例谈动量守恒定律在“滑缺一斜（曲）面”模型中的应用

王惠婷

自从2017年考试大纲将“选修3 - 5”模块调整为必修必考内容之后，将动量、能量、动力学知识融合在一起进行考查的试题就成了高考命题的热点之一。下面就以涉及“滑块斜（曲）面”模型的问题为例，剖析动量守恒定律在此类问题中的具体应用，供同学们参考。

一、“滑块一斜（曲）面”模型解读

1．“滑块 斜面”模型：如图1所示，质量为M的斜面体静止在光滑水平面上，一个质量为m的小球沿水平面以速度v0滑向斜面体。假设小球不能越过斜面，则小球到达斜面上的最高点（小球沿竖直方向的分速度为0）时，斜面体和小球具有相同的水平速度。

2．“滑块 曲面”模型：如图2所示，质量为M的曲面体静止在光滑水平面上，曲面体的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球沿水平面以速度v0滑向曲面体。假设小球不能越过曲面，则小球到达曲面上的最高点（小球沿竖直方向的分速度为0）时，曲面体和小球具有相同的水平速度。

总结：在“滑块斜（曲）面”模型中，虽然系统所受合外力不为零，但是若在水平方向上受到的合外力等于零，则可以在水平方向上利用动量守恒定律分析求解。在此模型中斜（曲）面体和小球一起运动，当以斜（曲）面体为参考系时，小球到达最高点时相对斜（曲）面体的水平速度为0，二者共速。

二、利用动量守恒定律求解“滑块一斜（曲）面”模型问题

例1 如图3所示，一表面光滑的斜面体放置在光滑冰面上，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均相对冰面静止。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面，在斜面体上能够上升的最大高度h=0.3 m（h小于斜面體的高度）。已知小孩与滑板的总质量m1=30 kg，冰块的质量m2=10 kg，小孩与滑板始终无相对运动，取重力加速度g=10 m/s2。

（1）求斜面体的质量。

（2）通过计算判断冰块与斜面体分离后能否追上小孩。

解析：（1）规定向左为正方向，冰块在斜面体上上升到最大高度时二者具有共同的速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。选由冰块和斜面体组成的整体为研究对象，在水平方向上动量和机械能均守恒，则

（2）规定向有为正方向，设小孩推出冰块后，小孩（含滑板）的速度为v1，选由小孩、滑板和冰块组成的整体为研究对象，根据动量守恒定律得m1v1-m2v0=0，解得v1=1 m/s。设冰块与斜面体分离后，冰块和斜面体的速度分别为v2和v3，把冰块滑上斜面和滑下斜面看成一个运动过程，则在这个过程中，由冰块和斜面体组成的整体在水平方向上受到的合外力为零，动量和机械能均守恒，冰块的速度v2与小孩推出冰块后小孩（含滑板）的速度v1相同，且冰块处在小孩（含滑块）后方，所以冰块不能追上小孩。

点评：本题将“滑块斜面”模型与追及相遇问题相结合，考查动量守恒定律和机械能守恒定律。判断冰块能否追上小孩时，把冰块滑上斜面和滑下斜面看成一个过程，列动量守恒和机械能守恒方程式即可求出冰块与斜面体分离后冰块的速度，然后利用追及相遇的判断条件即可得出正确结论。

例2 如图4所示，一质量为。的小球以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑网弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧轨道，重力加速度为g，求：

（1）小球在圆弧轨道上能够上升的最大高度。（用v0、g表示）

（2）小球离开圆弧轨道时的速度大小。

解析：（1）小球在圆弧轨道上上升到最大高度处时，二者的速度相同，由小球和网弧轨道组成的系统在水平方向上动量守恒，规定速度v0的方向为正方向，则mv0=3mv，解

（2）规定速度v0的方向为正方向，设小球离开圆弧轨道时，小球和网弧轨道的速度分别为v1和v2，把小球滑上圆弧轨道和滑下圆弧轨道看成一个运动过程，则在这个过程中，由小球和圆弧轨道组成的整体在水平方向上受到的合外力为零，动量和机械能均守

点评：本题是典型的“滑块 曲面”模型，（1）问直接列水平方向的动量守恒和机械能守恒方程式即可求出小球在圆弧轨道上能够上升的最大高度，（2）问需要将小球滑上和滑下圆弧轨道看成一个运动过程，利用水平方向动量守恒和机械能守恒列式求解速度。

例3 如图5所示，质量为。的半网形轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点滑人半圆形轨道后从B点冲出，在空中能够上升的最大高度为h0/2（不计空气阻力），则（

）。

A.由小球和小车组成的系统动量守恒

B．小车向左运动的最大距离为1/2R

C．小球从B点落回半网形轨道后一定能从A点冲出

D．小球从B点离开半圆形轨道后做斜上抛运动

解析：由小球和小车组成的系统在水平方向上受到的合外力为零，在竖直方向上受到的合外力不为零，因此系统在水平方向上的动量守恒，而系统的总动量不守恒，选项A错误。规定向有为正方向，设小球从B点冲出时小车向左的位移为x，根据水平方向动量守恒得选项B错误。因为由小球和小车组成的系统在水平方向上动量守恒，在释放小球瞬间，系统的总动量为零，小球从B点离开半圆形轨道时，小球和小车在水平方向上达到共速，所以小球与小车沿水平方向的速度为零，即小球从B点离开半网形轨道后做竖直上抛运动，选项D错误。设小球第一次滑过半网形轨道的过程中克服摩擦力做的功为

点评：本题将“滑块 斜面”模型与圆周运动和抛体运动相结合，考查动量守恒定律和动能定理。因为由小球和小车组成的系统在水平方向上的动量守恒，总动量不守恒，所以小球第一次到达B点和第二次到达A点时，小球的水平速度均为零，竖直速度均不为零，均做竖直上抛运动。

跟踪训练

1．如图6所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长（底端为微小段平滑连接的曲线形状），与水平方向间的夹角为θ。一个质量为m的小物块在水平面上以初速度v0滑向楔形物体，当它从斜面底端沿斜面向上运动到最高点时，速度大小为v，距地面高度为h，则下列说法中正确的是（

）。

2．如图7所示，水平放置的轻弹簧的一端固定在竖直墙壁上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为，m的小球从弧形槽上h高处开始自由下滑，则（

）。

A.在以后的运动过程中，由小球和弧形槽组成的系统的动量始终守恒

B．在下滑过程中，小球和弧形槽之间的相互作用力始终不做功

C．小球被弹簧反弹后，小球和弧形槽都做速率不变的直线运动

D．小球被弹簧反弹后，由小球和弧形槽组成的系统的机械能守恒，小球能回到弧形槽上h高处

3．如图8所示．光滑水平面上静置一光滑的半圆形槽，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。现让一小球自左侧槽口A点的正上方从静止开始下落，自A点与半圆形槽相切进入槽内，并从右侧槽口C点飞出，则以下结论中正确的是（    ）。

A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B．小球在半圆形槽内运动的全过程中，由小球和半圆形槽组成的系统在水平方向上的动量守恒

C．小球自半圆形槽的最低点B向C点运动的过程中，由小球和半圆形槽组成的系统在水平方向上的动量守恒

D．小球离开C点后，将做竖直上抛运动

参考答案：1.C 2．C 3．C

（责任编辑 张巧）