巧解往复式活塞压缩机疑难问题

栗麒婷

近期，笔者看到了一个往复式活塞压缩机相关问题，小猿搜题、作业帮等相关平台的解析都不能完全说通，引起了笔者的强烈好奇心，解出来后与大家共享。

题目如下：

往复式活塞压缩机原理如图所示，圆盘上的B点与活塞上的A点通过铰链连接在直杆两端，圆盘绕固定转动轴O点以角速度逆时针匀速转动，从而使活塞水平左右移动。以O为圆心，AO为x正方向建立如图的坐标系，己知OB=R，下列说法正确的是（C）

A.当B到达（R，0）位置时，活塞的速度最大

B.当B到达（0，R）位置时，活塞的速度向左且最大

C.在B从（0，R）到（-R，0）的过程中，活塞的速度先增大后减小

D.在B从（0，R）到（0，-R）的过程中，活塞的速度先增大后减小

小猿搜题解析如下：

A. 当B到达（R，0）位置时，B点的速度竖直向上，杆的水平速度等于零，活塞的速度等于零，A错误；

BC.当杆和圆盘边缘相切时，活塞的速度最大，所以在B从（0，R）到（-R，0）的过程中，活塞的速度先增大后减小，B错误，C正确；

D. 当杆和圆盘边缘相切时，活塞的速度最大，在B从（0，R）到（0，-R）的過程中，杆和圆盘有两次相切，活塞的速度有两次最大，活塞的速度两次先增大后减小，D错误。

A选项毋庸置疑，大家都易理解，只是BCD选项解析中提到：“当杆和圆盘边缘相切时，活塞的速度最大”有些令人费解，圆盘线速度大小不变，杆和圆盘边缘相切时，只能说明杆的速度最大，杆的速度与活塞速度不同，因此，解析是不太清楚的。针对这个问题，我进行了研究，如下图及推导过程：

设圆盘与杆连接处B点的速度与杆的夹角为，活塞与杆连接处的速度与杆在水平方向的夹角为。根据关联速度可得以下关系：

则

当圆盘与杆连接处在最高点时：，。随着圆盘的转动，一直减小，分母一直增大；也在一直减小，分子一直增大，但减小地更快，故增大地更快，在增大。

直到圆盘与杆相切时，分子部分，则，为最大值（且大于分母）。圆盘与杆相切之后增大，分子减小；减小，分母继续增大，在减小。由此推断，圆盘与杆相切时活塞速度最大。

所以，在B从（0，R）到（-R，0）的过程中，活塞的速度先增大后减小。问题得到了很好的解释，希望能对大家有帮助。