谈数学解题检验

孙 康 徐小花 李丽荣

(北京市日坛中学 100020)

检验是数学解题的良好习惯，可以提升解题准确率.在日常教学中，常有教师会有这样的疑问：“讲过的题目类型，为什么学生还是会出现五花八门的错误呢？”所谓“五花八门的错误”，即在解题过程的各个环节都有学生出现错误.缺乏检验意识是导致出现问题的重要原因.笔者将检验拆分为检查、完善、说理三个层面，谈一谈数学检验在解题中的重要性.

1 公式、法则垫基石——检验即检查

明晰解题思路对解决一个数学问题很重要，另外，对解题过程中基本公式法则的掌握也不可忽视.所谓万丈高楼平地起，公式、法则就好似楼体的钢筋，是解题过程的重要纽带.

此题为求函数单调区间，而此学生在求导函数的零点时出现了错误(图1)，这就导致接下来的分类讨论求单调性都会因此失分.

图1

数学公式、法则、运算看似简单、基础、易理解，但是它在解题过程中扮演的角色却是无法忽视的，所谓千里之堤毁于蚁穴正是如此.这是计算错误，类似的错误还有公式记错，比如解决三角函数问题时辅助角公式记错、求导时求导法则记错，等等.上述问题表面看是学生在操作层面上的问题，但本质上是学生数学思维能力不足造成的.公式、法则是思维活动的依据，在解题过程中一定要反复确认这些环节是否准确，以便支撑后续的步骤.我们教育学生要培养好的学习习惯，实际上，爱思考问题、不死记结论，用数学的思维理解问题、解决问题是最应该培养的.

2 前提、转换重等价——检验即完善

解题即演绎推理，演绎推理的逻辑形式要求解题者的思维保持严密性、一贯性，注重解题的每一步变形严谨、等价，这样才会得到正确的结论.

例2设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+3]ex.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a.

多数学生在解决这个问题时没有得满分(图2)，原因在于只利用“与x轴平行”获取到切线斜率为0的信息，再利用点斜式求出直线的方程，而没有考虑到所求直线是否与x轴平行.此错误的原因在于“两直线斜率相等”和“两直线平行”不是互为充要条件，这就需要检验，将其变为充要，完善解题过程.针对此错误，对学生进行随访，没进行检验的学生大部分是学习经验缺失，之前解决的数学问题通常都是等价转换，很少涉及题干条件和使用条件不等价的情况，所以没有形成检验的习惯.

图2

类似的题目还有诸如函数极值的逆用问题，已知函数在某点处取得极值，求参数的取值.此类题多数存在多解情况，多数学生的错误在于求解完之后就认为求出来的解即为最终所求.其实无论此题是否多解，最后求解完成都需要再进行检验，而且必不可少，原因在于过程中用到了“已知在某点处取得极值，则该点处导数值为0”，并不是题干条件的等价转换，即非充要条件，因而求解出来的结果未必准确，必须要检验，即使只得到一组解，也需要说明结果的充要性.通过了解，学生可以理解函数在某点处取得极值是导数值在这点处为零的充分不必要条件，但是放在具体问题中就不会灵活运用这个知识点了.

等价转化是一种重要的数学思想，在解题中的作用往往体现在化复杂为简单、化陌生为熟悉，并且通过等价转化的结果是不需要检验的.但在数学解题中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能进行等价转化(比如解超越方程、解超越不等式、由递推式求数列通项公式等)，这时只有退而求其次，可以考虑用先不等价转化后检验的手段来解题，常见的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”[1].例2用的就是先必要后充分.

3 结果、事实需合情——检验即说理

关注了过程中的公式、法则、运算，也保证了等价转换，就会得出正确的结论吗？也不尽然，还有一类问题就隐藏在最后的答案中.

例3已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

此题求三角形面积，最后所得结果应该是一个正数.很多学生在解决这个题目的时候都出现了这样的错误(图3)，通过询问出现错误的学生的想法，了解到大部分学生忽略了这是一个实际问题，只想着直线与坐标轴围成三角形的面积一定与横、纵坐标有关，所以求完横、纵坐标就利用公式求解了，没再多考虑.

图3

这个问题的解题失误在于解答出结果之后没有考虑其合理性，图形面积一定是一个正数，若算出一个负数，那么就说明结果不合理，违背了事实.类似的题目还有诸如立体几何中的存在性问题，如在某条线段上是否存在一点，使得该点和几何体某已知点构成的动直线与某平面平行，解法并不困难，通常需要引入未知数λ设出动点坐标，借助线面平行的判定定理进行求解即可，但有的学生求出的λ超出了[0,1]范围，也不再处理，那么此解就是不合理的答案，需要检验前面过程的细节.故检验即说理.

在分析讲解试题的课堂中，我们经常能够看到这样的情形：师生思维活动的逻辑顺序是由题目序号所决定的，讲完第(1)问，再解第(2)问，缺乏对数学问题中研究对象的整体性质的研究，缺乏对已知的各种条件的逻辑分析，为了让学生能够用数学的思维理解数学问题，就需要教师在课上引导学生按照数学的思维方法去理解问题、研究问题、解决问题.

4 结语

数学检验是数学学习的一个重要环节，也是培养学生数学思维的载体.学生没有检验习惯的根源在于没有形成检验的意识以及缺乏检验的方法、策略.检验意识及方法的培养需要潜移默化、持之以恒，需要教师循循善诱和循序渐进.针对上述三个层面导致的数学检验盲区，我们在教学中要有的放矢地加强检验意识的培养及方法的渗透，从解题的脚手架——公式、法则到步步转化的等价性的重视，最后关注结果的合理性，三个节点为数学解题的准确性提供有力支撑，同时也是数学教育的目标.数学教育要落脚到学科核心素养，而核心素养的具体体现包括要求通过高中数学课程的学习，学生能够学会有逻辑地思考问题，数学检验意识的培养即为有逻辑起点和终点的具体体现，故应倍加重视.

只有当检验意识成为学生内在的自发需求时，检验才能真正地为数学学习保驾护航.教师要把检验这一环节重视起来，并持之以恒地训练与培养，让学生养成自觉检验的好习惯，既有助于学生养成良好的学习习惯，也有利于学生学习成绩的提高，有利于学生的终身发展.