学生如何才能学好数学(续)

2022-11-18郑毓信南京大学哲学系210093

中学数学杂志 2022年6期

郑毓信 (南京大学哲学系 210093)

3 聚焦“数学学习”(1)：加强思考

如果你将来不想成为数学家，甚至也不想从事任何与数学密切相关的工作，那么数学学习的主要意义又是什么？毕竟我们自入学以来已经、并可能仍将在数学学习上花费大量的时间和精力，自然就应认真地思考如何才能通过数学学习得到真正的收获，后者当然不应局限于一般所谓的“日常数学”，即日常生活中要用到的基本数学知识与技能．

在笔者看来，著名数学家、数学教育家波利亚的以下论述已为上述问题提供了明确解答：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识．对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们(无论他们以后是做什么工作的)做了好事．能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情．”[8]

具体地说，由于数学可以被看成“思维的科学”，因此，数学学习的主要作用就是有助于学生思维的发展，对此我们应超出数学、从更一般的角度进行理解，这也正是波利亚何以特别强调“思维习惯和常识”的主要原因．简言之，我们应当致力于通过数学学习逐步学会更清晰、更全面、更合理、更深入地进行思考，或者说，应努力提升自已的思维品质．因此，就如何学好数学而言，这就是最重要的一点，即加强思考．

在笔者看来，从同一角度我们可以更清楚地认识现行的数学教学存在的问题，特别是“题海战术”所造成的严重后果．因为，所谓的“大运动量”事实上就是机械学习，希望学生单凭机械记忆和简单模仿(包括“解题活动的程序化和算法化”)，就能在数学考试中取得较好成绩．但是，即使上述做法确实对提升考试成绩起到一定作用，但考虑到我们为此付出的巨大努力，而这些除考试外又无任何真正的用处，那么，这显然就是一种得不偿失的行为．

另外，如果着力于解决问题能力的提升，而不只是如何能在各种常规考试中取得较好成绩，那么上述做法的效能也就大可质疑．因为真正的“问题解决”，无论这是指数学内部或是数学以外，都应视为一种创造性的工作，从而就不可能单纯依靠现成的知识与技能(包括“解题策略”)的简单应用就能实现．恰恰相反，由于问题的多样性和复杂性，更由于相应思维活动的非逻辑性，即不仅可能表现为纯粹的灵感或顿悟，更必然有一定的或然性与个体性，因此，尽管我们应当充分肯定“题型分析”的重要性，努力提升学生的辨识能力，也应高度重视“解题策略”的学习，从而在遇到困难时就可获得一定启示，但是单靠这些显然还不足以保证解题活动的成功，恰恰相反，我们应由具体的数学思想方法和解题策略转向一般性的思维策略与思维品质的提升．

特殊地，从上述角度我们也可以清楚地认识并努力纠正这样一种倾向，即对于“快”的片面追求．以下就是这方面的两个实例：

其一，著名数学家姜伯驹先生在接受采访时明确提及数学带给他的最大收益是学会了长时间的思考，而不是匆忙地处理问题．

其二，我国最年轻的数学院士孙斌勇(2019年)在被问及如何学好数学时给出的回答：“我从不要求快的，能用笔算的不口算．我和女儿也这么说，稳是最重要的．”

养成“长时间思考”的习惯和能力有重要的普遍意义：“快思”占据主导的地位是人类思维的一个重要特点，虽然这对于人们的工作和生活具有十分重要的作用，但也有明显的局限性，特别是，经常会导致各种规律性的错误．因此，作为自觉的努力，我们应十分重视如何能够逐步学会“长时间思考”，从而切实提高自身的思维与认识能力，包括有效克服与纠正“快思”可能导致的各种错误，这就是数学学习所应发挥的一个重要作用(详见文[9])．

以下就对数学学习中应当如何进行思考做出具体分析，即我们应当围绕哪些问题进行思考．

第一，“为什么？”这是指，学习中我们必须明确反对机械记忆与简单模仿，而应切实做好理解的工作．

这事实上也正是孙斌勇院士在接受采访时提到的主要经验：“我小时候看书特别仔细，我想这是唯一的不同．”“细到每一句话都能理解它什么意思．数学里每一个定理，比如不等式，我都能自己证明．”“我就是想搞明白，想学得清楚，不稀里糊涂地学习．很多人越学越糊涂，尤其是数学．”[1]

当然，这并非一个全新的主张，因为数学学习从来强调理解，我们更应将此很好地落实于数学学习的各个方面，如为什么要对概念做出相应的定义，其合理性究竟何在？相关结论是否真的可靠，或者说我们究竟为什么可以将此看成完全可靠的？在解决问题的过程中为什么要采取相应的方法，你又是如何想到的？等等．

应当提及的是，认知科学的现代研究已为上述做法提供了直接的论据．具体地说，这也是一篇综合性的文章的直接主题[10]：“我们试图定义一个研究支持下的建议子集……该子集……对课堂教学有清晰而直接的启示．”这就是文中提到的第一条建议：“解释性提问．”“精心讯问，简单说来就是问‘为什么’……包括‘为什么这是真的？’‘为什么……是合理的’……”这就是相关作者何以将此称为“解释性提问”的主要原因：“学习者可以通过向自己解释来理解新知识.”“使用解释性提问不仅促使学生回忆信息，而且促使他们综合、阐述、生成、假设和解释信息．从理论上来说……这种提问方式是让学生主动参与学习过程的一种方法．”(1)文中所提到的另外两个建议分别是“范例的使用”和“元认知策略的训练”

应当强调的是，除去数学学习本身以外，上述方向的思考还具有更普遍的意义：这十分有益于我们学会理性思维，包括理性精神的养成，后者可以看成未来社会特别需要的一种品质，即有助于我们纠正行事过于仓促、过于任性这一常见的弊病，包括对于时髦潮流的盲目追随．

第二，“如何发展和优化？”这是指，除去单纯的“为什么”，我们还应十分重视更高层次的思考，即如何能对已获得的结果作出推广和发展？如何能够通过新的抽象获得更深刻的认识？我们又如何能对已有的方法作出改进？等等．另外，我们又如何能由已有工作得到更大的收获？

具体地说，这正是“数学传统”的一项基本涵义，即数学家们通常并不满足于简单的“问题解决”，而是力图通过提出新的问题和进一步的研究不断取得新的进步，如我们能否对已获得的结果作出推广？在各种看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍性的理论？他们也总是希望达到更大的简单性和精致性，如能否找到更简单的证明？又能否对于相应的表述方式(包括符号等)作出改进？等等．

再者，这可以看成数学学习的本质所在：这主要地不是指知识和技能的单纯积累，也不是指不断的纠错，而是一个不断优化的过程，包括认识的深化与方法的改进等．

鉴于我们的立场，笔者特别强调“入”和“出”这样两个关键词，我们不仅应当十分重视“理解”的工作，如通过自己的思考使得相应的过程和方法真正成为“可以理解的和可以学到手的”，而且也应高度重视如何能够对此作出推广，包括超出数学发挥更大的作用．例如，从上述角度我们可以更好地理解以下主张的合理性，即就日常的解题活动而言，我们不应满足于顺利地解决问题，而应由单纯的“就题论题”上升到“就题论法”和“就题论道”(王华语)．

更一般地说，这就是笔者何以特别强调以下几点的主要原因，即我们在数学学习中应当特别重视这样一些思想的学习和应用：“序”的思想与思维的清晰性，“联系的观点”与思维的深刻性，“变化的思想”与思维的灵活性，“总结、反思和再认识”与思维的自觉性．(详见文[11])

最后，正如前面已提及的，我们也应十分重视个体的特殊性：“适合自己的才是最好的．”当然，我们不应将此理解成学习上的固步自封，恰恰相反，我们应当努力做好“创造的自由性和指导的约束性”之间的适当平衡．

第三，强调思考并不意味着对其他各种学习形式的绝对排斥，恰恰相反，这正是所谓的“多元表征理论”(可参见文[12])给予我们的一个重要启示，即人们的思维活动往往与其他一些活动密切相关，后者对此具有重要的促进作用．

例如，就数学学习而言，所谓的“动手实践”就是特别重要的一个方面，特别是，鉴于学生的认知特点，这甚至可以看成不可或缺．当然，就这方面的具体工作而言，我们应坚持这样一个原则：不应为动手而动手，而应更加注重“以动促思”，即以动手促进自己的思考．

在此笔者特别强调“画图”的重要性．从理论的角度看，这也同样涉及到了“内”与“外”之间的关系，只是其重点并非“活动的内化”，而是思维的“显性化”或“可视化”．由以下论述我们可以很好地认识“思维外化”(具象化)的重要性，尽管其直接论及的只是“编程思维”：“通过把原本抽象的程序具象化，我们可以对其进行全局审视和局部聚焦，不断地进行修改和完善……如果一个想法只是装在我们的脑子里，我们往往会认为自己对它足够熟悉，而很少会对它进行不同角度的审视和思考，也就很难发现其中的问题和缺陷．可是一旦把它写出来(画出来——注)，我们就能梳理清楚它的结构脉络，仔细斟酌并完善其中的每个细节．在这个过程中，我们还可以让更多的人加入进来，利用集体的智慧来避免个人认知和视角的局限．”[13]

显然，由以上论述我们也能引出这样一个结论：相对于“直观性”而言，我们应当更加重视图形对于思维的辅助和促进作用，这也是指，相对于一般所谓的“直观图”或“几何图形”而言，我们应当更加重视“流程图”和“概念图”的学习和应用．由此我们可以更好地认识数学学习的普遍意义，因为，数学学习显然十分有益于我们很好地掌握所说的方法，后者可以、并且事实上已在各个领域中得到了广泛应用．

总之，我们既应高度重视各种学习方式的综合应用，又应很好地落实这样一个要求，即应以各种方式促进思维，而不应喧宾夺主．

最后，为了避免错误的解读，笔者特别强调这样两点：

其一，我们是否可以完全不去考虑考试成绩的提高？恰恰相反，上述建议事实上也可以看成为我们如何能够提升自己解决问题的能力，从而也就能在各种考试中取得较好成绩提供了一条“正道”，这也是指，与机械记忆和简单模仿相对照，我们应当更加重视思维策略的学习和应用，特别是自身思维品质的提升．

例如，类比联想显然有助于解题途径的发现，包括通过将事物联系起来加以考察我们即可获得更深入的认识；通过适当的变化我们可以更好地实现“化未知为已知、化繁为简、化复杂为简单”，包括逐步学会从不同的角度分析问题和解决问题；再者，借助“总结、反思与再认识”我们可以实现更大的自觉性，特别是，使相应的思维过程对于自身而言真正成为“可以理解的，可以学到手和可以推广应用的”．

其二，如果自已在数学学习中感到十分轻松，如对教师课堂上的讲授一听就懂，做作业时也没有任何特别的困难，上面所讲的对我而言是否就不具有任何意义？事实上，这也正是笔者的一个亲身体验：尽管在校学习期间自己的成绩一直不错，却只是在走上工作岗位的多年以后才认识到了未能尽早思考更重要的一些问题所造成的严重后果，甚至更可说因此而浪费了大量的时间和精力．还应强调的是，就如何更好地进行学习而言，上面的论述也有重要的启示意义．相信读者由下一节的论述可以更好地体会到这样一点，因为，这些方面在现实中常常未能获得人们的足够重视，但它们对于数学学习事实上也非常重要．

4 聚焦“数学学习”(2)：其他一些重要的方面

第一，总结、反思与再认识．

不同于一般所谓的反思，即我们如何能够清楚地认识与有效纠正自己的缺点与错误，数学中所说的反思具有更广泛的涵义，并与再认识有着直接的关系，这也是指，我们如何能够通过进一步的分析思考，包括更高层次的抽象等，实现认识的不断深化．

这事实上也可以看成数学发展的基本形式：除去“由少到多、由简单到复杂”这一明显的趋势以外，存在相反方向上的发展，即我们如何能够通过深入研究很好地实现“化多为少、化复杂为简单”．例如，我们应从这一角度更好地理解数学的高度抽象性，包括人们为什么会将此称为“自反抽象”，并因此而认定数学发展主要归结为“纵向的发展”，而不只是同一层次上的扩展．

又如华罗庚先生的以下论述所清楚表明的，上述的辩证运动也可以看成我们如何能够真正做好学习的关键，尽管他使用的语言并不完全相同：“由薄到厚是学习、接受的过程，由厚到薄是消化、提炼的过程.”“经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，我们的基础就算是真正打好了．”[14]不难想到，这里所说的“总结、反思与再认识”事实上也可以看成我们很好地实现“消化”与“提炼”的基本途径．

当然，我们不应将所说的“纵向发展”与“横向发展”简单对立起来，而应清楚地认识两者之间的辩证关系，特别是，相对于单纯的积累而言(无论就数学基础知识和基本技能，或是“活动经验”而言)，我们更加重视如何能够通过“总结、反思与再认识”很好实现由“局部性认识”向“整体性把握”的过渡，包括逐步建立结构性的认识，真正做好“突出重点，以主带次”．

还应强调的是，即使就日常的学习活动而言，后一方面的思考也有十分重要的意义．例如，如果我们在解题过程中遇到了很大困难，这时就不应始终局限于单一方向上的思考，乃至唯一集中于如何能够尽快地解决问题，而应跳出这一框架从更大的范围进行分析思考，如什么是近期学习的主要内容？什么是要解决的主要问题？主要的难点是什么？什么又可以看成突破难点的主要手段或方法？等等——尽管这些思考似乎已在一定程度上偏离了当前的任务，但又正如“居高临下”这一成语所清楚表明的，相关思考往往会对我们顺利地解决所面对的问题有很大的帮助．

最后，上述分析更清楚地表明了学会“长时间思考”的重要性，因为深入的分析思考、特别是“总结、反思与再认识”都不可能单纯依靠“快思”得到完成，这更可以看成真正的数学工作(乃至一般性创造性工作)的一个重要特征．

第二，努力提升自身提出问题的能力．

这事实上可以看成中国数学教学十分重要的一个特征，即教师特别善于通过适当提问引导学生积极进行思考，从而在充分发挥引领作用的同时，也能很好地落实学生在学习活动中的主体地位．显然，依据这一分析我们可以清楚认识“学会提问”对于学生学会学习的特殊重要性：届时我们就可由主要是在教师引领下进行学习转变为通过适当提问实现学习上的自我引领，也即真正成为学习的主人．

由“元认知”在解题活动中作用的分析相信读者对此有更好的认识．具体地说，所谓“元认知”，是指解题者对于自身正在从事的解题活动(包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中作用等)能够始终保持清醒的自我意识，并能通过自我分析和评估及时作出必要调整．显然，元认知水平的提升十分有助于我们有效地防止与纠正“盲目干”这样一个现象，后者既包括解题者不加思考地就投入到某一方向之中，也是指其始终未能作出及时的评估与调整，而是“一股劲地走到头”，但却未能取得任何的进展，或是尽管取得了某些结果但却对于最终解决问题毫无作用．进而，这又可以看成我们如何能够有效提升自身元认知水平最重要的一个途径，即在平时的解题活动中应当经常问自己这样三个问题：我正在做什么？为什么要这样做？这样做了究竟产生了怎样的效果？

另外，依据先前的分析可以发现：适当的提问也是我们真正做好“总结、反思与再认识”的关键．又因为无论是后者或是“元认知”都清楚地表明了主体是否在学习活动中表现出了较大自觉性，由此我们可以更清楚地认识“学会提问”对于学会学习的特殊重要性．

最后，我们也应超出学习、并从更一般的角度认识学会提问的重要性，特别是这直接关系到了创新能力的培养，因为提出问题的能力应当说比解决问题的能力更加重要．再者，这当然也是我们应当特别重视的一个事实，即中国学生往往不善于提出问题，从而就应切实地加强．

例如，从教学的角度看，我们应当十分重视保护学生的提问积极性，而不要因为一些不恰当的做法使他们逐步变得不敢问、不爱问、不善问．当然，作为问题的另一方面，我们也应清楚地认识到这样一点：正如解决问题能力的培养，提出问题能力的提升同样主要依赖于后天的学习．因此，片面强调“学生所提的问题都是合理的”只会起到误导的作用，恰恰相反，无论是教师或学生都应在这方面作出更大的努力，包括将这一思想很好地渗透于日常的数学教学活动之中．例如，这事实上也正是数学发展的又一重要特征，即每个数学分支都有自己的基本问题，相关理论就是围绕这些问题逐步得到建立的．因此，我们应将问题的清楚界定与适当表征看成数学学习的一项重要内容，并通过这一途径逐步提升自身提出问题的能力．

第三，学会合作．

由以下论述我们可以清楚地认识到学会合作的重要性：“到了21世纪，我们大部分人将与他人一同协作，相互提供服务……我们必须意识到，工作的固有尊严来自人与人的关系，而非人与物的关系．我们必须意识到，好的工作就是与他人沟通交流，理解他们的期许与需求……”[3]

当然，相对于这种一般性的论述，我们应深入地思考“学会合作”对于学好数学、特别是促进自身思维发展的特殊重要性，包括我们如何才能很好地实现这样一个目标．

例如，相对于“大声地说，清楚地表达”这种一般性要求而言，我们应当更加重视“想清楚了再讲”，即应当在表达前先对自己头脑中的想法作出认真的自我梳理、审视与必要的调整；再例如，相对于“仔细地听”这一要求，我们应更加重视比较与分析的工作，因为其他人的看法或做法为我们进行深入思考提供了重要背景，我们应当通过不同想法或主张(包括主体原有想法)的比较分析实现认识的不断优化．

当然，作为必要的平衡，我们也应“学会独处”，而这不仅可以看成是由数学学习本身的性质所直接决定的(这主要依赖于主体的独立思考)，也可以看成这样一个主张的必然要求，即我们应当努力养成“长时间思考”的习惯和能力，特别是具有较强的反省意识，包括超出数学、并从更一般的角度进行分析思考．

例如，著名学者周国平先生就曾指出：“怎样才能使灵魂丰富呢？欣赏艺术，欣赏大自然，情感的经历和体验，这些都很重要．除此以外……要养成过内心生活的习惯．人应该留一点时间给自己，和自己的灵魂在一起，静下来，想一想人生的问题，想一想自己的生活状况……我承认交往是一种能力，但独处是一种更重要的能力，缺乏这种能力是更大的缺陷．”[15]更一般地说，这也正是现代人必须具备的又一基本素养：“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多，每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时，它就停止运转了．但是，当一个人给自己暂停一下的时候，他就重新开始了．你开始反思，你开始重新思考你的假设前提，你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”[3]

最后，笔者愿意再次强调“学会自律、自立”的重要性，这不仅是因为这两者应被看成“做好合作”的必要前提，更重要的是，上述各项要求就总体而言为我们如何能够学好数学指明了努力方向，但是，假如我们不能在这些方面做出切实努力，特别是通过自律、自立不断取得新的进步，那么所说的一切显然就都只是纯粹的空谈．

另外，上面的论述当然也不应看成已经穷尽了所有重要的方面，恰恰相反，我们应通过积极实践和深入思考作出进一步的分析思考．这事实上也应看成一个十分重要的方面，即辩证思维的指导，特别是，我们应处理好这样一些辩证关系：“学生取得自己的乐趣与满足教师的要求”“创造的自由性和指导的约束性”“内在的思维活动与外部的活动或表现”“合作与独处”，等等．

当然，对于后者我们也应联系自己的学习作出进一步的分析总结．例如，我们应当如何处理“快与慢”之间的关系，特别是，我们不应单纯从时间的维度上去进行理解，而应更加注重相应的实质性问题，在学习中应“当快则快，当慢则慢”，特别是，既不应在形式等方面花费过多时间，又应舍得花时间进行深层次思考，特别是做好总结、反思与再认识的工作．再者，这也是我们应当特别重视的一点，就是既要十分重视方法的学习和应用，又要始终保持头脑的开放性和批判性，特别是，要清楚认识各种方法都有一定的适用范围或局限性，并努力做到“以正合，以奇胜．”