完美涡旋光的自由空间传播特性

戴梦婷，耿 滔

（1.上海理工大学 上海市现代光学系统重点实验室，上海 200093；2.上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海 200093）

引言

涡旋光束具有螺旋波前相位，其重要特征是会出现相位奇点，这是由于光子携带的轨道角动量（orbital angular momentum,OAM）会使光束相位结构发生改变[1-2]。拓扑荷数是涡旋光束的重要参量，光束的OAM 与拓扑荷数的大小成正比关系。携带OAM 的涡旋光束在量子信息编码[3]、微粒的旋转与操控[4]、光学超分辨成像[5]等领域有着很大的潜在应用价值，是当前光学领域的研究热点之一。

将携带OAM 的光束应用于光镊系统中，可以使悬浮微粒发生旋转，最近研究者实现了真空捕获微粒的超高速旋转[6]。除了光波以外，自由空间传播的声波也可以携带相应的OAM，当声波携带有足够大的OAM 时，会使悬挂的宏观物体发生旋转[7]。通过OAM 与纳米结构材料发生相互作用，可以诱导长度超过10 μm 的银纳米线在电介质表面产生正弦光学力矩[8]，从而使其在运动过程中获得角加速度。基于OAM 的通信系统可以实现高密度数据通信，在自由空间中的数据速率已达到200 Tbit/s[9]，已有的研究表明其可以用于自由空间和光纤，其工作波长从光波段延伸至毫米波。将携带OAM 的光束与光束复制、相位矫正技术相结合，提高其衍射后的条纹清晰度，从而降低了基于OAM 通信系统的成本[10]。将OAM 与显微技术相结合，使用螺旋谱分析识别梯度和位错，同时利用傅里叶方法进行图像重建[11]。

而一般可携带涡旋相位的拉盖尔-高斯光或贝塞尔-高斯光，其拓扑荷数的改变会引起光束亮环半径以及环宽度的变化[12]，因此削弱了其在图像处理以及光纤传输等方面的应用效率[13-15]。为了改善这一状况，2013 年，Ostrovsky 等[16]首先提出了一种亮环半径与环宽度不依赖于拓扑荷数的完美涡旋光（perfect vortex beam，PVB）概念，并利用空间光调制器产生了PVB，但最初生成的这种PVB 由于受到周围次级亮环的影响，导致其光束质量较低。PVB 的提出引起了研究者的兴趣，大量的研究工作集中于理想PVB 的产生方法。Chen 等[17]借助锥透镜生成了PVB，这种方法大幅降低了外圈次级亮环影响，并实现了对微粒子的操作。Vaity 等[18]基于贝塞尔-高斯函数的傅里叶变换，使用相位掩膜板代替了文献[17]的锥透镜，提升了实验生成光束的质量，并且实现了PVB 参数的实时可控。Chen 等[19]用数字微镜设备生成了具有大拓扑电荷的PVB，该方法扩大了PVB 在高维量子纠缠、光传输与跨越以及材料处理等的应用范围。赵建林等[20]巧妙采用Sagnac 干涉光路，产生了矢量PVB，其横向光强分布不依赖于偏振度和拓扑荷值，并且该光束在纵向传播空间具有良好的稳定性。2021 年，Zhou 等[21]利用电介质TiO2纳米柱超表面，在可见光范围内，在不同波段产生了参数不同的PVB，并可以灵活操控光束的光强分布形状，打破了光强分布一般为圆对称的限制。2019 年，Forbes 等[22]通过理论分析证明了理想PVB 是不存在的，拓扑荷数对光强分布的影响不可消除，并指出光环的半径与光环宽度之比越大，其越接近理想PVB。

如上所述，目前针对PVB 的研究主要集中于产生方法的优化和改进，对其空间传播特性的研究鲜有报道，而对涡旋光束而言，自由空间的传播特性也是影响其应用价值的重要判断标准[23-25]。基于此，本文首先研究了实际PVB 与理想PVB 的吻合程度的影响因素；然后研究了实际PVB 的自由空间传播特性，利用衍射理论仿真计算并详细分析了光束初始面的拓扑荷数、光环半径以及光环宽度对其衍射特性的影响，以期研究成果能对PVB 的进一步应用提供有益的理论参考。

1 理 论

Ostrovsky 等[17]提出了一种光强分布不依赖于拓扑荷数的理想PVB，其可以表示为

式中：(r,θ) 为初始面极坐标；R为光环半径；l为拓扑荷数。通过傅里叶变换，可以获得其空间频谱为

式中：(ρ,ϕ) 为频谱面极坐标；Jl(·) 为第一类l阶贝塞尔函数；kr为径向波数。从式（2）可以看到，理想PVB 的振幅为理想贝塞尔函数，其函数形式向径向方向无限延展，因此需要无穷大的能量，实际无法实现。为了获得近似PVB，需要在式（2）的基础上增加额外的能量衰减项，通常使用贝塞尔-高斯函数来近似，其可表示为

式中，wg表示高斯光束的束腰半径，该高斯光束主要是用于制约贝塞尔光束。这样，只要在傅里叶透镜的前焦面利用锥透镜相位分布构造出如式（3）的贝塞尔-高斯光束[18]，在透镜的后焦面就能获得近似理想的PVB，实验光路图如图1所示。

图1 产生PVB 的实验光路图Fig.1 Experimental light path for generating PVB

对式（3）做傅里叶变换，可以获得实际PVB的复振幅分布[19]

式中：Il(·)为第一类l阶修正贝塞尔函数；T=2f/(kwg)，f为傅里叶透镜的焦距，k为波数。图2给出了R=3 mm，T=0.04 mm 相同，但拓扑荷数l不同的PVB 的光强和相位分布，从图中可以看到，与拉盖尔高斯涡旋光束相比，虽然l从1 增大到15，但光环的形状基本保持不变，受l的影响很小。图2（c）、（d）给出了相应的实验光强分布，从图可以看到，与理论计算值相吻合。比较理论计算和实验测量的光强分布可以发现，理论PVB 的光强分布完全不受拓扑荷数的影响，但实际光强分布会受到拓扑荷数的影响，拓扑荷数较大时会出现轻微的明暗结构，如图2（d）所示。

图2 参数 R=3 mm，T=0.04 mm 保持不变，拓扑荷数l 不同的PVB 的光强和相位分布Fig.2 The normalized light intensity and phase distribution of PVBs with different topological charges l with the parameter R=3 mm and T=0.04 mm unchanged

一般情况，傍轴光束的自由空间衍射可以使用菲涅尔衍射计算，但由于式（3）、（4）可分离变量，因此本文将利用l阶的汉克变换来计算，以达到简化计算的目的，其可表示为

2 模拟分析

PVB 的复振幅分布可由式（4）表示，但其中含有第一类l阶修正贝塞尔函数Il(·)，因此不易于计算和理论分析。文献[18]通过理论分析指出，当式（4）中R/T≫1 时，式（4）可以近似简化为

此时PVB 的光场振幅分布呈现为高斯函数的形式，T可以视作光环宽度。由于R/T越大，近似PVB 越接近于理想PVB[19]，且相比于式（4），式（6）去除了修正贝塞尔函数Il(·)，更易于计算和理论分析，因此被研究者广泛使用。但R/T≫1这一判断依据较为模糊，因此本文首先对这一问题进行了研究。

图3 分别给出了利用式（4）和式（6）计算的PVB 光强分布，为了便于比较，这里对最大光强做了归一化处理。从图中可以看到，当R/T=5 时，相比于式（4）的计算结果，式（6）计算结果的光环中心位置向中心移动，光环宽度较宽。当R/T=15时，两者的计算结果几乎完全重合。

图3 R=3 mm，l=31 时，式（4）和式（6）计算的归一化径向光强分布Fig.3 The normalized radial intensity distribution calculated by equation（4）and equation（6）with R=3 mm and l=31

为了讨论这一问题，本文计算了PVB 初始面的实际环宽度W0，并认为W0/T→1 时式（6）有效，可替代式（4）使用。图4给出了R=3 mm不变时，不同PVB 的实际环宽度W0与T的比值。从图中可以看到，当R/T较小时，环的实际宽度W0小于T，使用式（6）会高估光环宽度，拓扑荷数l越大，两者之间的差距越明显。随着R/T增大，W0/T逐渐趋近于1，趋近速度与l成反比。这说明，式（6）的近似条件与拓扑荷数l相关，l值越大，近似条件越苛刻，需要R/T的值越大。例如l=7时，R/T≥8 即可满足近似条件，但当l增大到l=31时，需要满足R/T≥17 。

图4 R=3 mm时，不同拓扑荷数PVB 的 W0/T 与R/T的变化关系Fig.4 The relationship between W0/Tand R/T of PVB with different topological loads when R=3 mm

利用式（5）计算参数R=2 mm，T=0.056 mm，l=15时，PVB 在不同传播距离截面上的径向光强分布，实验结果如图（5）所示。图5（d）由于光斑尺寸太大，超出CCD 测量范围，因此只有图5（a）～（c）为实验测量结果，图5（d）为理论计算结果。从图中可以看到，实验结果与理论计算结果基本吻合，当传播距离在菲涅尔衍射区内，随着传播距离的增大，环宽度在逐渐变宽，表现出明显的衍射特征，环中心位置基本保持不变，如图5（a）～（c）所示，因此PVB 不具备如贝塞尔光束类似的无衍射特性。随着传播距离进一步增加，光束传播到夫琅禾费衍射区时，光环宽度进一步展宽的同时，峰值位置开始向光轴方向移动，其分布失去高斯函数的形状，逐渐向其频谱的形状，即贝塞尔函数转变，如图5（d）所示。

图5 参数 R=2 mm，T=0.056 mm，l=15 的PVB 在不同截面上的径向光强分布Fig.5 Radial light intensity distribution of PVB with parameters R=2 mm,T=0.056 mm and l=15 on different sections

为了探讨不同参数对PVB 光环宽度展宽的影响，图6 给出了不同参数的PVB 在自由空间传播z=200 mm后环宽度Wz与初始面环宽度W0的比值Wz/W0。图6（a）给出了R=3 mm 保持不变的结果，从图中可以看到，随着T的减小，衍射效应逐渐增强，Wz/W0的比值增大且变化速度越来越快，此时环宽度的增宽几乎不受拓扑荷数l的影响。图6（b）给出了T=0.15 mm 保持不变的结果，从图中可以看到，随着R的增大，衍射效应逐渐增强，Wz/W0的比值增大，但变化速度变慢，最后趋于恒定，当R大于一定数值后，Wz/W0几乎不再变化，即环宽度不再随着R的增大而增大。此时光环的展宽速度受到拓扑荷数l的影响，随着R的增大，不同l的光束其环宽度的增宽会逐渐趋同，但变化趋势不同，l越小，其越快趋向于稳定。

图6 不同参数的PVB 在 z=200 mm处的环后环宽度 Wz与初始面环宽度 W0的比值Wz/W0Fig.6 The ratio of the back ring width Wz to the initial face ring width W0 at z=200 mm for PVB with different parameters Wz/W0

图7 给出了R=2 mm，T=0.056 mm 时，不同拓扑荷数l的PVB 在自由空间传播不同距离后，相应的Wz/W0比值，由于传播距离太远光环变形无法很好地定义Wz，因此z的取值限制在300 mm。从图中可以看到，光环的增宽速度与传播距离几乎呈线性关系，不同拓扑荷数l的曲线几乎重合，说明l对光环宽度随距离的增宽影响很小，只有当l较大时，增宽速度才略微减缓。

图7 R=2 mm，T=0.056 mm 时，不同拓扑荷数l 的PVB 的传播距离z 与 Wz/W0 的关系Fig.7 The relationship between the propagation distance z and Wz/W0 of PVB with different topological charges l when R=2 mm andT=0.056 mm

3 结论

本文主要研究了实际PVB 的自由空间传播特性，发现近似PVB 与理想PVB 的接近程度不仅取决于R/T值，还受到拓扑荷数的影响，拓扑荷数越大，近似条件越苛刻。通过衍射积分的数值计算发现，PVB 不具备如贝塞尔光束类似的无衍射特性，光环宽度会随着衍射距离展宽，并随着衍射距离进一步增大，光环分布形状会逐渐向其空间频谱形式，即贝塞尔函数转变。在菲涅尔衍射区内，当初始面光环半径增大或环宽度减小时，衍射效应都会增强，但其中光环宽度的影响要显著强于光环半径。当初始面光环半径和光环宽度不变时，光环的增宽速度与传播距离几乎呈线性关系，此时拓扑荷数增大会略微减小光环宽度随距离的增宽速度，但影响非常小。