基于调制带宽转换器的压缩采样宽带数字接收机设计

杨 凡

（广东女子职业技术学院 外语外贸学院，广州 511450）

随着我国信息化建设的不断发展，城市环境无线网络通信系统结构日趋复杂，为了适应复杂多样的电磁环境，通信设备接收机在具备相位编码、频率调制等常规功能的基础上，还逐渐加入了复合调制信号、脉冲压缩信号以及频率捷变等功能。然而，由于现代民用通讯设备在ADC采样速率的提升方面遇到瓶颈，通信产业需要通过新的思路来解决高速率信号采样与较低采样率之间的矛盾[1-2]。因此，本研究将压缩感知理论应用于宽带数字接收机设计，并取得了较为理想的仿真效果。

1 压缩感知理论概述

压缩感知是一种通过低速ADC实现高速采样的信号采样方式，可基于稀疏域上的信号完成信号采集，再通过特定的重构算法来恢复信号。

1.1 稀疏模型

一般情况下，时间域上的自然信号并不具有稀疏性，因此需要将其映射至其他域中以展现出稀疏性。定义离散信号，在此基础上可以通过正交基的基函数将其描述为：

公式（1）中，θi代表信号x在Ψi上的系数；代表的第 i列；θ=[θ1,θ2,…,θN]T设中非 0项的数量为K，若其他N-K个项的值为0且，则代表信号x在正交基Ψ上为K稀疏。由于电磁信号在一般情况下并不具有理想的稀疏性，致使投影系数出现大量非0值项，因此需要以指数衰减的形式对投影系数加以排列，并在此基础上进行压缩处理。

位于稀疏变换基范围内的信号均有与其相应的稀疏度，信号的稀疏性与稀疏度成反比，信号的稀疏度越小，可压缩性越高。因此应当尽量筛选稀疏度较低的稀疏变换基以强化信号的可压缩性。

1.2 观测矩阵

为了将信号投影至稀疏域内，需要事先对信号实施稀疏变换处理，由于变换后所获取投影系数长度等同于原始信号长度，因此需要通过观测矩阵来压缩信号以实现对于原始信号的线性测量，该过程可描述为：

在公式（3）中，δK代表矩阵A中符合RIP性质的k阶常数，观测矩阵A在δK＜1的情况下可满足有限等距性要求，使得投影前后的信号一一对应，进而在重构信号时取得唯一的结果。

1.3 重构算法

为了实现信号的重构，首先需要运用观测矩阵A和观测值y来计算出投影系数θ，并在此基础上运用稀疏变换基Ψ和所求得的投影系数θ计算出原始信号x。为了便于分析，本次研究采用10范数将该问题描述为：

由于在通过最小10范数进行求解时会面临非凸性和无法获取全局最优解等方面的问题。因此，本次研究利用最小化11范数在某些条件下与最小化10范数等价的特性，将10范数转换为11范数，即将10范数优化问题转换为11范数优化问题，该问题可描述为：

在非凸问题转换方面，可供选择的凸优化算法主要有迭代阈值算法、梯度追踪算法、内点法等，传统算法虽然能够实现较高的重构概率，但也需要进行大量的数据计算。因此，本次研究决定采用贪婪算法来处理重构问题，该算法在每次迭代时均能够获取局部最优解，并在迭代过程中逐渐逼近真实值[3-4]。贪婪算法虽然在重构性能方面稍逊于凸优化算法，然而在民用通信领域中，灵活调用运算资源、提高计算速度也是通信设备的主要需求之一，贪婪算法可有效满足相关方面的需求[5-6]。

2 MWC压缩采样宽带数字接收机结构

将接收信号定义为x[n]，MWC在获取该信号后会自动将其划分为相同时延、相同幅度的M路信号，测量矩阵中的伪随机序列与M路程信号混频并得到信号。在此基础上，由低通滤波器对混频输出信号m[n]实施滤波处理进而得到信号Wm[n]，并针对Wm[n]实施MP倍抽取处理，将抽取结果发送至低速ADC完成采样，得到采样结果ym[k]。MWC的基本结构如图1所示。

图1 MWC基本结构

雷达接收信号离散时间域的表达方式如下：

在公式（6）中，η[n]代表高斯白噪声；s[n]代表信号中真实信号；x[n]代表雷达接收到的复数离散信号。根据奈奎斯特采样定理，采样率，其中TNYQ代表奈奎斯特采样周期，限制信号频率范围。在此基础上对x[n]实施离散时间傅里叶变换处理，具体处理方法如下：

以MWC基本结构中的第m路为例，设为伪随机序列的主值序列，以长度进行周期循环，中含有个元素，其中代表的一个循环周期，则序列的表达方式如下：

在公式（9）中，代表序列的离散傅里叶变换系数；l为子带索引号，且有。混频速率为，基带频谱范围为，序列将划分为段，各段间隔均为，各段的位置即为索引。为防止产生边缘效应，须令，其中B为真实信号的带宽。在此基础上，对实施离散时间傅里叶变换处理，具体方式如下：

信号在经过混频处理后被传输至低通滤波器，其频率响应为。由于基带频谱范围为，因此滤波器的截止频率为。信号在经过滤波处理后可表示为，对其实施离散时间傅里叶变换，具体方式如下：

在公式（11）中，*代表卷积，经过低通滤波器处理的信号频谱分量位于内，但其数据率仍为fNYQ，存在一定的冗余。因此还需要对经过滤波处理的信号Wm[n]实施采样处理，采样速率为，其中Ts代表采样数据的采样周期。令，其中MP代表抽取因子，通过低速ADC抽取来自高速ADC的信号，进而降低信号数据率，在降低数据存储压力的同时减少信号处理工作量。针对采样信号ym[k]实施离散时间傅里叶变换处理，具体方式如下：

基于MWC基本结构，以矩阵的形式对分支的输出加以描述，可得出如下关系式：

在公式（13）中，C代表MP×MP维的观测矩阵；y（f）代表M维的列向量，第m路元素为 Ym（ej2πfTs）；z（f）代表 MP维的列向量，第 l个元素为 X（ej2πfTNYQ(f-lfp)），Pm（l）系数的表达方式如下：

M×MP维观测矩阵的表达方式如下：

MWC压缩采样宽带数字接收机的恢复有赖于列向量z（f）的稀疏性，只有在z（f）具备稀疏性的情况下，MWC才可以基于较少的支路重构信号。定义重构模型V=CU，其中C代表压缩感知中的观测矩阵，设该矩阵的秩为q，即MWC压缩采样接收机的支路数。为了在压缩采样信号中重构出原始信号，须保证q≥2|supp（U）|，其中|supp（U）|为U的支撑集。由于M＞2Ksp是重构复信号z（f）的必要条件，因此相比于实信号来说，复信号的频谱减少一半；由于M＞4Ksp是重构实信号的必要条件，因此相比于实信号来说，MWC压缩采样宽带数字接收机处理复信号的能力更强，其中Ksp为信号频谱数量。各种不同类型的信号频谱图如图2所示。

图2 不同类型的信号频谱图

3 重构MWC压缩采样信号

基于MWC结构所获取的信号模型没有封闭的解，并且稀疏度未知，在支撑集元素基数数量无限的情况下，该模型可以看作为一个无限测量向量模型[7-8]。因此，本次研究首先通过连续有限转换算法对采样信号进行处理，将无限测量向量模型转换为有限模型。连续有限转换算的基本流程如图3所示。

图3 连续有限转换算法基本流程

首先建立框架V，结合采样信号y[k]获得矩阵Q，具体方法如下：

在公式（17）中，（·）H代表共轭转置。在此基础上针对Q实施分解处理，具体方式如下：

接下来，通过贪婪匹配追踪算法获取信号存在的索引集合S，结合观测矩阵和采样信号获取各通道在基带中的时域波形zs[n]，具体方法如下：

在公式（19）中，（·）+代表违逆，最终所获取重构信号的时域表达式如右：

在公式（20）中，h [n]代表理想的插值滤波器，其速率为奈奎斯特采样率fNYQ。

4 仿真实验

本次研究通过仿真实验的方式对以上算法的有效性进行分析，仿真模型各项参数如下：MWC支路数量M=20路；通过Bernoulli序列生成伪随机序列矩阵的主值序列，Bernoulli序列单个周期长度为MP=20；奈奎斯特采样率fNYQ= 20GHz。

雷达信号各项参数如下：信号观测时间T=120us；信噪比为20dB；采样点数量20 400点；信号频率fc=2 500MHz，幅度为1；压缩采样ADC的采样点数。最终所得到的MWC压缩采样宽带数字接收机仿真结果如图4所求。

图4 MWC结构仿真结果

本次研究针对基于MWC结构的压缩采样宽带数字接收机进行仿真分析。其中，图4（a）为原始信号时域图，根据该图可知，原始信号中含有大量噪声；图4（b）为原始信号频谱图，其谱线位于2 500 MHz和17 500 MHz附近；图4（c）为Bernoulli序列图，序列中的值随机出现于[-1,1]区间范围内；图4（e）为重构信号与原始信号时域图，根据该图可知，MWC结构可以在时域上重构原始信号；图4（f）为重构信号与原始信号频域图，根据该图可知，重构信号与原始信号频谱相同，代表基于MWC结构的压缩采样宽带数字接收机在性能方面具有可行性。

5 结束语

本文基于压缩感知的基本原理，介绍了MWC压缩采样宽带数字接收机的数据处理流程，并通过连续有限转换算法处理MWC结构所获取的采样信号，将无限测量向量模型信号转换为多测量向量模型信号，并通过常规贪婪匹配算法来重构信号。经实验研究发现，本次研究所提出的数字接收机设计方案体现出了较为理想的信号重构效果。