对一道解三角形求取值范围问题的思考*

吕佳峻 (山东省平度市第九中学2020级4班 266700) 指导教师 姜尚鹏

1 问题提出

近期做了一道有关解三角形的高考题，题目如下：

(1)求角B；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．

第(2)题，因为知道了角B，实际上就是求cosA+cosC.对于双变量问题，我们习惯化成单变量问题解决，这样这个题的关键就是怎样把两个角化成一个角．cosA可以化成cos(π-B-C)，再通过诱导公式化简，因为角B在第(1)题已经求出，所以原式就转化成了只含一个变量的式子，又因为三角形是锐角△ABC，即三个角都是锐角，所以可求出角C的取值范围，进而求出原式的取值范围．

下面是解答过程．

这道题目的解答比较常规，也没有什么特别难的地方，但研究高考题关键是从高考题中总结出高考题考查的方向，从而为迎接后面的高考做准备，所以我对这道高考题进行了深入的思考．

2 几点思考

2.1 从三角函数的名称角度进行变式

思考1 既然高考题可以考查两个角余弦的和的取值范围，那是不是也可以考查两个角正弦的和的取值范围呢？

2.2 从三角函数的运算角度进行变式

思考2 既然可以考查两个角正弦的和的取值范围，那是不是也可以考查它们的差、积、商的取值范围呢？

通过搜集其他高考题发现，题目5的类型确实在2019年全国统一高考数学试卷(新课标III文)考查过，题目如下：

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

第(2)题的解答过程是不是与题目5的解答惊人地相似？心中油然而生一种自豪感，原来我也可以命制高考题了．

2.3 从三角形中边的角度进行变式

思考3 三角形的元素分为角和边，前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范围，那么是不是也可以求边的取值范围呢？

思考4 三角形内角的三角函数之间可以通过加减乘除求取值范围，那三角形的边是不是也可以通过加减乘除求取值范围呢？下面让我们来研究一下吧！

题目7—9很显然都可以化成边对应角的正弦求解，转化成前面熟悉的问题，对于题目8还可以用基本不等式求解．

2.4 从三角形中边的几何意义进行变式

思考5 由题目1我发现，命题老师没有简单考查cosA+cosC的取值范围，而是考查了cosA+cosB+cosC的取值范围，所以我想题目6考查a+c的取值范围，是不是也可以考查a+b+c的取值范围呢？这样的好处是三条边的和有几何意义，可以直接说求△ABC的周长的取值范围．

思考6 同样，对于求ac的取值范围，也可以赋予这个式子几何意义，改成求△ABC面积的取值范围．

思考7 既然有些式子是有相应的几何意义的，那是不是可以借助于几何意义解题呢？

关于求△ABC周长和面积的取值范围也是高考命题的热点，原来出题老师是经历了这样的一个过程才命制出来的，不得不佩服，出题老师真的是煞费苦心了．

这样，就可以总结出解三角形中求取值范围问题的解决策略：(1)化角——转化为一元函数求取值范围；(2)化边——结合基本不等式求取值范围；(3)化形——利用数形结合思想求取值范围．

3 结束语

通过这次对高考题深入的思考，我发现自己对解三角形知识的认知更上一层楼，并且发现原来高考题不是随便命制出来的，也是有一定的命制原则的.当我们能从数学的思维和逻辑出发，对高考题多思考一下，说不定我们也可以命制出高考题．同时，我也发现命制一道高考题凝聚了命题人的心血，因此，在后面的数学学习生活中，我会用更加认真的态度来对待数学，并怀着崇敬的心情求解数学题．

指导教师点评：吕佳峻同学的这篇文章，从学生的视角给我们展现了对于一道高考题，可以从哪些角度进行思考．他先从简单的变换角的三角函数名入手进行变式，之后上升到运算的变式，再之后由角过渡到边的变式，最后又赋予了边的运算相应的几何意义进行变式，整个思维过程层层深入，思考也越来越有深度，很好地展现了一位高中生良好的数学素养．同时关于求解解三角形中取值范围问题的解决策略也是不断地增加，从最初的“化角”，到中间的“化边”，到最后的“化形”，解法不断完善．题目的不断变式，体现了吕佳峻同学掌握知识的广度和思考问题的深度；解法的不断完善，体现了吕佳峻同学解决问题能力的厚度，这篇文章为高中生如何思考数学问题提供了范例，值得借鉴．