巧用洛伦兹力处理带电粒子在复合场中的运动

应德勇

带电粒子在复合场中运动时，由于除了受到洛伦兹力还受到其他力的作用，使得带电粒子的运动往往不是单一的匀速网周运动。在处理带电粒子在复合场中的非匀速圆周运动问题时，可以将洛伦兹力进行分解，再结合动力学观点、动量观点等分析求解。下面结合三个实例剖析带电粒子在復合场中做非匀速网周运动时的三种处理方法。

一、正交分解洛伦兹力，结合动力学知识分析求解

带电粒子在磁场中运动，若受到轨道的限制，做曲线运动，则可将洛伦兹力正交分解，根据动力学知识确定带电粒子在两个方向上分别做什么类型的运动，利用运动的合成与分解规则分析求解。

例1 如图1所示，下端封闭，上端开口，高h=5 m，内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量m=10 g，电荷量q=0.2 C的小球。整个装置以速度v=5 m/s沿垂直于磁场方向进入磁感应强度B=0.2 T，方向水平（垂直于纸面向里）的匀强磁场中，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞出。取重力加速度g=10 m/s2。

（1）判断小球的电性。

（2）求小球在管中运动的时间

（3）求小球在管中运动的过程中增加的机械能。

解析：（1）最终小球从上端管口飞出，说明小球在玻璃管中所受洛伦兹力方向竖直向上，又有磁场方向垂直于纸面向里，小球沿水平方向向右运动，根据左手定则可知，小球带正电。

例2如图3所示，光滑绝缘水平面上有一处于锁定状态的压缩轻质绝缘弹簧，其弹性势能Ep=2mv0，弹簧两端与两小球P、Q接触但不拴接，质量为rn的小球P不带电，小球Q的质量为m，带电荷量为+q。弹簧解除锁定后，小球P、Q向两边弹离。小球Q离开弹簧后垂直于边界MN进入右侧多层紧密相邻的匀强磁场和匀强电场区域，磁场与电场的宽度均为d，长度足够，各磁场的磁感应强度大小相同，方向竖直向下；各电场的电场强度大小相同，方向水平向右。小球Q穿出磁场1区域时，速度方向与磁场边界间的夹角θ=60°，假设电场和磁场均有理想边界，两小球均可视为质点。

三、运用速度分解观点，将一个洛伦兹力变为两个洛伦兹力分析求解

当带电粒子在电场（重力场）与磁场叠加的复合场中做复杂的曲线运动时，将带电粒子的初速度进行分解，使得其中一个方向的速度产生的洛伦兹力恰好与静电力（重力）相平衡，另一个方向的速度产生的洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力，这样带电粒子的曲线运动就可以分解成匀速直线运动和匀速圆周运动两个分运动，利用动力学知识分析求解。

例3 如图4所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子，以初速度v0。从左端中央沿虚线射入正交的电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场叠加区域，若v0>E/B，当粒子从右端某点c（图中未画出）离开时速率为vc，侧移量为s，粒子重力不计，则下列说法中正确的是（

）。

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1．在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图5所示，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面（纸面）向里。平板上有一个质量为m，带电荷量为q的粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上，不计带电粒子的重力。

（1）判断带电粒子的电性，并说明理由。

（2）求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t。

（3）求整个运动过程中带电粒子沿竖直方向位移的大小^。

2．如图6所示，光滑绝缘水平面上的磁场边界MN处，有一处于静止状态的小球Q，小球Q的质量为rn，带电荷量为+q。在小球Q的左侧有一质量为m，不带电的绝缘小球P。现给小球P-水平向有的初速度v0，小球P与Q发生弹性碰撞后，小球Q垂直于边界MN进入相邻的匀强磁场和匀强电场区域，磁场与电场的宽度均为d，长度足够，各磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下；各电场的电场强度大小为E，方向水平向有。小球Q穿出第一个磁场区域时，速度方向与磁场边界间的夹角θ=60°。假设电场和磁场均有理想边界，两小球均可视为质点，求：

（l）小球Q在第一个磁场中运动的时间t。

（2）小球P的初速度大小v0。

（3）若要小球Q恰好不穿出第三个磁场的右侧边界，求电场强度的大小。

3．在磁感应强度为B的匀强磁场中，一质量为m，带电荷量为+q的小球在O点由静止释放，小球的运动轨迹如图7中曲线所示。重力加速度为g，求：

提示：（2）带电粒子在竖直方向上做匀速直线运动，受到向左的洛伦兹力，在水平方向上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式可以求得带电粒子在绝缘平板上的运动时间。（3）带电粒子在绝缘平板上运动时，在竖直方向上随绝缘平板一起做匀速直线运动，根据运动学公式可以求得带电粒子上升的高度h1。带电粒子离开绝缘平板时具有竖直向上的速度v1和水平向左的速度vx，带电粒子离开绝缘平板后以速率v= 做匀速网周运动，根据洛伦兹力提供向心力和几何知识可以求得带电粒子离开绝缘平板后沿竖直方向的位移h2，h1+h2即为整个运动过程中带电粒子沿竖直方向位移的大小。

提示：（1）粒子的初速度为零，可分解为水平向有的速度v1和水平向左的速度v1，其中水平向有的速度v1对应的洛伦兹力与重力平衡，粒子的运动是水平向右速度为v1的匀速直线运动和初速度水平向左，大小为v1的逆时针匀速圆周运动的合运动。（2）粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v2和水平向左的速度v2，其中水平向左的速度v2对应的洛伦兹力平衡重力与静电力的合力，粒子的运动是水平向左速度为v2的匀速直线运动和初速度水平向右，大小为v2的顺时针匀速圆周运动的合运动。