核心素养视角下数学主题情境活动设计与思考——以“向量的减法运算”为例*

徐倪明 陈算荣

(扬州大学数学科学学院 225002)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《课标》)提出高中数学课程教学应以学生发展为本，将立德树人作为根本任务．《课标》指出高中数学学习中学生应具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养[1]8，那么核心素养如何扎根课堂就成了现今的研究热点．根据PISA测试的经验，可以将学生解决现实情境问题的能力作为核心素养的参考指标[2]．这表明在教学中可通过创设现实情境，在情境问题的解决过程中，落实学生数学核心素养的发展．向量是解决现实问题的重要知识载体，将向量的学习整合于现实情境不仅自然，而且能更好地彰显其学习的价值．现以“向量的减法运算”一课为例，借助“情境问题设计框架[3](表1)”，对该课例进行主题情境下的问题设计与思考，并简析数学核心素养在问题情境教学中的培养．

表1中“知识理解”型情境问题对应于《课标》中六个核心素养的水平一层次．例如，数学抽象水平一层次意指“能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题．”[1]101这与表1中知识理解层次的内涵相一致．对于其他五个核心素养，在此不一一例举．因为《课标》对每个核心素养的三水平划分中都有对情境问题解决相应的水平层次描述，将其内涵对照可知，“知识迁移”型情境问题和“知识创新”型情境问题分别对应于《课标》中的六个核心素养的水平二层次和水平三层次．

表1 情境问题设计框架

2 教学设计片段

2.1 基于情境提出问题

问题1在某地的一条大河中，水流速度记为v0，摆渡船的自身航速记为v1，实际航速记为v2．根据这个情境，你能提出哪些数学问题？

图1

设计意图该情境问题取自前一节向量加法的例题，在已知水流速度v0和船的自身航速v1的情况下求船的实际航速v2，学生可根据实际意义直接构建向量加法模型(图1)．改编为开放问题后，学生需要关联原问题情境中积累的知识基础“v0+v1=v2”,结合解方程的相关知识“一个方程，三个未知数，知二求一”思考问题的提出．该情境问题在数学知识维度上，涉及的知识点较为单一，为一元一次方程知识的简单、直接应用；在情境维度上是学生已经解决过的且较为熟悉的情境问题，情境中三个速度的数学关系较为明显，即方程中的“知二求一”，故属于“知识理解”型情境问题．

教学导引在这个开放的情境问题中，学生能够提出三个问题：

(1)已知水流速度v0与船的自身航速v1，求船的实际航速v2．

(2)已知水流速度v0与船的实际航速v2，求船的自身航速v1．

(3)已知船的自身航速v1与船的实际航速v2，求水流速度v0．

基于学生提出的这三个问题，教师引导学生研究三个问题求解的关系：问题(1)是学生熟知的求和向量的问题，而问题(2)和问题(3)是已知和向量与其中一个加向量，求另一个加向量的问题，这也是学生要学的新知．由此，通过问题(2)(3)，自然地引出向量减法运算的文字表述与字母表示，即求两个向量的差的运算(x=a-b)．同时也为后续向量的减法运算探究作铺垫，即关联向量的加法运算法则．创设开放情境问题既复习了旧知“向量的加法”，同时也指向新知“向量的减法”．在此过程中，学生从熟悉的情境中直接提出数学问题，并抽象出向量加减运算式，有利于数学抽象素养(水平一)的培育．

2.2 关联情境解决问题

问题2在某地的一条大河中，水流速度记为v0，摆渡船的自身航速记为v1，而摆渡船的实际航速记为v2．

图2

(1)已知水流速度v0与船的自身航速v1(图2)，求船的实际航速v2．

(2)已知水流速度v0与船的实际航速v2(图3)，求船的自身航速v1．

图3 图4

(3)已知船的自身航速v1与船的实际航速v2(图4)，求水流速度v0．

设计意图承接问题1，围绕学生提出的三个小问题，探究向量减法的运算法则，问题(1)帮助学生复习向量加法的平行四边形法则和三角形法则，学生基于加法法则运用逆向思维可以解决问题(2)(3)．该情境问题在数学知识维度上，需要向量加法与向量减法多个知识点，且向量减法知识需要以向量加法知识为基础探究得出；在情境维度上，(2)(3)是学生自主提出的新问题，问题的解决既需要应用逆运算关系，也需要运用向量的加法运算法则以及一些平面几何知识，比如，已知平行四边形的一条对角线和一条边，如何画出这个平行四边形等，故属于“知识迁移”型情境问题．

教学导引学生分别使用平行四边形法则和三角形法则画出问题(1)中的和向量v2(图5、图7)，教师快速检测学生旧知的掌握情况，并做简单复习．在解决问题(2)的过程中，基础不牢的学生可能会无所适从，教师基于此给出提示：在问题(1)利用平行四边形法则作和向量的过程中，v0，v1和v2最终构成了一个平行四边形，v0和v1为平行四边形的两条边，v2为平行四边形的对角线(图5)．学生关联问题(1)(2)，可以发现问题(2)中的v0，v1和v2也可以构成一个平行四边形(图6)，且与问题(1)中的图形为全等图形．此时就将已知v0，v2求解v1的问题转化为已知一个平行四边形的一边和对角线，求另一条边的问题．在上述过程中，学生可以得到两向量共起点时，差向量的作法——向量减法的平行四边形法则，即以被减向量为对角线，减向量为边构造平行四边形，差向量为另一边所在的有向线段．

图5 图6

再以问题(1)中的三角形法则为基础，引导学生探究问题(2)向量减法的三角形法则(图7)．学生有了平行四边形法则的探究经验，不难发现问题(1)(2)中的v0，v1和v2可以构成两个全等的三角形(图7与图8)，此时的v0，v1和v2为三角形的三条边，最终又转化为“知二求一”的问题．在上述过程中，学生可以得到两向量共起点时，差向量的另一种作法——向量减法的三角形法则，即以被减向量和减向量为边构造三角形，差向量为减向量终点指向被减向量终点的向量．

图7 图8

探究活动结束，教师指出向量减法的三角形法则也是向量减法的几何意义，并由学生进行自主归纳，教师完善补充：将a和b共起点时，a-b可以表示从b的终点指向a的终点的向量．在此过程中，学生能够利用关联的情境提出问题，通过关联向量的加法运算法则，找到同起点情况下作差向量的两种方法，并归纳总结出向量减法的几何意义，有利于逻辑推理素养(水平二)的培育．

2.3 变化情境深入挖掘

变式1 在某地的一条大河中，水流速度记为v0，摆渡船的实际航速记为v2(|v2|>|v0|)，若此时的船顺流(图9)或者逆流(图10)航行，请画出船的自身航速v1．

图9 图10

设计意图该情境问题是对问题2第(2)问的特殊化，目的是检验通过探究得到的两向量共起点时差向量的两种作法的适用性，巩固学生对两种方法的掌握．学生动手操作后可以发现两种情形均无法构建平行四边形，体会平行四边形法则的局限性．而这两种情形虽然也无法构造三角形，但是可以根据三角形法则所蕴含的向量减法的几何意义求解问题(图11、图12)，这也体现了三角形法则的适用范围更为广泛．在数学知识维度上，该情境问题是对向量减法中差向量作法的简单应用；在情境维度上，该情境问题是对问题2的特殊化，问题中三个速度的数学关系也较为明显，故属于“知识理解”型情境问题．

图11 图12

图13

变式1′ 在某地的一条大河中，水流速度记为v0，摆渡船的实际航速记为v2，v2=0，即此时的船与水面保持相对静止(图13)，请画出此时船的自身航速v1，并观察v1和v0的关系．

设计意图该问题是对变式1的特殊化，此时的被减向量为零向量，学生仍可以利用三角形法则快速地作出差向量v1．

引导学生观察v1和v0之间的关系，得出v1和v0方向相反、大小相等(图14与图15)，从而自主生成相反向量的定义：与向量a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a．因此v0和v1互为相反向量，为之后用相反向量定义向量的减法作铺垫．在数学知识维度上，该情境问题涉及了新概念“相反向量”的生成，并要求学生通过探究，提出新的“向量的减法”的定义，属于“知识创新”层面；在情境维度上，该情境问题是对变式1的特殊化，仍是学生熟悉的渡船情境，属于“知识理解”层面．这也说明并非每一道情境问题的两个维度都必须在同一水平．

图14 图15

教学导引学生根据题意作出v1,比较容易总结出v1和v0方向相反、大小相等，得到相反向量的概念．接着引导学生利用“相反向量”探究新的向量减法的定义．学生根据向量减法的字母表示得到v1=0-v0，根据向量的加法有v1=0+v1，所以有0-v0=0+v1，而v0和v1又互为相反向量，在上述的列式推导过程中，得出结论：零向量减去一个向量等于零向量加上这个向量的相反向量．教师引导学生猜想，并利用之前的例题探究这一结论推广到任意向量是否适用，并得出结论：a减去b等于a加上b的相反向量．从而利用相反向量定义向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算叫做向量的减法．学生根据这一定义方法又得到了一种新的作差向量的方法，即利用相反向量与向量的加法法则．在此过程中，对学生的抽象和推理能力要求较高，学生通过特殊到一般的探究，利用相反向量定义向量的减法，有利于数学抽象素养(水平一)和逻辑推理素养(水平三)的培育．

3 总结与思考

核心素养视角下的课堂教学，要求教师重视情境问题的教学模式，这也是当前新课改的重要方向．问题是数学的心脏，思考是数学活动的主线[4]，实际的情境问题能调动学生的学习兴趣，使学生体会到数学学习的必要性．[5]在本课例中，通过设置渡船主题情境，巧妙地将抽象的向量知识具体化、实际化，始终贯彻在解决情境问题的过程中生成知识的理念，帮助学生掌握向量的减法运算，得到多种作差向量的方法，同时还培养了学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养．由于向量知识本身与现实情境的联系非常密切，也只有在解决实际问题时，向量的价值才会最大化．围绕知识理解、知识迁移和知识创新三个层次创设主题情境下的问题串，引导学生独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法,实现动眼、动手、动脑有机结合．鼓励学生创新思考，加强数学实践，发展学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯[6]．

值得注意的是，主题情境与问题串都不是凭空产生的，其创设也要遵循诸多原则[7]，例如，(1)“数学关联性”原则，杜绝为设置情境而设置情境，本课例中的渡船情境与向量问题关系紧密，情境中的“数学味”浓厚，所有问题的答案均与情境问题相关联；(2)“贴近学生现实”原则，与学生的认知相匹配，本课例中使用学生熟悉的渡船问题作为主题情境贯穿教学，是基于学生视角的情境问题设置；(3)“整体性原则”，发挥主题情境的多维作用，本课例通过渡船这一主题情境的问题串设置，完成了多方面的教学任务(向量的减法运算、向量的减法作图、相反向量的定义)，利用渡船情境的多维作用共同激发学生的学习兴趣．

最后，在情境创设完成后，教师还要不断地引导学生，使学生真正进入情境问题，在此过程中发展学生的数学核心素养，真正地让学生做到会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界[8]．