注重抽象建模 凸显概念本质——2021年全国乙卷两道高考题引发的思考

符强如

(新疆乌鲁木齐市实验学校 830026)

当前许多课堂被应试需求主导，数学教学严重异化为解题的模仿与训练，大部分时间培养的只是学生进行机械运算和演绎推理的能力，很难全面且有深度地培育学生的数学思维素养.在平常的数学教学中，概念教学是培育学生数学抽象思维素养的主要路径.数学思维素养的涵育，离不开对概念内涵与意义的认知和对知识发展的体验，也离不开对知识关系结构的发现与掌握，以及应用知识解决问题过程中对数学思想、精神的感悟[1].笔者对2021年全国高考乙卷理科第9题和第19题调查后发现，已严重异化为解题模仿与训练的数学课堂不能真正激发学生的学习兴趣，学生对数学概念产生的必要性和合理性的感悟严重缺乏，很难直接产生学习新概念的情感需求和思维需求.这种急功近利的做法只能让学生获得碎片化的、零散的知识记忆和僵化的思维，数学概念的学习停留在机械表层,难以让学生构筑厚实的学习基础，形成必要的探究发现能力，学生的数学思维素养得不到有效的培养[2].下面以2021年全国高考乙卷理科第9题和第19题为具体案例，在进行多角度解法研究的基础上，谈谈学生在解题过程中概念理解的具体形式，以及如何进行概念教学，凸显数学本质.

1 试题呈现及多视角探析

(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)略.

这道题是2021年高考全国乙卷理数第19题，从问题表述来看，表现朴实,题干清晰；从内容上看，主要考查等差数列的相关知识和概念，考查考生的逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养.在与学生沟通探讨中发现，这道题的得分不容乐观，主要体现在对此题第(1)问概念理解不到位.品析第(1)问，初尝平淡,深酌而显深厚蕴藉,余味绵长.

视角1 “消元”角度，消去Sn.

视角2 开门见山应用等差数列定义式bn-bn-1=d(常数).

视角3 通过等差中项2bn-1=bn+bn-2(n≥3).

评析视角3也是在探究视角2过程中演变而来的，就是对主干条件变形过程中通过等差中项2bn=bn-1+bn+1(n≥2)来证明.学生直接从等差中项去证明是比较困难的，但是数列的概念反应的特征就是列数，学生可以通过数学归纳法去求解，也可以先求出Sn，再求bn.

题2(2021年全国乙卷题9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=( ).

图1

此题是2021年高考全国乙卷理科数学第9题，主要考查正切函数的相关知识和概念.与上一题类似，此题的表述朴实清晰，但与学生沟通后发现，花了大量时间去梳理关系，得分却不高，主要问题是对正切函数概念的理解层次欠缺，也缺乏数学建模的意识.其实细细品味，我们会发现此题的魅力.

解法1 (正切函数概念)

图2

评析解法1由人教A版教材必修五第一章1.2节“应用举例”例3演变而来，就是在对正切函数概念理解深刻的基础上，由概念进行数学建模的具体体现.调查发现，若学生对概念理解有深度，就能体现出解法1，但是对大部分学生而言是有难度的.与学生沟通发现，不少人是花费了大量时间去寻找边之间的关系，现展示具体解法.

解法2 直角三角形相似

评析解法2主要是根据相似三角形的性质与直角三角形的边角关系来求解，现在看来属于基础题.部分学生反而花了大量时间去寻找关系，有的甚至还没有得出答案，其主要原因是学生在数学概念学习中的数学建模素养没有得到发展，不能用数学视角看待现实的问题，在数学概念的应用学习中，没有形成一定的知识体系.

2 概念教学感悟

数学概念教学首先需要研究“为什么学习此概念”，激活学习新概念的情感需求和认知需求；其次需要研究“学习数学概念的哪些内容”，挖掘数学概念的本质及生成过程等[3].所以在概念教学中，学生数学抽象思维素养的形成，基于其对诸多和概念相关联知识的整体理解与认识，需要教师适当腾出时间对引入概念的必要性和历史背景等作较详细说明.获得数学概念的主要思维方式是抽象与概括，而抽象与概括是一种思维的体验和领悟.因而，在数学概念教学中应尽可能多地让学生亲历概念的抽象与概括过程，在不断的体验与领悟中将经验与概念、直觉与逻辑整体融合并凝聚、升华形成素养.最重要的是要遵循知识的发生发展过程和学生头脑中与新知识有实质性联系的适当观念，以学生认知结构中与新概念有自然的、内在联系的已有知识作为新概念的生长点，使新旧概念之间产生非人为和实质性联系.

数学概念的学习需要数学建模思维素养，需要其从数学视角看问题、用数学方法处理问题的这种意识与能力，也是学以致用精神的体现，即在研究一个现实问题时，先从问题信息抽象出形式化的数学模型，再根据模型求解结果统一处理同类现实问题的这种思维过程.数学建模以描述客观事物的数形特征和内在联系所建立的模型和众多的数学概念、公式和定理等知识一样，都可以广泛应用于现实世界.

在概念的应用教学中，教师引导学生整体理解数学知识结构及其思想方法，让学生了解问题的现实意义及其所蕴含的数形特征，启发学生用数学符号语言将现实问题转化为数学问题，通过联想对问题选取适当的且已学的知识模型.这需要教师多引导学生从数学角度观察、发现并提出有意义的问题，其中往往会与已学的数学概念、知识和思想方法有广泛联系，能让学生更深刻理解概念内涵、意义及作用.

3 结束语

从概念教学深化学生对概括过程的体验与内涵的认知来看，必须让学生“知其然”亦“知其所以然”，不要仅停留在简单机械的记忆与模仿.应努力提高学生进行探究发现与关系建构的能力，可以让学生头脑中孤立的知识形成有机体系和完整结构，走出零散型解题教学与碎片化学习的困境，让学生学会如何将所学知识灵活应用于现实问题情境，远离目标指向迷糊和被无意义问题填充的课堂教学.唯有如此，我们的课堂才能真正优质高效，学生认知结构才能更加稳定，数学核心素养的培育才能更深入落实.