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基于发展推理能力的数学实验教学例析*

2022-11-18

中学数学杂志 2022年7期
关键词:圆片圆心情境

许 彬

(江苏省苏州中学园区校 215021)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)指出:推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[1].推理能力是学生适应终身发展和社会发展需求的关键能力,是数学课程和数学教学的重要目标.数学实验是以“做”为支架,学生运用相关实验工具,通过实际操作、提出猜想、验证结论,理解数学知识的思维活动.在实验活动过程中,学生使用合情推理作归纳、类比、猜想,并用演绎推理给予证明,因此数学实验为学生推理能力发展提供适宜的问题情境,给推理能力发展足够的活动空间和机会,它是一种发展学生推理能力的有效方式.在苏州市第5届数学实验专题活动中,笔者基于发展学生推理能力设计并执教了“探究圆心运动路径问题”的数学实验课,本文笔者以数学实验的教学设计与思考作例析,以飨读者.

1 数学实验教学设计与分析

1.1 数学实验的教学目标

(1)经历数学实验,探究圆在图形内、外滚动时,圆心经过的路径长.

(2)在操作、观察、猜想、归纳中发展合情推理能力,经历计算、证明等实验活动,发展演绎推理能力.

(3)通过数学实验,积累活动经验,感受数学文化.

1.2 数学实验的教学准备

授课对象是九年级学生,已经学完江苏科技版数学九年级上册全部内容,全班共分6个小组,每组7人,教学时长45分钟.每组已准备的实验工具有:半径1 cm的塑料圆片1个;半径3 cm的圆圈1个;边长4 cm的正方形框架1个;边长 6 cm的正三角形框架1个;万花尺一套;五彩笔1盒;尖头细木棒1根;炫彩纸4张;三角尺1副,量角器、圆规各1个.

1.3 数学实验的教学设计与分析

实验1:探究内滚圆的圆心路径长

(1)圆与圆内切时圆心运动路径长

①操作与计算:将笔尖插入小圆片的圆心,如图1使小圆沿着圆圈内滚一周,圆心O运动的路径是多长?

图1

②猜想并验证:若⊙O的半径为r,⊙O′的半径为R,点O运动的路径长是多少?

设计分析九年级学生已学完圆的知识,实验(1)对于他们来说比较容易,开始的低起点能使学生快速融入课堂.从猜想到验证,合情推理和演绎推理依次训练.

(2)圆与正多边形“内切”时圆心运动路径长

①操作与验证:将笔尖插入小圆片,如图2放在边长为4 cm的正方形框内,小圆片与正方形的边保持相切滚动一周,求点O运动的路径长并予以验证.

图2 图3 图4

②类比与思考:若将①中的小圆片放在边长为6 cm的正三角形框内,如图3小圆片与正三角形的边保持相切滚动一周,点O运动的路径长是多少?若框架是边长6 cm的正六边形呢?

③猜想与归纳:若半径为r的⊙O在边长为a(a>2r)的正n边形内,如图4小圆片与正n边形的边滚动一周,先猜想点O运动的路径长,再归纳出一般结论.

图5 图6

图7 图8

实验2:探究多边形外滚圆的圆心运动路径长

(1)操作与观察:借助两圆外切的概念(图9)将笔尖插入小圆片,放在边长4 cm的正方形框外部,如图10,沿着正方形边框滚动一周,此时圆心O运动的路径长是多少?

图9 图10

(2)类比与思考:如图11,小圆片在△ABC外沿着边滚动一周,若△ABC的周长是12 cm,类比(1)画图并求圆心O运动路径长.

图11 图12

(3)猜想与验证:如图12,半径为r的⊙O在多边形外部沿着多边形的边滚动一周,若多边形周长是C,试问圆心O运动的路径长是多少?请猜想并验证.

图13 图14 图15

实验3:实验之美

图16中是一副万花尺,将笔尖插入小孔,使小尺在大尺内、外滚动起来,交流、展示笔尖的运动路径图案.

图16 图17

设计分析该活动与实验1、2相呼应,使学生体验实验之美,感受与数学实验相关的“繁花曲线”文化.图17是学生用竹签或五彩笔插入万花尺,可在白纸或炫彩纸上画出如图18、19的美丽图案.同时教师向学生介绍“繁花曲线”的创作人杨秉烈先生,讲述他发现和创作的经历,激励学生要善于发现,勇于创新.

图18 图19

2 思考

第24届“国际数学家大会”圆桌会议达成共识:“培养学生的推理能力应当作为数学教育的中心任务”.《课标(2011年版)》把“推理能力”作为10个核心概念之一,充分体现发展学生数学推理能力的重要意义.

2.1 数学实验为发展学生推理能力提供适宜的问题情境

该数学实验教学用精心设计的问题情境引导学生自主探索数学结论,推理能力在数学实验探究中得到锻炼和发展.首先,用问题情境激发出学生的探究兴趣和求知欲,如“将笔尖插入小圆片的圆心,使小圆沿着圆圈内滚一周”,学生边操作边观察,边尝试边思考,目的是为了正确得到“圆心O运动的路径长”.一个个这样的问题情境贯穿数学实验始末,学生在探究兴趣和求知欲的推动下主动观察、归纳、猜想、验证,合情推理与演绎推理相互促进发展.其次,用开放性问题情境给学生推理能力发展留出余地,如“半径为r的⊙O,在多边形外部,沿着多边形的边滚动一周,若多边形周长是C,试问圆心O运动的路径长是多少”、用万花尺画各种美妙图案等,这些问题情境的结果都是开放性的、多元的,学生要经过数学实验操作和验证才能得出论断.最后,用可操作性问题情境化抽象数学知识为具象,使学生变“想数学”为“做数学”,变被动接受为主动探究,学生的推理能力和意识在具象化的数学实验活动中得到切实锻炼.案例中数学实验的教学设计思路如图20所示.

图20

2.2 数学实验为发展学生推理能力提供丰富的活动空间与时机

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