(运用运算律简便计算)和解决问题中涉及的比较多。教师在平时教学和练习中，应多设计此类题目，培养学生数感，让学生感受运算方法的多样性、简便性和运算方式的灵活性。

3.4 巧用错误资源，感受方法的合理性。课上，教师应充分利用学生的错误资源，多问“这些同学的方法对吗？你是怎样想的？”等类似问题，让同桌互相说一说，既训练了学生口头表达能力，又促进学生对运算结果合理性的判断。在这样的纠错过程中，错误的学生知道了自己运算方面的不足，正确的学生加深了印象。在交流的过程中，教师要适当渗透判断运算结果合理性的方法的指导，例如，末尾数值判断，结果位数判断，结果与某个乘数的大小判断，结果实际意义判断，估算方法判断，首位结果判断，估算区间值判断等。

课后，教师可以针对学生计算中易混或易错的地方，设计一些对运算结果合理性的判断题或题组对比练习题，给学生提供更多合理选择不同运算方式解决问题的机会，引导学生在比较和辨析中澄清认识，通过分析各种方法，感受方法的多样性，在对比中体悟方法的合理性，更有利于提升运算水平。

3.5 理解运算意义，根据学情创新方法。一个过于简单的问题，学生不用跳就能摘到“果子”，他们的思维就难以被激活，就会失去探究的欲望。在运算教学中，教师可以基于学生经验生长意义，这里的经验可以是学生具有某些能力或者对相关知识的掌握，例如，学习《笔算三位数乘两位数》时，学生可以联系乘法意义和两位数乘两位数的经验，这对于学生不难。那教师设计教案时就要拓宽思路丰富意义，创新方法，设计几个具有合理挑战性的问题，让学生经过深入思考后才能做出应答，这样才能激发学生的内驱力。这样的课堂能够充分激发学生学习的主动性，培养学生自主探究、合作交流的能力。课堂适当延伸可以激发学生的学习热情，培养自主学习的习惯和深度学习的能力。

3.6 合理转化知识，感受数学运算之美。小学数学教材的知识体系都是前后联系的，合理转化可以沟通知识间的联系，引导学生运用转化的策略解决问题，以丰富学生的思维活动经验，增强合理、灵活地进行运算的能力。例如,在学习《三角形的内角和》时，有的学生会将直角三角形转化成长方形，根据长方形的内角和是360°，推算出直角三角形的内角和都是180°，再将锐角三角形或钝角三角形转化成两个直角三角形，再次推算出锐角三角形和钝角三角形的内角和也是180°，从而得出结论“所有三角形的内角和都是180°”，这里既有知识间的转化，也有方法间的转化，合理转化知识可以帮助学生发现一些有趣的数学现象，感受数学的美与趣，激发对数学的好奇心。

核心问题是一节课的教学“主线”，运算教学中通过设计具有开放性、针对性、挑战性和生长性的核心问题来改造传统课堂教学面貌，可以促进学生的运算能力的发展。但运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随数学知识的积累而淡化。运算能力的培养与发展不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括思维素质的提升和发展，真正把运算能力作为数学核心素养，就要从纯碎计算的外表进入学生思维的核心，从能算、会算发展到合理的算、简洁的算的核心，这就是运算教学的至高追求，也是发展学生数学核心素养的重要路径。