构建“理趣课堂”的实践——以“斐波那契数列”教学为例

江苏南通师范学校第三附属小学（226007） 邓芸芸

“理趣课堂”，顾名思义就是富有理性和感性的课堂。理性主要是指数学课堂要有数学的理性精神，学生应带着求真的精神去探索研究数学，追求一种完全确定、完全可靠的知识；感性主要是指数学源于生活，数学课堂应该结合客观实际，体现其社会性、现实性、实践性、直观性，通过这些感性的和有趣味的客观认识激发学生学习数学的兴趣。“理趣课堂”，糅合了理性和感性，将课堂变得生机勃勃，增强了课堂的趣味性，大大提高了学生参与课堂的积极性和热情，有利于提高课堂教学效率和质量。

“理趣课堂”，努力做到用数学的理性精神引领学生去探索、去求真，去经历知识形成的过程；同时又遵循学生的认知规律，激发学生的探究热情，最终达到理趣相生的和谐状态。

现以“斐波那契数列”教学为例，谈谈如何构建“理趣课堂”。

一、激趣探理，发现数列

布鲁纳说：“兴趣是最好的老师。”小学生具有强烈的好奇心。课堂伊始创设有趣的问题情境，可激发学生的好奇心，让他们更快地进入新知的探索中。

1.设疑导入

师（出示比萨斜塔图片，如图1）：意大利比萨不仅有闻名于世的斜塔，还出过一个伟大的数学家斐波那契。800 多年前，他在著作《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题，吸引着人们不断地去研究。究竟这个兔子问题如何有趣呢？大家想知道吗？

图1

2.出示问题

师（出示兔子问题）：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月它们便能生下一对小兔，而且以后每个月都会再生一对小兔。如果一年内没有发生死亡，那么12 个月后会有多少对兔子呢？

3.初步尝试

师：遇到这样的难题怎么办？请大家联系以前的学习经验想一想。

生1：可以化难为易，将难题转化成容易解决的问题。

生2：可以先研究前几个月的情况，看看有没有什么发现。

4.发现规律

师：第1 个月是什么情况？第2 个月呢？第3个月呢？……第6 个月呢？怎么知道的？（出示示意图，如图2）

图2

生3：每个月大兔子的对数就是前一个月兔子的总数，小兔子的对数就是前一个月大兔子的对数，而前一个月的大兔子，又和再前面一个月兔子的总数一样。

生4：也就是说，每个月兔子的总数等于前两个月兔子的总数相加。

师：现在可以找到12个月后兔子的总数了吗？

生5：把前两个月兔子的总数相加就能得到下一个月兔子的总数。

师：怎么觉得后面的找起来反而容易了。

生6：因为我们在比较简单的部分发现了规律，所以在难的部分直接运用规律就可以解决问题了。可见难和易是可以互相转化的。

5.大胆猜测

师：猜一猜，如果所有的兔子都没有生病或老死，4年后会有多少对兔子？

（学生先猜测是几百、几千、几万，最后看到结果是48 亿多时，都表示完全超出了预期，为这个结果感到震惊。）

师：大学者胡适说过，我们要大胆假设，小心求证。看来我们以后猜测的时候不妨再大胆一点。

6.揭示数列

师：这只是数学中的理想模型，实际生活中兔子当然会生老病死，但是这样的假设却给我们带来了有趣的数列。因为这个问题是数学家斐波那契提出的，所以这个具有规律的数列又叫“斐波那契数列”。

评析：在上述环节中，数学史上有趣的兔子问题牢牢地吸引着学生的注意力，引领学生主动提出化难为易的转化策略，运用画图、列举、计算等多种方法，通过独立思考与集体交流，探求了数量关系中蕴含的规律，并运用规律解决问题，成功找到著名的斐波那契数列。学生不仅知道了数列的数据特点，即从第三项起每一项都等于前两项的和，而且还结合情境做出了自己的解释。在此过程中，学生感受到了数学有理有据、逻辑严密的特点。尤为可贵的是，学生在探索的过程中感悟到难和易是相对的，是可以互相转化的，闪现出哲学思辨的火花，他们的理性精神在潜移默化中自然生长。

二、理中生趣，研究数列

1.分组研究数列的性质

师：斐波那契数列还有很多有趣的性质，从古至今，吸引着无数人进行研究。请4 人为一个小组，每组选其中一个性质进行研究。

2.集体交流数列的性质

师：同学们发现斐波那契数列还有哪些有趣的性质？

生1：从第3 项起，任意一项的平方与它前后两项的积总是相差1，有时是多1，有时是少1。

生2：第3、6、9项的数字，能被2整除；第4、8、12项的数字，能被3 整除；第5、10 项的数字，能被5 整除；第6、12项的数字，能被8整除。

生3：能被2整除的项数都是3的倍数。

生4：相邻两个斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，比如，22+32就等于13，32+52就等于34。

生5：前一项除以后一项的商一直在变，如1，0.5，0.667，0.6，0.625，0.615，0.619，0.618……一会儿变大一会儿变小。

生6：感觉这个比值在越来越靠近一个结果。

生7：我认为它在靠近0.618 ，因为我又向后算了两次，得数分别是0.619、0.618。

生8：我听说过0.618 这个数，它是黄金比。也就是说斐波那契数列的前后两项的比值越来越接近黄金比。

……

师：时间的关系，我们今天只研究了斐波那契数列的几个性质。同学们如果想了解它还有哪些有趣的性质，课后可以去看这本书——《斐波那契数列》，一定会有更多的收获。

评析：独立研究数列的性质，对于小学生来说是颇具挑战性的。在本教学环节中，教师充分地信任学生，为他们提供自由探究的时空，并适当给出一些探索的方向和思路，给学生提供攀登的脚手架。学生小组合作、自主发现、集体交流，找到了斐波那契数列很多神奇的性质。这些有趣的发现，让学生欲罢不能，让他们为数学之神奇着迷，让他们为自己的成就感到自豪。在这一高度抽象的纯数学的理性研究过程中，学生发现了如此之多的神奇而有趣的现象，这种趣味是一种发现的乐趣、求知的乐趣和充满知性的乐趣。最后推荐相关书籍，引导学生将研究延伸到课外，让课堂的影响更为深远。

三、明理得趣，品味数列

1.寻找生活中有趣的斐波那契数列现象

师（出示图3）：除了兔子问题，生活中还有很多地方也藏着斐波那契数列，让我们一起来看看吧！海螺的壳上都有一条螺线，可以描绘成图3 的样子。这个螺线图和斐波那契数列有什么关系呢？

图3

生1：这些小正方形的边长就可以组成斐波那契数列。

师：植物当中也有斐波那契数列。一些树枝的树丫数量蕴藏着斐波那契数列（如图4）。很多植物的种子排列中也涉及斐波那契数列。松果果实上的螺线顺时针有8条，逆时针有13条，这是什么数？

图4

生2：是斐波那契数列中两个相邻的数。

2.感悟大自然中蕴藏的深刻哲理

师：植物如此进化是为了更好地利用空间，是一种优化的生存策略。

生3：大自然真是太神奇了！原来斐波那契数列就是大自然“发明”的呀！

师：正如古代大哲学家庄子所说：“天地有大美而不言……万物有成理而不说。”从宇宙星辰到植物、动物都蕴藏了斐波那契数列（如图5）。看到这些，你有什么感受？

图5

生4：天地之间蕴藏着无言的美和深刻的规律，数学世界也是如此。

生5：我们要敬畏大自然、保护大自然，还要去探索大自然无穷的奥秘。

3.欣赏艺术作品的数学之美

师（出示图6）：很多画家、音乐家、建筑师也感受到了斐波那契数列的神奇，并把它应用到自己的艺术创作中。下面就让我们来欣赏一下吧。

图6

生6：原来艺术里也藏着很多数学原理呢！

生7：斐波那契数列真是太美了！数学真是太美了！

评析：立德树人是教育的终极目标。本教学环节中，教师带领学生从数学走向生活，在自然现象中发现规律，感悟哲理；从数学走进艺术，在艺术世界中回味数学之美。学生感受到大自然神奇的力量，感悟到数学迷人的魅力，科学思维与人文素养相辅相生，互相滋养。这种超乎寻常的审美体验让学生的视野得到拓宽，认知得到震撼，心灵得到净化，在探索大自然的奥妙、品味斐波那契数列无穷韵味的过程中，获得了一种高品质的审美趣味。

四、理趣交融，拓展延伸

1.课堂小结

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生1：我不仅知道了斐波那契数列是什么样的，还知道它是怎么来的，而且它有很多特别有趣的性质。

生2：原来大自然中就藏着很多斐波那契数列，大自然真是太美、太神奇了！还有难和易是相对的，是可以互相转化的。

师：斐波那契数列在计算机、生物、物理、金融等很多领域发挥着重大的作用。

2.课后思考

师：回到开头的比萨斜塔，它斜得这么厉害，能登得上去吗？（能）比萨斜塔的楼梯中也藏着斐波那契数列，你相信吗？

师（出示问题）：上楼梯，每次可以上1 级或2级，爬到第2 级有几种方法？爬到第3 级呢？第4、第5 级呢？这些问题与斐波那契数列有什么关联呢？留给同学们课后去思考。

评析：在趣理交融的课堂总结后，学生的成就感是非常强烈的，他们享受到了探索真理、洞察真相、品味艺术的乐趣。此时，教师趁热打铁，回到课始的情境，引领学生思考爬楼梯的问题。这样的设计能让学生带着问题走出课堂，将学习探究延伸到课外。如此，课堂边界被进一步拓宽，正可谓“课已终，思犹在，趣无穷”。

“理趣课堂”就是要让学生在探求真知的过程中获得智慧，体验成功，感受数学无穷的奥妙，产生持续学习的不竭动力，从而有效提升数学核心素养。