问题驱动式教学在微课设计中的应用探究——以“抛物线的光学性质”为例

王禹桐 孔德宏 (云南师范大学数学学院 650500)

微课作为“互联网+”时代的新产物，在信息技术与教育教学融合的应用中起到了一定的推进作用，近年来受到了教育界的广泛关注[1].值得注意的是，微课不单纯是课堂教学的片段，也不仅仅是录制教师讲解知识点的视频，由于缺乏实际课堂的互动环节，微课设计更需要注重启发性和趣味性.

2021年5月，由中国教育技术协会微格教学专业委员会主办、广西师范大学承办的第十届“华文”全国师范生数学学科教学能力线上测试与展示交流活动采取“线下微课设计+线上直播教学”的方式进行.笔者有幸参与了此次活动，在微课设计中采用“问题驱动”教学模式，借助物理情境创设问题，利用问题串帮助分析问题，将物理情境抽象为数学问题，再将空间问题转化为平面问题，层层递进，最后以解决问题为终点.

1 教学内容及目标分析

1.1 内容分析

本次微课内容为“抛物线的光学性质”，选自人教A版普通高中数学教科书(选择性必修)第一册第三章《圆锥曲线的方程》的阅读与思考部分，属于数学拓展课程.学生在本节课之前已经掌握了圆锥曲线、导数等相关知识，并且结合实例学习了椭圆和双曲线的光学性质，熟悉“问题导入—分析问题—解决问题—总结”这一教学流程，为本节课学习抛物线的光学性质奠定了基础.

1.2 教学目标

(1)掌握并证明抛物线的光学性质.

(2)通过观察、分析、探究等学习方式，经历将手电筒射出平行光线这一物理情境抽象为数学命题的过程，发展数学抽象能力.

(3)从问题抽象再到实际应用，感受数学与生活的密切联系.

2 教学过程设计

2.1 问题导入

一个小电珠的光线是向四周发散的，将小电珠放入到手电筒后，发散的光线变成了一段明亮的平行光束.

问题1 为什么会出现如此神奇的现象？

经过观察发现，手电筒前端是一个旋转抛物面，即由抛物线绕对称轴旋转一周得到的曲面.

追问 同学们能否结合我们之前所学的抛物线的知识解释该现象？

设计意图结合生活实际，通过实验演示提出问题，激发学生探索未知的欲望，启发学生思考.

2.2 分析问题

问题1 要研究这一物理情境，能否类比椭圆、双曲线的学习过程将它抽象为一个数学问题呢？

讨论 忽略物体的大小、质地、薄厚，近似认为手电筒前端是一个旋转抛物镜面，小电珠也近似为一个点光源，光线的传播路径用直线代替.

问题2 要研究这一空间问题，能否将它转化为一个平面问题？

讨论 作一个经过小电珠及旋转抛物镜面顶点的轴截面，与旋转抛物面相交的曲线即为抛物线，这样我们就只需研究在该平面内的抛物线的性质即可.

问题3 初中物理里，光线被光滑的平直镜面反射的实验中反射角等于入射角.光线如何被这里的“曲线”镜面所反射？

问题4 如何证明这个命题？

设计意图通过实物转图形、空间转平面，再到“翻译”反射这一过程，层层递进，让学生直观感受数学抽象的过程，能用数学语言描述出命题.抽象过程中运用了“以直代曲”的数学思想.

2.3 解决问题

证明“抛物线的光学性质”是本节课的重点和难点，因此我们既要有通性通法的教学，也要有能发展学生数学思维的教学.本次教学中的解析法和几何法从不同方向出发，对命题进行了完备的证明.

作出抛物线上任一点P处的切线l，证明：PM平行于x轴(图1).

图1

问题1 已知∠1=∠2，如何证明射线PM平行于x轴？

问题2 我们还能用什么方法来证明这一命题？

追问 不借助坐标系，又该如何证明抛物线的光学性质？

设计意图学生对坐标法的过程较为熟悉，因此用坐标的方法，即设点设线，列方程，算线段长度或算向量夹角等较为常规的方法来证明“抛物线的光学性质”是更容易接受的.讲解证明思路后(结合思维导图)，再呈现具体步骤即可.微课中也呈现了另外几种坐标解法的思路，引导学生进行课后思考.

材料 数学家希尔伯特曾用“漂亮的几何法”证明了“抛物线的光学性质”，其证明首先承认PM平行于x轴，目的在于证明l确为切线.巧妙之处在于他发现有一条直线可以近似代替入射点附近的曲线，其反射角都等于入射角，此直线即为外角平分线，因此用外角平分线来作为已知条件，突破难点(图2).

图2

问题1 要证l为切线，等价于证明什么？

预设回答：即证明直线l与抛物线E有且仅有一个公共点.

问题2 再取l上除P以外的任意点Q，它能不能在E上呢？

问题3 点Q不能在E上，也即点Q到焦点的距离不等于点Q到准线的距离.此时，已知的是角的条件，我们要解决的是距离的问题，能否将距离的问题转化为角的问题？

设计意图结合学生的最近发展区，利用坐标的方法证明命题具有普遍性.通过学习数学家的证明思路，开拓学生思维，使学生在了解数学文化的同时，提高学习数学的兴趣，树立善于思考、严谨求实的科学精神.几何法证明“抛物线的光学性质”是一个难点，在微课演示中结合“问题串”“思维导图”等方式，将难点逐一突破，证明过程自然呈现，学生容易接受，并能提高其数学思维.

2.4 性质应用

例题已知抛物线E：y2=2px内有一点A(a,b)，一光线从点A平行于x轴射出，经过抛物线镜面反射两次，设两次的反射点分别为B,C，当BC最短时，求b的值.[2]

问题1b是什么？

预设回答：它是A的纵坐标，也是B的纵坐标.

问题2 移动点A，直线BC在运动过程中有什么不变性？

预设回答：BC恒过定点.

问题3 该定点是哪个点？

问题4 为什么是焦点？

问题5 什么时候焦点弦最短？

展示阿基米德烧敌船、“天眼”雷达、太阳灶等例子，说明抛物线的光学性质在我们的生活中有着广泛的应用.

设计意图借助几何画板动态分析例题，利于学生理解、分析问题，通过例题的讲解能更深刻地理解“抛物线的光学性质”以及如何运用它解决数学问题.再结合小故事和生活实例使学生更加强烈地感受到数学源于生活、用于生活，要用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.

2.5 总结

对本节课的总结如图3.

图3

说明本节课将生活实际情境转化为一个数学问题，研究了抛物线的光学性质及其证明，并运用这一性质解决数学问题.今后再遇到类似问题，也可以类比此次分析过程来完成.整个过程体现了“以直代曲”“数形结合”等思想，进而提升了学生的“数学抽象”“数学建模”“逻辑推理”等学科核心素养，也让学生更加熟悉数学探究的一般步骤.

3 教学反思

情境和问题构成了教学过程的驱动系统.[3]对于情境设计，本节微课通过探究手电筒发出平行光这一实验作为情境引入，激发学生的学习兴趣，并且清楚明确地指向了所要研究的数学对象本质，基本达到情境设计的要求.但仍然存在不足，在分析问题、解决问题等教学过程中，没有再用到这一情境，由此可见该情境设计并未贯穿教学始终，值得再思考和改进.

问题驱动式教学以学生为中心，以问题为核心，围绕问题的设置逐步探索，最终达成教学目标.问题驱动式教学需要教师有强烈的问题意识，问题串的设计要满足在学生思维的最近发展区内、指向明确、衔接性强三个原则.微课由于其自身短小精悍的特点，能在短时间内呈现大量问题，如果在微课教学中仍然采用“满堂灌”“一言堂”等教学模式，其效果将会大打折扣.因此，若能科学有效地使用“问题驱动”教学模式，定能达到事半功倍的效果.