题小乾坤大，多法妙解之
2022-11-17王静
王静
【摘要】比较大小是初中习题中常见的题型，本文探究了反比例函数背景下的比较大小，不仅用代数推理的方法从多角度比较大小，更借助图形比较大小．通过对本题多角度的探究，有利于培养我们代数推理的能力以及灵活运用以形助数方法解决问题的能力．
【关键词】 比较大小;代数推理;以形助数
例 已知反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过点（m，y1），（m＋1，y2），（m＋2，y3），下列关于y1＋y3与y2的大小关系中，正确的是（ ）
（A）y1＋y3＞2y2. （B）y1＋y3＝2y2.
（C）y1＋y3＜2y2.（D）不能确定.
2 解法探究
解法1 特殊值法
分析 特殊值法是选择、填空题常用的方法，由于题目中反比例函数的表达式已经确定，所以可以将横坐标取特殊值代入表达式，求出对应的纵坐标，进而比较y1＋y3与y2的大小．
当m＝1时，则m＋1＝2，m+2＝3，
所以y1＝3，y2＝32，y3＝1，
所以y1＋y3＝3＋1＝4，
2y2＝2×32＝3，
所以y1＋y3＞2y2，
选（A）．
解法2 放缩法
分析 把选项看作不等式，利用放缩法证明不等式是常用的方法，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，从而得证．
因为2y2＝6m+1，
y1＋y3＝3m+3m+2＝3（m+2）m（m+2）+3mm（m+2）
＝3（m+2）+3mm（m+2）＝6（m+1）m（m+2）
＞6（m+1）m2+2m+1＝6（m+1）（m+1）2
＝6m+1＝2y2，
所以y1＋y3＞2y2，
选（A）．
解法3 作差法
分析 作差法是比较两式大小常用的方法．作差法的原理是：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b=0，则a＝b．这样我们只要判断差的结果，就可以知道比较a，b的大小关系．
由解法2得2y2＝6m+1，
y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
所以y1＋y3－2y2＝6（m+1）m（m+2）－6m+1
＝6（m+1）2m（m+2）（m+1）-6m（m+2）m（m+2）（m+1）
＝6m（m+2）（m+1）.
因为6＞0，
又m＞0，m＋1＞0，m+2＞0，
所以m（m＋2）（m＋1）＞0，
所以y1＋y3－2y2＞0，
所以y1＋y3＞2y2，
选（A）．
解法4 作商法
分析 作商法也是比较两式大小常用的方法，且本题2y2，y1＋y3所得结果均为分式，容易联想到作商法比较大小．作商法的原理是：
（1）当a＞0，b＞0时
①若ab＞1，则a＞b；
②若ab＜1，则a＜b；
③若ab＝1，则a＝b．
（2）当a＜0，b＜0时，
①若ab＞1，则a＜b；
②若ab＜1，则a＞b；
③若ab＝1，则a＝b．
由解法1得
2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
所以y1+y32y2＝6（m+1）m（m+2）÷6m+1
＝6（m+1）m（m+2）×m+16
＝（m+1）2m（m+2）
＝m2+2m+1m2+2m＞1，
因为m＞0，
所以m2＋2m＞0，
m2＋2m＋1＞0，
所以y1+y32y2＞1，
所以y1＋y3＞2y2，
选（A）．
解法5 倒数法
分析 因为2y2，y1＋y3所得结果均为值大于0的分式，又分子都有共同的因数6，分子比分母的代数式更简洁，故联想到倒数法．倒数法的原理是：如果1a＞1b且ab＞0，那么a<b；如果1a＜1b且ab＞0，那么a＞b．
由解法1得
2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
1y1+y3＝m（m+2）6（m+1）＝m2+2m6（m+1），
12y2＝m+16＝（m+1）26（m+1）＝m2+2m+16（m+1），
所以1y1+y3＜12y2，
又m＞0，
1y1+y3＝m2+2m6（m+1）＞0，
12y2＝m2+2m16（m+1）＞0，
所以y1＋y3＞2y2，
选（A）．
解法6 构造法
分析 由横坐标相差1的关系，得出对应的相等线段，进而构造三角形中位线，利用三角形中位线定理，得出相关线段的数量关系．
图1
如图1，作AB⊥x轴，作CG⊥x轴，作EF⊥x轴，依次交双曲线为点B，G，F，连接BF，延长CG交BF于点D，连接AD，延长EF交AD于点M，则A（m，0），C（m＋1，0），E（m＋2，0），可得B（m，y1），G（m＋1，y2），F（m＋2，y3），可得AC＝CE＝1，所以C为AE中点，可证AB∥CD∥EF，由平行线性质定理可得D为BF的中点，可证△ABD ≌△GFD，
可得AB＝GF，
由三角形中位线定理可得
DC＝12GE，
所以DC＝12（GF＋EF）＝12（AB＋EF），
即y1+y32＝DC，
又DC＞y2，
所以y1+y32＞y2，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）.
