基于理性思维和感性思维交融的“勾股定理”教学研究*

2022-11-15陈杰宇侯恩冉淮北师范大学数学科学学院235000

中学数学杂志 2022年2期

陈杰宇侯恩冉 (淮北师范大学数学科学学院 235000)

感性思维与理性思维是两种基本的思维形式，也是个体思考问题、认识客观世界的重要工具.张乃达先生曾说过：数学教学实质上是数学思维活动的教学.[1]数学是一门科学，也是一门艺术，在数学教学中，应以理性为主，感性为辅.在数学课堂上，教师不能只局限于知识的传授，而应通过逐步引领，促进学生思维活动的协调运行，特别是感性思维和理性思维的转化与融合，方能有效提高课堂的教学效益，获得事半功倍的教学效果.

1 两种思维互补教学的手段分析

从个体认知的规律来看，思维发展一般是从感性过渡到理性，但对于初中生而言，由于已经积累了一定的知识基础和数学思考的能力，即具备了一定的理性认知，因此，在数学教学活动中，可以采取从理性出发、走感性之路、回理性之家的手段.

其一，从理性出发，萌生概念，把握本质.数学最终要归为理性，换句话说，学生最终要掌握数学知识的内在特点和规律方法[2]，教师如果从一开始就没有正确、严谨地引领学生，而只是追求感性，那么接下来的教学可能会出现偏差，从而变得杂乱无章，因此理性教学应该成为教师后续教学的行动指南，从一开始就带领学生明确思维的方向，抓住知识的本质特征，站在理性的高度去通盘分析，才能保证后续教学的有效性.

其二，走感性之路，感受数学乐趣.数学知识既有理性也有感性，有抽象也有具体.理性的数学结论并不排斥感性的认知过程，理性的数学内容也不排斥感性的生活素材，在学生获得理性数学知识的基础上，教师还要带领学生走好感性之路.通过各种探究活动，引导学生动手操作和合作交流，充分调动学生的各种感官参与体验，让学生通过感受和观察去探索数学规律，获得感性认识，感受数学乐趣.

其三，回理性之家，实现认知的升华.探索数学的终点要回归到理性，方能促进数学思维的进一步发展，建立对数学知识更深层次的见解.学生在解题过程中发现数学规律，在感性活动中感知数学定理，最终还要在理性分析中升华数学认知，从理性萌芽到感知表象，再概括上升为理性认识.

由此可见，这种教学的思维起点是理性，终点也是理性，看似一个循环，但起点和终点的程度是不同的，起点的理性经历了感性之路，对知识的体验更加丰富，印象更加深刻，最终的认知提升了.事实上，有效的数学教学就是让学生在此思维循环中不断来回、不断提升，达成螺旋上升的思维发展.

2 两种思维融合教学的示例

勾股定理是初中数学课程非常经典的一个定理，它既体现了数学学科的理性，又不失其感性的一面，因此，勾股定理的教学非常适合运用理性思维与感性思维交融的途径.

2.1 几何题引入——“从理性出发”

图1是一个上底AD长为a、下底BC长为b(a

图1

课堂预设对于(1)，教师通过问题驱动引导学生逆向思考：

①假设△AEB是直角三角形，图中哪些角是直角？(∠AEB=∠C=∠D=90°)

②和是90°的角有哪几对？你发现了什么？(引导学生意识到有对应角相等，从而联想到三角形相似)

③哪两个三角形是相似的？怎么证明？(△BEC∽△EAD)

④根据三角形相似你能得到什么结论？(DE=b,EC=a或DE=a,EC=b)由此能确定动点E的位置吗？(当DE=b,EC=a时，△BEC≌△EAD，AE=BE，即当点E运动到CD上某个位置，该位置满足DE=b,EC=a时，△AEB是一个等腰直角三角形)

对于(2)，该小问提供了一个看似简单实则较为复杂的图象背景，需要学生能对图形所提供的信息进行选择、甄别和处理，教师通过以下问题引导学生利用面积法求出a，b，c之间的关系：

①这个梯形是由几个几何图形拼成的？它们是什么几何图形？(3个三角形)

③你能根据列出的式子找出a,b,c之间的关系吗？(a2+b2=c2)

④a,b,c分别表示哪几条边，由此你能发现直角三角形三边之间存在什么特殊的数量关系？

(以Rt△ADE为例，a,b分别表示它的两条直角边，c表示斜边，依据前面推导出来的a2+b2=c2，可以得知：在Rt△ADE中，两直角边的平方和等于斜边的平方.同理，在Rt△BCE中也能得到该结论)

设计意图以一道简单的动点类型几何题作为本节课探究的起点，看似让学生解题，实际上重点并不在解题本身，而是通过解题，引发学生的理性思维，萌生勾股定理的概念，步步紧逼，层层深化，进而拉开勾股定理的序幕.

2.2 探究活动：将直角三角形放在方格纸中观察——“走感性之路”

请学生拿出事先准备好的方格纸，作图并完成以下探究活动.

探究1等腰直角三角形三边之间的数量关系

图2

假设每个小方格的边长是1，面积为1，先要求同学们在纸上画出一个腰长为2的等腰直角三角形，分别以该直角三角形三边为边长向外作正方形.(1)从图2中你能观察到的最基本的图形是什么？(2)图2中三个正方形A,B,C的面积SA,SB,SC各是多少？你是怎么得到SC的？它们之间有什么关系？(3)图2中正方形A,B,C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？

课堂预设(1)学生通过观察，不难发现有正方形和等腰直角三角形.(2)学生通过“数方格”或者“边长乘边长”的方法可以得出SA=4，SB=4，对于正方形C的面积，通过直接观察可能无法求解，此时教师可以鼓励学生自主探索并合作交流，最后引导学生总结出不同的解决方法：①割法，②补法， ③拼法(如图3所示).因此得出SC=8，通过分析数据可以发现：SA+SB=SC.

图3

(3)学生讨论交流后发现等腰直角三角形三边之间的数量关系，进而明确建立起表示等腰直角三角形三边之间数量关系的数学模型：等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

探究2非等腰直角三角形三边之间的数量关系

图4

引导学生进一步验证任意直角三角形三边之间的数量关系.同样地，要求同学们在纸上先画出一腰长为2、另一腰长为3的直角三角形，分别以该直角三角形三边为边长向外作正方形，并完成以下探究活动.(1)图4中三个正方形A，B，C的面积SA，SB，SC各是多少？它们之间有什么关系？(2)图4中正方形A，B，C所围成的直角三角形三边之间有什么数量关系？

课堂预设(1)类似第一个探究活动，学生花点时间自己可以得到：SA=9，SB=4，SC=13.(同样可以采用“割”“补”“拼”的方法探索正方形C的面积)(2)学生讨论交流后发现非等腰直角三角形三边之间的数量关系.

教师总结：在上述探究活动中，采用了从特殊到一般的数学思想方法，即先以等腰直角三角形为对象感受勾股定理的存在，再推广到一般的直角三角形.

探究3几何画板动态演示：任意直角三角形三边之间的数量关系

利用几何画板操作，直观展示任意直角三角形三边之间的数量关系.

课堂预设用几何画板验证任意直角三角形三边之间的数量关系，更具有说服力.在这个过程中，教师还要注意引导学生用数学语言表示该数量关系，即如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么就有a2+b2=c2.

设计意图如果只是通过第一环节解几何题的过程来引导学生理解勾股定理，学习的功利性明显，可能会显得知识单调枯燥，往往会导致学生对学科知识的厌烦和抵触.数学教学是数学活动的教学，学习和教学的过程不仅要有理性，还要有感性.因此利用上述探究活动，引导学生通过感受和观察去探索数学规律，形成对勾股定理的感性认知，体会学习数学的乐趣.

2.3 证明定理：欧几里得证法——“回理性之家”

通过第一个环节的解题过程和第二个环节的探究活动，教师引导学生自主归纳出勾股定理.下面教师向同学们介绍历史上著名的欧几里得证法，该方法是欧几里得在《几何原本》中给出的关于证明勾股定理的方法，是人类对勾股定理第一次真正意义上的严谨证明.

图5

教师出示题目：如图5所示，在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别是c2，a2，b2,连结BG,CE,作CM⊥DE,垂足为M，交AB于L.请根据已知条件和图形尝试证明勾股定理.

课堂预设学生先独立思考，紧接着教师向学生说明欧几里得证法的基本思路，并通过问题驱动学生的理性思维，最后总结证明步骤和方法.

基本思路：通过同底等高的三角形以及其面积关系，将上方的两个正方形ACFG，BCHK转换成下方两个面积相等的长方形.

问题驱动：(1)正方形ACFG和正方形BCHK的面积可以分别转化为哪个三角形的面积或面积的倍数？

(2)正方形ABDE的面积可以看成哪两部分之和？每部分的面积可以分别转化为哪个三角形的面积或面积的倍数？

(3) (1)和(2)中的几个三角形面积之间有什么关系？由此你能得出正方形ABDE，ACFG，BCHK的面积之间有什么关系吗？这对勾股定理的证明有帮助吗？

教师总结证明步骤：

③由于AG=AC,AB=AE,∠GAB=90°+∠CAB=∠CAE,所以有△ABG≌△AEC,S△ABG=S△AEC;

④S四边形ACFG=S四边形AEML;

⑤同理有S四边形BCHK=S四边形BDML;

⑥S四边形ACFG+S四边形BCHK=S四边形AEML+S四边形BDML=S四边形ABDE,即a2+b2=c2.

设计意图事实上，第二阶段的探究活动和第三阶段的证明活动所选用的图形是类似的，区别在于是放在方格纸中观察还是单独进行面积分析.将图形放在方格纸中观察，通过数方格或“割”“补” “拼”等方式发现勾股定理属于感性认知，通过面积转化从而对勾股定理进行证明，充分体现了数形结合思想在证明勾股定理中的重要作用，这属于理性分析，且此时的理性，已不同于第一阶段，它通过感性之路，得到了升华.学生经历观察、思考、分析、计算的过程，对勾股定理的体验更加丰富，深刻体会定理的证明过程和方法，对定理的内涵有了本质的理解.