道是无“圆”却有“圆”

李红波 聂震萍

应用数学知识解决物理问题是学习物理需要具备的关键能力之一，运用几何图形分析物理现象是一种常用的解题手段。在高中物理的学习过程中经常会遇到这样一些问题，若采用常规方法求解往往比较烦琐，但根据题中情境画辅助“网”，利用“网”的相关数学知识解决起来就方便得多。下面举例说明，供同学们参考。

一、利用等势辅助圆解決静电场中的电势、电势能问题

因为点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为中心的一组同心球面，所以画出其等势圆可以直观方便地判断出诸如电势高低、电势能的变化情况等问题。

例1 （2020年高考全国Ⅲ卷）如图1所示，∠M是锐角三角形PMN中最大的内角，电荷量为q（q>0）的点电荷固定在P点。下列说法中正确的是（

）。

A.沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大

B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小

C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大

D．将正电荷从M点移动到N点，静电力所做的总功为负

点评：根据等势辅助圆可以直观地看出M、N两点与点电荷位置的远近关系，根据离带正电的场源电荷越近，场强越大，电势越高，正电荷的电势能越大，可以快速准确地完成各个选项的判断。

二、利用动态辅助圆解决带电粒子在磁场中运动的临界问题

因为带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，所以画出轨迹圆，利用几何关系结合物理规律可以直观准确地求解相关问题。求解带电粒子在磁场中运动的临界问题常用到画缩放辅助网和旋转辅助网的方法。

（1）缩放圆：若带电粒子从某一点以方向不变而大小在改变的速度射人匀强磁场中，或带电粒子从某一点以恒定的速度射人磁感应强度大小不断变化的匀强磁场中，则带电粒子在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹圆画在同一个图中，就是与入射点相切并放大或缩小的“动态网”。

（2）旋转网：若带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（在0～180°范围内变化）的速度射入匀强磁场中，则带电粒子在匀强磁场中做半径不变的匀速圆周运动。把其轨迹圆画在同一个图中，就是根据速度方向的变化以入射点为旋转轴的“旋转圆”。

例2如图3所示，在荧光屏MN上方分布着沿水平方向的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射带电荷量为+q，质量为m，速率为v的粒子，不计粒子自身重力，已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径也恰好为d，则（

）。

点评：本题中带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹半径一定，粒子速度大小不变、方向改变，故采用“旋转圆”的方法找到粒子运动轨迹的临界状态，即可顺利确定相关物理量的求解方法。

三、利用匀速圆周运动的参考圆解决振动问题

因为匀速圆周运动的投影是简谐运动，所以在解决简谐运动问题时建立与之相关的参考网，利用质点做匀速网周运动的周期相当于振子完成一次全振动所用的时间，可以顺利求解一些直接利用简谐运动规律难以求解的问题。

例3 （2021年高考江苏卷）如图6所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线的照射下，网盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t=0时刻从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则影子P做简谐运动的表达式为（

）。

点评：做匀速圆周运动的质点在T轴方向上的投影的运动是简谐运动，且圆周运动的周期与简谐运动的周期相等，因此可以把二者联系起来进行分析。用画参考圆的方法来研究简谐运动，可以简便地分析那些不在特殊位置的质点的运动问题。

四、利用单位辅助圆解决测定折射率问题

在测定玻璃折射率的实验中，以入射点为网心，以适当长度为半径画出单位辅助圆，只需测量两段线段的长度，即可利用几何关系求出折射率，使得测量变得简单易行。

例4 一位同学用“插针法”测两面平行的玻璃砖的折射率。

（1）该同学发现没有量角器来量入射角和折射角的角度，于是在完成了光路图以后，以O点为圆心，以OA为半径画圆，交OO'延长线于C点，过A点和C点作垂线分别交法线于B点和D点，如图7所示。测量有关线段长度，可得玻璃的折射率n=____ 。（用图中线段表示）

点评：若只利用量角器量出入射角、折射角的大小来求解折射率，则需要查阅正、余弦函数表，读出入射角和折射角的正弦函数值；若只利用刻度尺测量长度（A、C为入射光线和折射光线上的任意两点）来求解折射率，则需要测出四段线段的长度；而利用圆规画单位圆的方法求折射率，可以把正、余弦函数值的数量关系转化为几何关系，只需测出两段线段的长度，简单方便。

跟踪训练

1．如图8所示，直角三角形ABC由三段细直杆连接而成，AB杆竖直，BC杆水平，AC杆粗糙且绝缘，其倾角为30°，长度为2l，D为AC杆上的一点，且BD⊥AC，在BC杆中点O处放置一带正电的点电荷Q，一套在细杆上的带负电小球，以初速度v0。由C点沿AC杆上滑，滑到D点时的速率恰好为零，之后沿AC杆滑回C点。已知小球的质量为m”，电荷量为q，重力加速度为g。下列说法中正确的是（

）。

A.小球沿AC杆上滑过程中，先匀加速后匀减速

B．小球沿AC杆下滑过程中，静电力先做负功后做正功

C．小球再次滑回C点时的速率vc=

D．小球沿AC杆下滑过程中，其动能、电势能、重力势能三者之和增大

2．如图9所示是半径为R的一网柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），不计重力。现粒子以沿正对c0中点且垂直于c0的方向射入磁场区域，发现粒子恰能从b、d两点之间飞出磁场，则（

）。

A.从b点飞出的粒子的速度最大

B．从d点飞出的粒子的速度最大

C．从d点飞出的粒子在磁场中的运动时间最长

D．从b点飞出的粒子在磁场中的运动时间最长

3．如图10所示，一弹簧振子沿x轴方向做简谐运动，其平衡位置在坐标原点O。t=0时刻振子的位移为 0.1 m，t=1 s时刻振子的位移为0.1 m。下列判断中正确的是（

）。

A.若振幅为0.1 m，则振子的周期可能为詈s

B．若振幅为0.1 m，则振子的周期可能为2s

C．若振幅为0.2 m，则振子的周期可能为4s

D．若振幅为0.2 m，则振子的周期可能为6s

4．如图11所示是利用“插针法”测定玻璃砖折射率的实验中得到的光路图，光线从玻璃砖的AB面射入，从玻璃砖的CD面射出，且AB面和CD面并不平行。则：

（1）出射光线与入射光线 _____（选填“仍平行”或“不再平行”）。

（2）以入射点O为网心，以半径R=5 cm画网，与入射光线PO交于M点，与折射光线OO'的延长线交于F点，过M、F点分别向法线作垂线，量得线段MN的长度为1. 68 cm，线段EF的长度为1.12 cm，则该玻璃砖的折射率n=____。

参考答案：1.C 2．AC 3．ABD

4．（1）不再平行 （2）1.5

（责任编辑 张巧）