关注课堂活动 发展核心素养——以“事件的关系和运算”为例

200433 复旦大学附属中学 张建国

一、内容分析

“事件的关系和运算”是沪教版新教材必修第三册第12章“概率初步”中第2节“古典概率”的第3课时.本节课通过类比集合的关系和运算，指出事件之间也是有关系的，事件是可以运算的，这为后续研究古典概率模型的概率可加性做了铺垫，因此本节课起到了承上启下的作用.通过学习事件的关系和运算，引导学生学会运用简单事件表示较复杂事件，为后续求较复杂事件的概率以及继续推导概率的一些重要性质打下基础，同时也为大学概率论中将概率定义为样本空间上的函数埋下伏笔.

二、学情分析

在本节课之前，学生已经学习了随机现象、样本空间与事件、等可能性与概率等概念，掌握了样本空间、事件(随机事件)以及古典概率模型中的概率公式等，初步体会了集合作为工具描述这些概念的科学性和严谨性.本节课将类比集合的关系和运算，抽象出事件的关系和运算的一般性描述，思维的跳跃性较大，抽象程度较高，因此需要设计适当的学习活动，借助具体事例，让学生通过思考、小组讨论进行探究，并进一步抽象出一般的事件关系和运算.

三、教学目标

(1)通过观察事件运算的具体例子发现并提出问题，用集合的语言予以表达，能够利用归纳和类比的方法解决问题，发展逻辑推理素养.

(2)从具体实例中理解事件的关系和运算的含义，能够抽象出事件的包含关系的含义，以及多个事件至少有一个发生、同时发生、互斥和对立的含义，发展数学抽象等素养.

(3)能够利用事件的关系和运算解决一些实际问题，培养数学应用的意识.

四、教学过程(课堂实录)

(一)创设情境，引入问题

师：我们已经学习了随机现象、样本空间与事件、等可能性与概率，根据前面学习过的知识和方法，请同学们看下面的引例.

引例掷两颗骰子，分别观察得到的点数(数字1至6).请同学们提出一些事件，探究这些事件之间的关系.

学生活动开展小组讨论，各小组提出事件.

师：同学们都提出了哪些事件？请各小组派代表交流一下.

生：事件A，一个点数是5，另一个点数是6.

生：事件B，一个点数是奇数，另一个点数是偶数.

生：事件C，两个点数都是偶数.

生：事件D，两个点数之和是3的倍数.

师：很好.我也提出事件E，两个点数中至少有一个是偶数.

问题1根据上面所提出的事件，你能利用集合的关系和运算探究它们的关系吗？

学生活动开展小组讨论，利用集合的关系和运算，探究这些事件之间的关系和运算.

师：请同学们根据上面提出的事件，类比集合的关系和运算，你能探究这些事件之间有哪些关系吗？

生：把事件B、事件C和事件E对应的集合分别记作集合B，C，E，那么上述事件的关系表示为E=B∪C.

师：很好，请同学们进一步探究表示式E=B∪C的含义，能得到什么结论？

生：事件B发生或事件C发生，事件E就发生.

师：很好，这说明相对于事件B和事件C，事件E是较复杂的事件，我们可以把较复杂的事件分解为简单事件的运算，或者反过来说，可以用较简单的事件表示较复杂的事件.这为我们后续研究较复杂的事件带来了方便.

师：受此启发，今天我们就全面类比集合的关系和运算，研究事件的关系和运算.因此，今天我们学习的主题就是“事件的关系和运算”.

设计意图：创设“掷两颗骰子”的情境，让学生发挥想象力，提出事件，引导学生把较复杂事件转化为简单事件，即用简单事件表示较复杂事件，从而引出用集合的运算来表示事件的运算.

(二)生成概念，解决问题

问题2类比集合的关系和运算，你认为事件都有哪些关系和运算？

学生活动在解决问题1的基础上进行类比和联想，概括出事件的关系和运算的含义，并用集合的语言表示.

师：同学们首先类比了集合的哪个运算？如何描述对应的事件的运算？

生：根据前面的讨论，我们小组首先类比了集合的并集运算，得到对应的事件的运算是两个事件A与B中的基本事件至少有一个发生，得到的事件对应的集合是A∪B.

师：还有其他描述吗？

生：两个事件A与B中的基本事件至少有一个发生，事件A与B就至少有一个发生，对应的集合是A∪B.

师：很好！我们将其严格地写出来.记样本空间为Ω，事件A对应于集合A，事件B对应于集合B.“两个事件A与B中至少有一个发生”本身也是一个事件，是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，对应的子集是A∪B(如图1所示).

图1

进一步，如果三个事件A，B，C至少有一个发生，其对应的子集是A∪B∪C.

师：请同学们继续类比集合的关系和运算，你还能得到事件的哪些关系和运算？

生：我们小组类比了集合的交集运算，得到对应的事件运算是，两个事件A与B某个共同的基本事件发生，则事件A与B同时发生，对应的集合是A∩B.

师：很明显，和第一次相比，同学们这次描述事件的运算要准确多了.我们将其严格地写出来.“两个事件A与B同时发生”本身也是一个事件，是指两个事件的某个共同的基本事件发生，对应的子集是A∩B(如图2所示).

图2

进一步，如果三个事件A，B，C同时发生，对应的子集是A∩B∩C.

师：集合还有哪些运算？请同学们继续类比.

图3

问题3能用前面两个事件的运算描述事件的第三个运算的性质吗？

学生活动开展小组讨论，再次理解“两个事件至少有一个发生”和“两个事件同时发生”的含义，并讨论如何把事件的这两个运算运用到描述事件的第三个运算中.

师：前面我们学习了事件的两个运算“两个事件A与B至少有一个发生”与“两个事件A与B同时发生”，同学们能用事件的这两个运算描述事件的第三个运算的性质吗？

师：很好，这就是事件和其对立事件的关系.

问题4如果事件A和事件B对应的集合满足A∩B=∅，那么事件A和事件B是对立事件吗？

学生活动进一步思考对立事件的含义，从而引出新的事件运算.

师：如果事件A和事件B对应的集合满足A∩B=∅，事件A和事件B是对立事件吗？请同学们思考并回答.

生：不是.因为事件A和事件B还有可能都不发生，这不满足对立事件的定义.

师：是的，我们把这种事件称为互斥事件，具体描述如下.如果事件A和事件B没有共同的基本事件，即对应的两个子集的交集是空集，也即A∩B=∅，则称事件A和事件B不可能同时发生，或者说互斥(如图4所示).

图4

进一步，如果是三个事件A，B，C满足A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅，则称事件A，B，C两两互斥.

问题5A∪B和A∩B的对立事件如何表示？

学生活动类比集合的运算，推导较复杂事件的对立事件公式.

问题6类比集合的关系，事件之间有关系吗？如何描述？

学生活动类比集合的关系，给出事件关系的一般性描述.

师：上面我们类比集合的三种运算，给出事件对应的运算的含义.我们知道某些集合之间是有关系的，同学们能类比集合的关系描述事件的关系吗？

生：事件A中的基本事件都在事件B中，则事件A和事件B对应的集合满足A⊆B.

师：进一步，如果事件A中的基本事件都在事件B中，那么事件A发生，事件B是否发生？

生：事件A发生时，事件B必然发生.

师：因此，类比集合的关系，我们得到事件的关系如下.某些事件之间是有关系的，如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生(或者说B不发生则A也不发生).此时，称B包含A或者A包含于B，记作A⊆B(如图5所示).

图5

设计意图：从具体实例出发，让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的研究问题的过程，同时运用类比的方法把集合的关系和运算运用到事件的关系和运算上，引导学生对具体实例进行概括、归纳，从而用数学语言表示事件的关系和运算的一般含义，发展数学抽象和逻辑推理素养.

(三)应用概念，加深理解

例1掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少一个点数是偶数，B：点数之和是偶数.求：(1)A∪B；(2)A∩B.

方法1：分别写出A和B中所包含的基本事件，然后根据集合的运算求得结果.

方法2：利用事件的运算，把事件A和事件B转化为简单事件的运算后求得结果.

方法1 解答：样本空间Ω={(i,j)|i=1,2,…,6；j=1,2,…,6}，其中i,j分别是掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.

A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，

B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}，

则(1)A∪B=Ω；

(2)A∩B={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}.

方法2 解答：记A0：两个数都是偶数;A1：一个数是奇数，一个数是偶数;A2：两个数都是奇数.

因为A=A0∪A1，B=A0∪A2，且事件A0，A1，A2两两互斥，所以(1)A∪B=(A0∪A1)∪(A0∪A2)=Ω；(2)A∩B=A0={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i,j都是偶数}.

设计意图：本题是对“事件的关系和运算”概念的理解和应用.方法1是分别写出事件A和B所包含的基本事件，然后根据集合的运算写出相应的结果，这是最根本的方法，是通法，应向学生强调.方法2是把较复杂的事件转化为简单的事件的运算，即用简单事件表示较复杂事件，体现了转化的思想.通过两种方法的对比，学生体会用简单事件的运算表示较复杂事件的便捷性，体现本节课学习的必要性.

(四)课后总结，凝炼升华

知识内容：本节课学习的知识内容是事件的关系和运算.

思想方法：本节课采用的学习方法是通过归纳特例，类比集合的关系和运算，采用从特殊到一般的方法给出事件的关系和运算的一般含义.

(五)课后作业，巩固提高

1.掷一颗骰子，设事件A：落地时得到的点数是奇数，事件B：落地时得到的点数是偶数，事件C：落地时得到的点数是3的倍数，事件D：落地时得到的点数是4.则下列每对事件中，不是互斥事件的为( )

A.A与BB.B与C

C.A与DD.C与D

2.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张相同的卡片上，并随机抽取1张，设A：出现偶数，B：出现3的倍数.则事件A，B至少有一个发生对应的子集是______；A，B同时发生对应的子集是______.

3.在分别写有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的11张相同的卡片中随机抽取1张，设A：出现奇数，B：出现偶数，C：数字大于4.写出下列事件对应的子集：(1)A，C同时发生；(2)B，C至少有一个发生；(3)A，B同时发生.

4.除了集合的交、并、补的运算外，集合的运算还有哪些？请查阅相关资料，并思考如何从事件的角度来理解集合的这些运算.

5.根据本节课学习的内容，请查阅关于概率定义的发展过程中与公理化形成有关的资料，从中体验和感悟概率论公理化体系的思想.

五、教学反思

(一)创设情境，设计小组活动，通过活动解决问题(串),发展核心素养

本节课在开始时设置“掷两颗骰子”的游戏，这是学生比较熟悉的游戏，教师引导学生开展小组活动，提出一些事件，然后探究这些事件之间的关系，并引导学生用数学语言表述数学问题，目的是培养学生提出和发现问题的能力，这是发展学生“四能”的基础.

(二)以问题(串)的解决引导学习

本节课的教学过程充满了恰时恰点的问题，引导学生独立思考、自主探究，必要时小组合作交流，学生认知能力的每一次提升都是通过问题的解决达到的，学生思维的深刻性进一步得到提升，逻辑推理等核心素养也会得到发展.

(三)开展过程教学，抓住三个“什么”，激发学生的学习兴趣和学习激情

本节课通过不断设置问题串和一个个问题的解决，展现了“事件的关系和运算”这一概念的生成过程，做到了以理服人，把 “事件的关系和运算”“是什么”“为什么”以及“还有什么”以说理的形式展现给学生，使学生不仅知其然，而且知其所以然，培养了学生的理性思维和科学精神，从而发展了核心素养.