一般线性黏弹性阻尼器保护系统非均匀与完全非平稳地震响应解析分析

李创第 王博文 昌明静

摘要：为建立设置支撑的一般线性黏弹性耗能结构阻尼器保护系统的抗震设计和动力可靠度分析方法，提出了在非扩阶空间上，基于非均匀和完全非平稳地震激励下，设置支撑的一般线性黏弹性耗能结构阻尼器保护系统响应的通用解析解。采用设置支撑黏弹性阻尼器的最一般积分型分析模型，用微分积分方程组实现设置支撑的一般线性黏弹性阻尼耗能结构系统的非扩阶建模；采用传递矩阵法，直接获得耗能结构阻尼器保护系统在任意激励和非零初始条件下瞬态响应的非扩阶模态叠加解析解；应用此解析解和随机振动频域分析法，获得了耗能结构阻尼器保护系统在一般和8种经典均匀与非均匀非平稳地震激励以及完全非平稳地震功率谱模型下的具体响应解析解。通过减震和隔震两种典型结构的复模态法和频响函数法的理论验证分析，以及均匀、非均匀、完全非平稳算例响应分析，证明了本文方法的正确性、简易性和普适性；所获得的瞬态响应解析解和非平稳地震响应分析法，一方面可对整体耗能系统各构件进行基于泊松假设的抗震动力可靠度分析，另一方面将为结构系统建立基于反应谱的模态叠加抗震设计提供分析路径。

关键词：耗能结构系统；黏弹性阻尼器；瞬态响应；非均匀与完全非平稳响应；解析解

中图分类号： TU311.3    文献标志码： A    文章编号：1004-4523（2022）05-1084-17

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.006

引言

目前國内外最为成熟的提高结构抗震抗风能力的被动控制技术有耗能减震和橡胶基础隔震[1⁃2]。耗能结构是通过设置阻尼器保护系统（阻尼装置和支撑构件）[1⁃7]以达到很好的耗能效果。支撑刚度不仅影响结构的整体响应[8⁃12]，而且影响阻尼器的受力和变形。阻尼器保护系统的破坏加重了结构的损伤甚至倒塌[13]，因此中国相关规范[1，14]明确要求阻尼器保护系统应具有足够的抗震能力，故对阻尼器保护系统的研究具有工程意义。

黏弹性阻尼器是一种有效的被动控制装置，具有广泛的工程适应性[3]。目前的研究方法无法将黏弹性耗能结构阻尼器保护系统的响应精确分解为各模态响应的线性组合，导致其精确的抗震反应谱设计法无法建立，因此黏弹性减振控制的实用设计理论及其在规范中的应用已被列为中国土木结构振动控制领域的关键问题之一[15]。

黏弹性耗能结构系统现有解析法的代表有扩阶精确法[16⁃17]、非扩阶近似法[18]等，它们存在物理意义不明确、假设较多、计算效率低等[19⁃20]缺陷导致适用性受限。非扩阶精确法[21]求解过程简单，计算效率高，获得的黏弹性耗能结构响应解析解物理意义明确，从本质上精确揭示了黏弹性耗能结构保护系统的振动机理，避免了结构运动方程模态无法解耦的问题[21]。该方法对不同黏弹性阻尼器耗能结构具有简易性和普适性。

关于一般黏弹性阻尼器响应分析的重要性早已形成共识[11⁃12，22⁃24]，但目前仅获得单自由度一般黏弹性耗能结构在简谐荷载激励下稳态响应的解析解，尚未获得多自由度设置支撑的一般黏弹性耗能结构阻尼器保护系统在任意荷载激励下瞬态响应的非正交模态叠加精确解析解。

地震的整个过程，一般是非平稳随机过程[25]。一般用 Priestley 提出的演变谱模型来分析非均匀非平稳地震响应[26]。平稳地震激励模型主要有白噪声模型[27]、Kanai Tajimi谱⁃[28]、Clough Penzien谱⁃[29]、胡聿贤谱[30]等，其中 Kanai ⁃Tajimi谱地震激励模型符合地震动特点且表达式相对简单，受到广大科研人员的关注[31⁃32]。 Conte 等[33]提出了可以由实际地震加速度演变功率谱经自适应最小二乘法拟合确定参数的完全非平稳模型，该模型同时反映了地震的强度非平稳和频率非平稳特性，其计算参数可通过实际地震加速度演变功率谱拟合得到，具有较强通用性。

关于一般黏弹性耗能结构的非平稳响应分析，目前已获得广义 Maxwell 阻尼耗能结构在平稳滤过白噪声激励下的平稳响应解析解[34⁃36]和 Maxwell 阻尼耗能结构均匀非平稳地震响应解析解[20]，然而对于多自由度设置支撑的一般黏弹性耗能结构阻尼器保护系统在一般和多种[37]均匀与非均匀非平稳激励以及完全非平稳地震功率谱模型下的响应解析分析尚未建立。

本文采用设置支撑黏弹性阻尼器的最一般积分型分析模型，将传递矩阵法应用到一般黏弹性阻尼耗能结构系统中，求解过程简单，计算效率高，在获得了黏弹性耗能结构阻尼器保护系统在任意激励作用下瞬态响应非扩阶模态叠加精确解的基础上，建立了一般线性黏弹性耗能结构阻尼器保护系统的均匀与非均匀以及完全非平稳地震响应解析分析。采用减震和隔震两种典型结构的复模态法和频响函数法的理论验证分析，以及均匀、非均匀、完全非平稳算例响应分析，证明了本文方法的正确性、简易性和普适性。一方面可对整体耗能系统各构件进行基于泊松假设的抗震动力可靠度分析；另一方面将为结构系统建立基于反应谱的模态叠加抗震设计提供分析路径。

1 结构运动方程

设置支撑的一般线性黏弹性阻尼器的 n 个自由度结构系统的运动方程可表示为：

式中 M 为结构的质量矩阵；C 为结构的黏滞阻尼矩阵；K 为结构的刚度矩阵；x 为结构位移向量；pGi （ t ）和 Li 表示等效后第i个阻尼器的作用力及其影响向量，m 为阻尼器总数；F （ t ）为任意外载向量；对于地震激励 F（ t ）=- r g （ t ）， g （ t ）为地面地震加速度，r 为常数向量。

等效后黏弹性阻尼器受力pGi （ t ）的一般积分型本构方程为：

式中kGi和hGi （ t ）分别为等效后第i个阻尼器的平衡刚度和松弛函数，i =1，2，…，m；原阻尼器pQi （ t ）及其支撑刚度kbi与等效阻尼器pGi （ t ）之间的转换关系详见文献[38]。

故设置支撑的一般线性黏弹性阻尼耗能结构系统的运动方程可表示为：

式中 KG 和hG （ t ）分别为等效后阻尼器体系的对称平衡模量和松弛函数矩阵。

2 结构系统的传递矩阵法

2.1  阻尼器的传递矩阵法

设结构的初始条件为：

由拉氏变换，式（3）可转化为：

式中 xˉ （ s ），Fˉ （ s ），h ˉ G （ s ） 分别为 x （ t ），F （ t ），h G （ t ）的拉氏变换；s 为拉氏变换的状态变量；D （ s ）和 H（ s ）分别为结构的阻抗和传递矩阵。

结构的特征值方程为：

方程（2）可表示为：

对式（10）和（11）取拉氏变换，并考虑关系式（6），可得：

式中   Gi （ s ）和（ s ）分别为pGi （ t ）和 g （ t ）的拉氏变换。

故阻尼器的变换向量 g （ t ）的传递矩阵 Hg （ s ）和阻抗矩阵 Dg （ s ）分别为：

由阻尼器pGi （ t ）的实际物理意义和其本构关系式（2）可知：pGi （ t ）≠0；故：

由式（17）对任意初始位移 x0均成立得：

故阻尼器的变换向量 g （ t ）的特征值方程为：

由式（18）和（19）可知：g （ t ）的特征值与结构位移 x （ t ）的特征值完全相同。x （ t ）的每个特征值sj对应的右、左特征向量uj和uj（T），g （ t ）的每个特征值sj对应的右、左特征向量ugj和 u gj（T），它们满足的方程分别为：

其中，j =1～M，M 为特征值个数。

由式（20）～（22），可得 g （ t ）与 x （ t ）的特征向量的对应关系为：

根据前期研究，对于 g （ t ）的传递矩阵 Hg （ s ）和sHg （ s ），下列解析式均成立[21]：

式中sj为 g （ t ）的阻抗矩阵 Dg （ s ）的特征值，其值与结构位移 x （ t ）的阻抗矩阵 D（ s ）的特征值完全相同；ugj为动刚矩阵 Dg （ s ）对应于特征值sj的特征向量。由式（14）～（16），可得：

将式（27）代入式（26），可得：

将式（23）代入式（28），可得：

由于uj是 D（ s ）对应于特征值sj的特征向量，故D （ sj ） uj =0，代入式（29）可化简为：

式中：

2.2 阻尼器受力瞬态响应解析解

由式（12），（14），（33）和式（8），可得：

由拉氏逆变换，式（35）可转化为：

式中δ（ t ）为 Dirac delta 函数。

对于 t >0，阻尼器受力的瞬态响应解析解为：

式中aj （ t ）表示初始条件产生的响应，表达式为：

对于零初始条件，

同理，由式（12），（14），（34）和式（8），可得阻尼

器受力速度的瞬态响应解析解为：

2.3 结构瞬态响应解析解

同理可得结构的位移和速度的瞬态响应解析解为：

其中aj （ t ）如式（38）所示。

若在初始条件为零的情况下，则aj （ t ）=0（ j =1～M ）。

2.4 支撑和阻尼器瞬态响应解析解

支撑刚度、原阻尼器和等效阻尼器之间满足以下关系：

式中xbi，xQi和 x Δi分别为支撑位移、原阻尼器位移和层间相对位移；kbi为支撑刚度。

对于 t >0，由式（42）可得：

将式（37），（39）～（41）分别代入式（43）和（44），可得：

2.5 结构系统地震响应

零初始条件下，由式（40），（41），（37），（39）和式（45）～（48）可得一般黏弹性阻尼器 n 个自由度耗能结构的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撑位移、速度，阻尼器位移、速度响应解析式可统一表示为：

式中  l=1～8；S1（ t ）为结构的位移响应，S2（ t ）为结构的速度响应，S3（ t ）为阻尼器受力响应，S4（ t ）为阻尼器受力速率响应，S5（ t ）为支撑位移响应，S6（ t ）为支撑速度响应，S7（ t ）为阻尼器位移响应，S8（ t ）为阻尼器速度响应；ρlj为响应系数；ηj 为计算常数。响应系数分别为：

ρ8j = sjηj {1- k bi（-）1[ kGi + sj  Gi （ sj ）]} L i（T）ujuj（T） r （57） bj （ t ）为标准一阶系统对地震激励的响应，即：

3 结构系统非平稳响应一般解析式

3.1 非平稳地震激励模型

地震动过程通常包含两个非平稳过程：强度非平稳和频率非平稳，通常采用 Priestley 提出的演變功率谱模型，它可以表示为：

式中i =；“*”表示取共轭项；a （ω，t ）是 t 与ω的确定性调制函数，满足 a （ω，t ）= a∗（-ω，t ）；N（ω）是一个正交增量过程；δ（⋅）为 Dirac delta 函数；S f （ω）为功率谱密度函数。

g （ t ）的协方差函数可表示为：

特别是当 t1= t2时，

3.2 结构系统非平稳响应的一般解析式

结构系统一般响应 S（ t ）的非平稳协方差函数的表达式为：

将式（62）代入式（65）可写成：

式（67）为标准一阶系统在激励eiωt a （ω，t ）下的响应积分形式。因此，式（67）可表示为如下方程的解：Ẏj （ω，t ）= sjYj （ω，t ）+ eiωt a （ω，t ），

式中Yh，j （ω，t ）为式（68）的齐次解，Yp，j （ω，t ）为式（68）的特解。

ς由初始状态 t =0所决定。假定特解Yp，j （ω，t ）已经求出。

由式（66）和（67）可得：

由式（69）～（71）可得：

工程上广泛应用的调制函数为下式的线性组合[19]：

式中  r 为整数；ε（ω）和α（ω）为描述调制函数的参数。

因此，式（72）中的特解为：

将式（74）代入式（72）得耗能结构系统非平稳响应的一般解析式为：

4 几种经典调制情况下非平稳响应具体解析式

4.1 Shinozuka-Sato 型调制函数

式中ε=  e  ln（）；α1，α2为已知常数。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（77）代入式（72）得：

4.2 Hsu-Bernard 型调制函数

式中ε=αe，α为已知常数。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（80）代入式（72）得：

4.3 Goto-Toki 型调制函数

式中 A 0，tp为已知常数。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（83）代入式（72）得：

Iyengar 型调制函数

c，d，α为已知常数。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（86）代入式（72）得：

4.5  分段型调制函数

式中 A 0，c，t1，t2为已知常数。

当0≤ t ≤ t1时，式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定的。Yp，j 可表示为：

将式（89）代入式（72）得：

当 t1≤ t ≤ t2时，式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（91）代入式（72）得：

当 t ≥ t2时，式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（93）代入式（72）得：

4.6  余弦型调制函数

式中  c，d，θ为已知常数；c ≥ d。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（96）代入式（72）得：

4.7  正弦型调制函数

式中  c，d，θ为已知常数；c ≥ d。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（99）代入式（72）得：

4.8 Spanos-Solomos型调制函数

式中ε（ω），α（ω）表示以ω为自变量的函数。

式（70）中ς由初始状态 t =0时，Yj （ω，0）=0所决定。Yp，j 可表示为：

将式（102）代入式（72）得：

5 完全非平稳功率谱模型

完全非平稳模型[33]的演变功率谱密度函数为：

U （ t - tf ）为单位阶跃函数，

式中  S f （ω）为第f个平稳高斯过程的功率谱密度函数；af （ t ）为第f个高斯过程的调制函数；vf和ηf 分别为随机过程的频带宽和卓越频率；εf，tf，rf，αf 为描述调制函数af （ t ）的4个参数。

式（70）中ς由初始状态 t = tf时所决定。由式（68）～（72），同理可得：

式中Yj，f （ω，t ）和Yp，j （ f ）（ω，t ）分别是在 p 个相互独立的、零均值的、均匀调制高斯激励下，式（68）的第f个通解和特解。

由式（68）～（74）可得式（108）的特解为：

将式（109）代入式（108）得：

将式（111）代入式（66）得：

6 验证和算例分析

下面通过两种一般多自由度典型耗能结构的验证分析和算例分析证明本文方法的正确性。

6.1 多自由度 Maxwell 阻尼减震系统

6.1.1 运动方程

設 n 层结构的质量矩阵为 M；结构的刚度矩阵为 K；结构的黏滞阻尼矩阵为C；层间质量、刚度和阻尼分别为 mi，ki，ci，（ i =1，2，…，n ）；kbi，k0i 分别为层间设置的支撑刚度和 Maxwell 阻尼器 pi （ t ）的平衡模量；层间的 Maxwell 阻尼器的刚度为kii；阻尼器的阻尼为  cii；阻尼器的松弛参量为μ ii（ i =1，2，…，n ）；x 为结构相对于地面的位移向量。在地震动 g （ t ）作用下，结构计算简图如图1所示，结构运动方程为：

hQi （ t ）为原结构第i个阻尼器的松弛函数；kGi和hGi （ t ）分别为等效后第i个阻尼器的平衡刚度和松弛函数，i =1，2，…，n 。 Qi （ s ）， Gi （ s ）分别为hQi （ t ），hGi （ t ）的拉氏变换。

其中：

将式（114）代入式（113），結构运动方程可化为：

由拉氏逆变换，式（116）可转化为：

6.1.2 验证分析本文方法

结构特征值sj及其对应的特征向量uj的方程为：

由此求得原始结构3n个特征值sj及其对应的非零特征向量uj （ j =1～3n ）。

由式（31）得：

由式（40），（41），（37），（39）和式（44）～（48）在零初始条件下，结构的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撑位移、速度，阻尼器位移、速度响应为：

复模态法

（1）结构状态方程

令：v （ t ）= ẋ （ t ），那么，结构运动方程（113），（114）可表示为扩阶形式：

式中：

式中  I 为 n 阶单位矩阵。

（2）结构特征值和特征向量分析

令：

则结构的右、左模态方程为：

将式（145）代入式（143），经化简得：

将式（146）代入式（144），经化简得：

对比式（128）和式（148），（151）得，复模态法与本文方法得到的特征值完全相同，且复模态法得到的特征向量可用原结构的特征向量表示。

由式（130），（140），（145）和（146），易得：

（3）结构系统响应分析

零初始条件下，结合复模态理论可得：

结构的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撑位移、速度，阻尼器位移、速度响应为：

对比式（130）～（137）和式（155）～（162）得，两种方法所得的结构系统响应解析式完全一样，从而验证了本文方法的正确性。

6.2 多层耗能隔震结构

6.2.1 运动方程

设多层结构的质量矩阵为 m0；结构的刚度矩阵为 k0；结构的阻尼矩阵为 c0；层间质量、刚度、阻尼分别为 m0i，k0i，c0i （ i =1～n ）；隔震层的质量、刚度和阻尼分别为 m，k，c 。隔震层设置带支撑的一般线性黏弹性阻尼器的阻尼力为 PG （ t ），其松弛函数和平衡刚度分别为hQ （ t ）和 k0，水平支撑刚度为 kb 。上部结构与隔震层的相对位移向量为 x0，隔震层与地面的相对位移为 x，在地震动 g （ t ）的作用下，该耗能隔震结构的计算简图如图2所示，运动方程为：

M0= m + m0i；1为单位列向量；hG （ t ）和kG分别为等效阻尼器的松弛函数和平衡刚度：

式中   Q （ s ）为松弛函数hQ （ t ）的拉氏变换； G （ s ）为松弛函数hG （ t ）的拉氏变换。

将位移向量 x0按上部结构第一振型展开得：

则式（163）～（165）可化为对称微分积分方程：

式中

耗能隔震结构系统上部结构第一振型φ1对应的广义质量为 M1；振型参与系数为 r1；阻尼比为ξ1；频率为ω1。

6.2.2 验证分析算例

在零初始条件下，由式（40）和（37）可得结构系统的脉冲和频率响应函数分别为：

式中i表示某一层，所以当表示具体某一层即隔震层的时候可以省略i，LT =[0  1]。

由式（169）和（165）直接获得的频率响应函数为：

式中  G （ iω）是hG （ t ）的傅氏变换。

由于式（177）～（180）均为解析解，所以应该相等。

某6层基础隔震钢筋混凝土框架结构，结构各层质量 m01～m02为300×103 kg，m03～m06为270×103 kg；层间刚度 k01～k02为4×105  kN m，k03～k06 为3.6×105  kN m；结构第一振型阻尼比ξ1=0.05。隔震层质量 m =400×103 kg，隔震层等效圆频率ω b =5.27 rad s，等效阻尼比ξb 分别取0.10，0.15，0.20，0.25，隔震层刚度 k = mωb（2）。隔震层设置带支撑一般线性黏弹性阻尼器 PG （ t ），平衡刚度 k0=2.1×107 N /m，水平支撑刚度 kb =3k，松弛函数hQ （ t ）的拉氏和傅氏变换取二次分式：

其计算值取为：ωp =9.45 rad/s；d1=28.4 rad/s； e1=65 rad/s；e2=950 rad/s。

图3～5分别为四种工况下，按照直接计算法和本文方法计算的结构隔震层频率响应函数模、上部结构频率响应函数模、阻尼器受力频率响应函数模。由图可知两种求解方法所得结果完全一致，从而再次验证了本文方法的正确性。

6.2.3 响应分析算例

某10层框架隔震结构，结构第一振型阻尼比ξ1=0.05，结构参数如表1所示。隔震层质量 m =3.75×105 kg，等效阻尼比为ξb =0.2，隔震层刚度 k =9.04×107 N/m 。隔震层设置带支撑的 Max ⁃ well 阻尼器 PG （ t ），阻尼器参数为：平衡刚度 k0=0.36×105 N/m ，   k1=42.08×105 N/m ；   c1=0.83×105 N ⋅ s/m，支撑刚度为 kb =3k。

平稳地震动 f （ t ）谱密度函数取为 Kanai ⁃Taji⁃ mi 谱：

式中  S0为地震动谱强度；ωf 和ξf 分别为场地土的卓越频率和阻尼比，ωf =19 rad/s，ξf =0.65。Shinzuka⁃Sato型均匀调制函数：

Spanos⁃Solomos型非均勻调制函数：

在 Spanos ⁃ Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下，多层隔震结构系统的位移、速度，隔震层阻尼器受力、受力速率，隔震层支撑位移、速度，隔震层阻尼器位移、速度响应方差如图14～21所示。

在Shinozuka⁃ Sato 型均匀调制非平稳地震激励作用下，结构响应方差具有峰值效应，且均在 t =8.4 s 同一时刻出现峰值，在 t=30 s之后响应方差收敛趋近于0。由图6可得，结构第10层位移响应方差最大值仅为1.204×10-3 m 2，达到了很好的减震效果。 Spanos ⁃ Solomos型与Shinzuka ⁃ Sato 型非平稳地震激励下，具有相似的性质：结构响应方差也具有峰值效应，且均在 t =7.2 s 同一时刻出现峰值，在 t =30 s之后响应方差收敛趋近于0。由图14可得，结构第10层位移响应方差最大值仅为6.268×10-3 m 2，达到了很好的减震效果。

在完全非平稳地震激励作用下，多层隔震结构系统的位移、速度，隔震层阻尼器受力、受力速率，隔震层支撑位移、速度，隔震层阻尼器位移、速度响应方差如图22～29所示。

从以上结果可以看出：在Shinozuka ⁃ Sato 型和Spanos⁃ Solomos型调制非平稳地震激励作用下，系统的非平稳响应方差与调制函数曲线相似，呈单峰形状，即激励模型方差是单峰的。由于完全非平稳地震激励模型由多个均匀随机过程叠加而成，完全非平稳地震激励模型方差就是多峰的，并且完全非平稳地震激励模型既与时间相关又与频率相关，所以完全非平稳激励下，系统的响应方差会呈现多峰状，实际地震就是多峰的，更加符合工程实际意义。

在完全非平稳地震激励作用下，响应方差呈多峰状，取三次相对较大峰值进行分析，响应方差第一次出现峰值时间在 t=3.0～3.3 s，第二次出现峰值时间在 t =5.1～5.4 s，第三次峰值出现时间在 t =12.6～12.9 s，正是由于完全非平稳的特性导致出现峰值时间不是同一时刻，与 Spanos ⁃ Solomos型和Shinzuka ⁃ Sato 型不同。由图22可得，结构第10层位移响应方差最大值仅为6.738×10-3 m 2，达到了很好的减震效果。

在三种非平稳地震激励条件下均有：随着层数的增加，结构的位移和速度响应方差也越大；第10层与第5层、第5层与第1层、第1层与隔震层响应方差的差值依次递减；从隔震层阻尼器受力响应方差来看，阻尼器起到了很好的耗能作用。

7 结论

为建立设置支撑的一般黏弹性耗能结构阻尼器保护系统的抗震分析与设计方法，对设置支撑的一般黏弹性阻尼器耗能结构系统的瞬态响应模态叠加解析解进行了研究，并对其非平稳地震响应解析分析；获得了设置支撑的一般黏弹性耗能结构阻尼器保护系统（结构位移与速度、阻尼器受力与受力速度、以及支撑和阻尼器的位移与速度）瞬态响应的非正交模态叠加解析解，应用此解析解和随机振动频域分析法，建立了设置支撑的一般线性黏弹性耗能结构阻尼器保护系统在一般和多种（Shinozuka⁃ Sato 型、Hsu ⁃ Bernard 型、Goto ⁃ Toki 型、Iyengar 型、分段连续型、余弦型、正弦型、Spanos⁃Solomos型）均匀与非均匀非平稳激励以及完全非平稳地震功率谱模型下的响应解析分析。

采用两种典型结构系统（减震结构系统和隔震结构系统）的复模态法和频响函数法的理论验证分析，以及均匀、非均匀、完全非平稳算例响应分析，证明了本文方法的正确性、简易性和普适性。

本文对设置支撑的一般线性黏弹性耗能结构阻尼器保护系统进行了分析，并使得非平稳地震激励下响应分析应用更加广泛和高效。通过对一般线性黏弹性耗能结构及阻尼器保护系统的瞬态响应和非平稳地震响应的解析分析，一方面可对整体耗能系统各构件进行基于泊松假设的抗震动力可靠度分析，另一方面将为结构系统建立基于反应谱的模态叠加抗震设计提供分析路径。

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Analytical analysis of non -uniform and completely nonstationary seismic response of a general linear viscoelastic damper protection system

LI Chuang-di1，WANG Bo-wen2，CHANG Ming-jing3

（1.School of Civil Engineering and Architecture，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545006，China；

2. School of Mechanics and Civil Engineering，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China；

3.School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China）

Abstract： In order to establish the seismic design and a dynamic reliability analysis method of the damper protection system of gen ⁃ eral linear viscoelastic energy dissipation structure with braces，a general analytical solution of the response of the damper protec⁃ tion system of the general linear viscoelastic energy dissipation structure with braces under the non-uniform and completely nonsta⁃ tionary seismic excitation is proposed in this paper . The most general integral type analysis model with support viscoelastic damper is used to realize the non-extended order modeling of the general linear viscoelastic damping energy dissipation structure system with braces by using differential integral equations . The non-extended order mode superposition solution of the transient response of the damper protection system under arbitrary excitation and non-zero initial conditions is directly obtained by using the transfer ma? trixmethod . By using the analytical solution and the frequency domain analysis method of random vibration，the specific response analytical solutions of the damper protection system of energy dissipation structure are obtained under the general and eight classical uniform and non-uniform modulation filtered white noise seismic excitation and completely non-stationary seismic power spectrum models . The correctness，simplicity and universality of this method are proved by the theoretical verification analysis of the com ⁃ plex mode method and frequency response function method of two typical structures of vibration absorption and isolation，as well as the response analysis of uniform，non-uniform and completely non-stationary cases . The obtained analytical solutions of transient response and non-stationary seismic response can，on the one hand，carry out Poisson based analysis on the components of the overall energy dissipation system . On the other hand，it will provide an analysis path for the structural system to establish the mode superposition seismic design based on response spectrum .

Key words ： energy dissipation structure system；viscoelastic damper；transient response；non-uniform and completely non-station⁃ ary response；analytical solution

作者简介：李创第（1964—），男，博士，教授。E-mail：lichuangdi1964@163.com。