变杆长X 形结构隔振系统动力学特性研究

朱冬梅，刘伟，刘海平，鲁光阳

（北京科技大学 机械工程学院，北京 100083）

在振动工程领域，传统三参数隔振器不仅可以有效抑制谐振峰值，并且在高频范围的衰减率可达-40 dB/dec，因此，得到广泛应用[1].

为了改善三参数隔振器的减隔振性能，研究人员开展了大量研究. 刘海平等[2]建立了双层高阻尼隔振器，可实现无谐振峰值的振动控制效果；SILVA[3]和WANG[4]分别尝试采用立方刚度替换主弹簧刚度Ka和辅助弹簧刚度Kb，计算结果表明，谐振频率及高频范围的传递特性得到改善. 但是，立方刚度在实际中很难实现. 近年，基于仿生原理，X 形结构被引入减隔振领域并提出多种新颖的理论模型,如针对含X 形结构隔振系统开展研究并发现其优良的减隔振性能[5-10]. 在此基础上，LIU 等[11]尝试将传统三参数隔振器和X 形结构相结合提出改进三参数隔振器，指出新型隔振器不仅可以有效抑制谐振峰值且对高频传递特性没有影响. 刘国勇等[12]提出了一种4 杆铰接的放大机构，其隔振系统的绝对位移传递率得到明显衰减. 上述模型针对X 形结构的讨论较少，尤其，当刚性连接杆杆长变化时产生的影响尚未研究.显然，变杆长X 形结构模型更具普适性.

综上，文中提出含变杆长X 形结构隔振系统模型. 研究表明，含变杆长X 形结构隔振系统不仅可以显著降低谐振频率的峰值，而且在高频范围的传递特性不受影响. 相关的研究成果可为新型隔振器的设计提供理论参考.

1 变杆长X 形结构隔振系统建模

含变杆长X 形结构隔振系统模型如图1 所示. 其中，Ka为主弹簧，水平辅助弹簧Kc和阻尼元件Ca并联安装在X 形结构中，该X 形结构上端连接竖直辅助弹簧Kb、下端连接基础. 未受载荷时，隔振系统的初始状态用虚线部分表示；实线部分则为隔振系统在受到载荷时的静平衡状态；X 形结构是由长度为L1、L2、2L1、2L2的刚性杆铰接而成；n为X 形结构的层数；在外部载荷Fe的作用下，θ1、θ2分别为刚性杆L1、L2对应于水平轴y的初始夹角，φ1、φ2则分别为刚性杆L1、L2对应于水平轴y的变化量；定义惯性质量安装面的中点位置为坐标原点，x、y轴正方向分别为垂直向上和水平向右. 由于文中的重点为运动机理研究，即考虑X形结构、层数变化对隔振器动态特性的影响，故暂未考虑杆的质量、惯性和铰接处的摩擦作用.

图1 含n 层变杆长X 形结构隔振系统模型Fig. 1 Vibration isolation system model of X-shaped structure with n-layer variable rod length

由图1 所示的力学模型，假设惯性质量所受的力激励为Fe=F0cosωt，可得隔振系统沿x轴方向的运动方程：

为了便于计算，通过定义函数f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）来进行化简.

考虑函数f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）在x2=0 处连续并进行二阶泰勒级数展开，可得：

式中，泰勒展开式系数为

为了便于计算，在式（6）中引入量纲一的参数，且定义为

式中：ωn为隔振系统固有频率；τ为量纲一的时间；γ1为隔振系统的水平刚度比；γ2为隔振系统的竖直刚度比；ξ为阻尼比；f0为量纲一的激励力幅值；λ为杆长比.

利用谐波平衡法可求解系统的位移幅频响应和相频响应.

假设x1、x2的稳态解为

采用谐波平衡法计算得到位移幅频响应为

2 验证与对比分析

2.1 数值验证和Adams 仿真验证

利用四阶龙格库塔法求出该模型的数值解与含变杆长X 形结构隔振系统模型解析解进行对比，验证其正确性.

暂定隔振系统的初始设计参数为Ca=5 Ns/m，L2=0.1 m，λ=0.5，θ1=60°，m=1 kg，Fe=1 N，Ka=2 000 N/m，γ1=0.05，γ2=3，n=1.文中选取30 s 计算时间，利用四阶龙格库塔法在定频激励下得到隔振系统x10、x20的数值解；然后，选取稳态解最大值作为响应幅值并通过归一化处理得到如图2 所示的数值解曲线. 图中，数值解用“NS”来表示，解析解用“AS”来表示. 对比可见，数值解与解析解曲线保持一致，表明文中给出的解析解正确有效.

为了进一步验证所建模型及解析解的正确性，在多体动力学软件Adams 中建立含变杆长X 形结构隔振系统模型. 由如图3 可知，两种方法所得计算结果曲线吻合良好.

图3 Adams 仿真解与解析解对比Fig. 3 Comparison between simulation solution and ADAMS simulation solution

3 等效刚度系数和等效阻尼系数

3.1 等效刚度系数分析

常规刚度系数为系统主刚度系数Ka. 定义刚度比为含变杆长X 形结构隔振系统等效刚度系数与常规刚度系数的比值：

如图4 所示，实线为含X 形结构隔振器的等效刚度系数与常规刚度系数的比值，即刚度比. 随着位移x2由0 增大到2×10-3m 的过程中，其刚度比逐渐增大，表明在分析位移范围内，含X 形结构隔振器的等效刚度系数要大于常规刚度系数.

图4 刚度比-位移曲线Fig. 4 Comparison of stiffness ratio and displacement curve

3.2 等效阻尼系数分析

如图5 所示，实线为的含X 形结构隔振器的等效阻尼系数随着位移x2由0 增大到2×10-3m 的过程中呈现不断增大的规律. 虚线为线性隔振器的常规阻尼系数在随着位移x2由0 增大到2×10-3m 的过程中始终为一定值. 在分析位移x2范围内，含X 形结构隔振器的等效阻尼系数要大于常规阻尼系数.

图5 等效阻尼系数-位移曲线Fig. 5 Comparison of equivalent damping coefficients and displacement curve

4 隔振性能评估

4.1 力传递率

文中采用力传递率作为评价指标来验证含变杆长X 形结构隔振系统的隔振性能. 定义传递到基础的力幅值与外部力激励幅值比为力传递率：

式中:ftr为通过含变杆长X 形结构隔振系统传递到基础的力;f0为外部激励力;T为力传递率.

传递到基础的力ftr可表示为由图6 可知，与传统两参数隔振器、传统三参数隔振器对比，含变杆长X 形结构隔振器的谐振峰值会从9.0 减小为6.2，而且，其谐振频率比会从1 增加到1.03.这表明，含X 形结构隔振器能够在保持系统刚度不减小的情况下显著增大系统的阻尼，实现理想阻尼特征，即：谐振频率阻尼增大，其他频率范围阻尼不变化.

图6 与其他隔振器模型对比Fig. 6 Comparison with other isolator models

4.2 时域响应

为了进一步验证含变杆长X 形结构隔振系统的隔振效果，并与传统两参数隔振器和传统三参数隔振器模型进行比较，在时域展开讨论.

在实际工作环境中，动态系统往往受到多频宽带激励，为了近似模拟实际工作环境，在低频、中频和高频段分别取点，在这里假设隔振系统受到的力激励为

由图7 可知，在多频宽带激励下，含变杆长X 形结构隔振系统的振动控制效果明显优于传统两参数隔振器和传统三参数隔振器.

图7 时域多频激励传递到基础的力Fig. 7 force transferred to the base under multi-frequency excitations in time domain

5 设计参数

根据前面的公式可知，含变杆长X 形结构隔振器的主要设计参数为λ、θ1、Ca、n、γ1和γ2，以下重点针对这些参数进行分析. 为了便于讨论，第二节中设置的初始设计参数为初始参数.

5.1 杆长比λ

因为当L1≥L2时的几何关系对模型的影响与L1≤L2时一样. 因此，假设杆长L1≤L2，保持其它参数不变，将杆长比λ分别取0.2、0.5、0.8、1，得到力传递率曲线，如图8 所示.

图8 不同杆长比λ 对应的力传递率Fig. 8 Force transmissibility with different rod length ratio λ

由图8 可知，当λ=0.2 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.03 和6.56；当杆长比λ增大到1 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.06 和3.78，这表明杆长比增大会逐渐降低谐振峰值且谐振频率比几乎不变. 当λ=1 时，即L1=L2时，系统谐振处的峰值最小，即隔振效果最好. 其中，变杆长X 形结构更加完善了X 形结构隔振系统的分析.

5.2 初始倾角θ1

将其他设计参数固定，选择初始倾角θ1分别为30°、45°、60°、70°，分析初始倾角变化对隔振性能的影响. 由图9 可知，当初始倾角θ1=30°时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.01 和45.3，随着初始倾角θ1逐渐增大到70°时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.08 和3.16.这表明随着初始倾角θ1增大，谐振频率的峰值得到明显抑制.

图9 不同初始夹角θ1 对应力传递率Fig. 9 Force transmissibility with different initial angle θ1

5.3 水平刚度比γ1

将其他设计参数固定，选择水平刚度比γ1分别为-0.05、0、0.05、1 对应力传递率曲线，如图10 所示. 由图可知，当水平刚度比为-0.05 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.44 和18.78，当水平刚度比逐渐增大到1 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为0.99 和5.4.这表明随着水平刚度比γ1减小，其谐振频率显著减小且对应谐振峰值被有效抑制. 因此，可以选择合适的水平刚度比γ1来实现“低刚度、高阻尼”的隔振效果.

图10 不同刚度比γ1 对应力传递率Fig. 10 Force transmissibility with different stiffness ratio γ1

5.4 竖直刚度比γ2

将其他设计参数固定，选择竖直刚度比γ2分别为-0.05、1、3 的力传递率曲线如图11 所示. 由图可知，当竖直刚度比为-0.05 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为0.97 和58.93，当竖直刚度比逐渐增大到3 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.04 和6.22.这表明随着竖直刚度比γ2逐渐增大，其谐振峰值会显著降低. 这表明，通过选择合适的竖直刚度比γ2，可以实现良好的减隔振效果.

图11 不同刚度比γ2 对应力传递率Fig. 11 Force transmissibility with different stiffness ratio γ2

5.5 阻尼系数Ca

将其他设计参数固定，选择阻尼系数Ca分别为1、3 和5 的力传递率曲线，如图12 所示. 由图可知，当阻尼系数为1 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.04 和30.34，当阻尼系数逐渐增大到5 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.03 和6.21. 这表明随着阻尼系数Ca的增大，其谐振峰值会显著降低. 这表明，通过选择合适的阻尼系数，可以实现良好的隔振效果.

图12 不同阻尼系数Ca 对应力传递率Fig. 12 Force transmissibility with different damping coefficient Ca

5.6 n 层X 形结构

将其他设计参数固定，选择X 形结构层数n分别为1、3 和5 的力传递率曲线，如图13 所示. 由图可知，当X 形结构层数为1 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.04 和6.22；当X 形结构层数逐渐增大到5 时，其谐振频率比和谐振峰值分别为1.06 和5.8.这表明随着X 形结构层数的增大，其谐振峰值会显著降低. 这表明，通过选择合适的X 形结构层数，可以实现良好的隔振效果.

图13 不同X 形结构层数n 对应力传递率Fig. 13 Force transmissibility with different n-layered X-shaped structure

6 试验验证

为了验证模型解析解的正确性，加工了如图14所示等效于解析模型的试验件. 其中，惯性质量m=0.65 kg；初始倾角θi=55°；杆长L1= 0.05 m；杆长比λ=0.5；Ka=5 000 N；Kb=8 000 N；Kc=1600N；X 形结构层数n=1.在这里需要说明的一点是隔振系统中的阻尼部分包括空气阻尼，结构材料阻尼以及各部件相对运动产生的摩擦阻尼.

图14 变杆长X 形结构隔振系统Fig. 14 Vibration isolation system of X-shaped structure with n-layer variable rod length

测试系统主要包括：信号发生器、功率放大器、激振器、加速度传感器、信号采集仪和计算机.

试验状态图如图15 所示，在试验件下端施加激励，表征理论模型中的加速度激励，在上下板分别连接一个加速度传感器，用于测量输入以及输出的加速度. 设置采样频率256 Hz，信号发生器的扫频频率为1 Hz 至100 Hz，采用线性扫频以及扫频时间为100 s.

图15 试验测试状态Fig. 15 Test status

如图16 所示，试验所得的结果与解析结果总体上趋于一致，但在共振区域附近以及高频段，曲线的拟合有误差. 可能产生误差的原因是为了让试验件模型中的上下板能够保证沿垂向运动，在上板安装了四个直线轴承，但由于上下两个板存在加工误差以及轴承的安装误差较大，不能严格按照垂向的直线运动，所以导致摩擦力较大. 这种情况导致实测出来隔振器的位移不稳定，导致了试验曲线与解析曲线存在误差. 由于试验所得的结果曲线与解析结果曲线总体上趋于一致，表明所建模型的正确性. 在高频段，高频局部模态导致了试验传递率曲线出现波动，由于隔振系统主要是用于中低频段的减隔振效果，不包含高频段的模态影响，所以对高频段不作分析. 综上所得，解析结果是正确的.

图16 试验与解析传递率曲线对比Fig. 16 Comparison of test and analytical transfer rate curves

7 结 论

文中重点考虑X 形结构变杆长特征对隔振系统动态特性的影响. 首先，根据所建模型利用谐波平衡法得出解析解，并将其与四阶龙格库塔法给出的数值解和多流体动力学Adams 仿真得到的数据进行对比. 其次，分别求出系统的等效刚度系数和等效阻尼系数；并采用力传递率作为评价指标对隔振系统的隔振效果进行分析. 最后，对系统中的一些重要设计参数带来的影响进行研究. 根据计算结果可知：

通过选取合适的设计参数杆长比λ、初始倾角θ1、水平刚度比γ1、竖直刚度比γ2、阻尼Ca和X 形结构层数n，可以改善谐振频率以及减隔振性能. 与传统两参数隔振器和传统三参数隔振器相比，在保证隔振系统等效刚度的前提下，可显著提高其等效阻尼；在时域多频宽频力激励下，相比于传统两参数隔振器和传统三参数隔振器，含X 形结构隔振系统从惯性质量传递到基础的力得到大幅衰减；通过试验验证，表明求解理论模型的正确性.