数学运算素养视角下高中生思维敏捷性的培养策略

唐 蕾 唐笑敏

(湖州师范学院教师教育学院 313000)

1 引言

数学是一门高度形式化、抽象性和精准性的学科，同时也具有广泛的应用性，所以数学教学应该深入到学生的数学能力和思维方式层面．数学学科的核心素养和思维品质之间有着密切联系，两者的培养和发展是相辅相成的．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现[1]，反映了学生数学学习所需的六种关键能力[2]．数学思维品质是数学思维活动中个体差异性的体现[3]，即数学思维水平、关键能力的差异，同时也能体现出学生数学学科核心素养发展水平的差异[4]．数学思维是学生分析、理解数学现象，解决数学问题的着力点，以课堂教学为平台来培养学生的数学思维，本质上也是从思维层面系统而完整地发展学生数学学科核心素养[5]．因此，在教学中可以将思维品质作为突破口，通过培养和塑造学生良好的数学思维品质，来发展学生的数学素养．

在课堂教学和平时练习中，教师和学生往往容易轻视存在于运算中的阻碍，但“不会算”和“算不对”通常是导致学生最终无法解决问题的关键因素．数学运算素养的发展并不是简单机械的技能训练，而是运算技能和逻辑思维的有效整合[6]，所以在发展学生数学运算素养的过程中不能忽略思维的作用，其中最为关键和直接的就是思维敏捷性．

2 数学运算素养与思维敏捷性

图1

数学运算可以用于解决各类数学问题．高中阶段的运算过程远不是加减乘除那样简单，它涉及到知识的综合运用、数据处理的方法和严谨的科学精神等，学生在经历了这一系列数学化的活动之后所积淀和升华的产物就是数学运算素养[7]．目前数学教育将其界定为在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[1]．数学运算主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和求得运算结果．思维敏捷性是指在思维过程具有减缩性、快速性的同时，也要能够保证思维结果的准确性．它不仅是对思维速度的衡量，也是对思维效度的要求，并能够在数学运算中起到至关重要的推动作用(图1)．

2.1 理解运算对象：捕捉关键信息

理解运算对象是运算的基础，即明确在问题中需要对谁进行运算，包括了解运算对象的背景、理解运算对象的本质、掌握相关数学思想以及具有关联性的概念等．高中阶段数学运算对象不仅类型多，而且难以理解，更需要学生反应迅速，“数感”灵敏，抓住问题的关键，才能理解为什么要这样做．

有时候学生无法解得正确答案，不是因为没有解题思路，而是对运算对象内涵的理解出现偏差，浮于表面．例如，若存在大于零的常数T，使得函数y=f(x)满足f(2x+T)=f(2x)，求函数y=f(2x)的一个正周期．许多学生的答案是T，出现这样错误的原因在于没有真正理解周期函数的定义．教材对周期函数的定义为“对函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)称作周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．”这里的关键信息是x，即它所代表的自变量．思维敏捷性较强的学生能够敏锐地发现这一要点，在处理函数y=f(2x)时，依然能够确保自变量为x，而非2x．

2.2 掌握运算法则：及时反思内化

运算法则是数学运算的根本，决定运算过程的繁简和结果的正误．数学运算法则的表达形式和使用方式并非一成不变，不能生搬硬套，所以应当让学生领会其本质，在充分理解和掌握的基础上灵活应用．思维敏捷性较好的学生会及时反思，这对学习主体深化认知是非常重要的，并且能将反思结果付诸于实践，以达到调节控制的目的．反思的过程并不会暂缓思考的进程，反而会使得思路更加畅通．

2.3 探究运算思路：锁定最佳方案

运算思路是运算操作的指示图，本身应当具备逻辑性．普通高中数学课程标准强调运算思路的重要性，并将其与程序思想相结合，进一步发展学生的数学运算素养，要求能够设计、理解运算程序，并运用程序思想理解和表达问题．

当前教学由于时间所限，通常会采用“包办”式教学模式，导致大多数学生的运算思路受到限制，缺少自主探究的机会．思维敏捷性可以帮助学生在遇到问题时，将与问题有关的数字信息自动联结，激发学生的创新思维，形成通畅的思维“通道”，甚至是非常规的路．这不仅可以避免思路的停滞不前，还省去繁琐的逻辑推理过程，从而保证思维快速、高效运转．例如，求解方程tanx+ cotx=1.5，可以绕过繁琐的三角函数之间的转换与计算，而从等式本身的矛盾出发解决问题．因为tanx和cotx在定义域内互为倒数，而一个正数与其倒数之和不小于2，一个负数与其倒数之和不大于-2，所以tanx+cotx=1.5无解，从而省去复杂的计算过程．

2.4 求得运算结果：综合能力素养

数学运算的最终目的是得到准确结果，这需要多方因素的合力促成．所以数学运算素养是一种综合性素养，其内在是知识、能力、思维以及情感态度的综合体，而外在又以其他素养为依托．例如，可以通过数据分析或数学建模对问题中的运算对象进行分析，在设计运算思路时必然会用到逻辑推理等．同样，思维敏捷性并不完全独立存在，而是以其他思维品质为必要前提，也是其他思维品质高度发展的体现．例如，思维深刻性和广阔性为思维活动能够触及到的目标问题拓展了空间，批判性体现了思维活动较强的自我认识和监控能力，灵活性和批判性使学生在拥有广阔思维方向的同时又能筛选出新颖的最佳方案．在整个思维活动过程中，由于这些思维品质的共同作用，思维的减缩性、快速性和准确性得以体现，所以思维敏捷性也并不表现为一个独立的过程[4]．因此，思维敏捷性可以帮助调动和协调运算过程所需的多种因素，以得到最终准确的结果．

例如，在求sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°的值时，通过观察和简单尝试可以发现已知的特殊三角函数值并不能直接解决这一问题，关键在于度数的变化，需利用二倍角公式、和差化积公式等探寻原式的内涵关系．

在解题过程中，学生要拥有足够的知识储备，熟悉此类题型的解题技巧以及较强的运算能力，通过敏捷性灵活调控，完成解题过程．

3 培养策略

3.1 思维起点：加快思维启动速度

运用数学运算解决问题要从搜集和整合信息开始，一方面要在问题中寻找突破口，另一方面要在大脑中提取相关内容．学生对问题信息的反应速度是体现思维敏捷性的重要标志．要使学生的思维在面对众多信息时能够快速启动，这需要培养学生抓住关键、提纲挈领的能力．

首先，关键信息是反映数量关系的“纽带”，是解决问题的突破口．面对问题时，学生的思维要“轻装上阵”，精简思绪，集中注意力于关键信息．教师可以引导学生养成勾画关键信息、人为突出重点的习惯，也可以利用数形结合或构建数量图表的方式，直观反映数量之间的关系．其次，要想做到快速提取，就要优化学生的知识存储结构，在教学中要有意识地指导学生用结构图、思维导图、程序图以及表格等多种形式来对所学的知识进行系统的整理，使知识结构化、网络化、系统化[8]．这不仅要注意知识之间的内在联系，还要把握知识之间的层次逻辑关系，并给知识网络留下延伸的空间．例如，求解数列求和问题的一般方式是通过变形，转化成等差数列或等比数列的求和问题，或转化为其他常见的、已知公式的数列问题．最基本的方法就是直接利用公式求和，还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法等．在教学中，教师要让学生理解这些方法的本质和特性以及这些方法间的联系，在解决问题中善于总结所用方法，并在实践与解决问题的过程中探索新方法．

3.2 思维路径：开辟思维多向通道

学生反应迟钝，解决问题缓慢，常常表现在对问题无从下手、思维局限、没有思考的方向．学生有“法”可循，有“路”可行，方有敏捷性可言．选择一条正确合适的思维路径，一是需要有创新意识，没有一种方法是可以一劳永逸解决所有问题的．例如，通过一题多解的训练，可以开拓学生的思路，教师在教学中可以给学生预留部分空间和时间，让学生自主探究和生成，激发学生创造性解决问题的能力．二是需要在思考过程中做出判断，及时调整策略，通过反思不断优化思维过程．反思监控是一种思维能力，更是一种情感态度，让学生养成监控运算过程的习惯，不仅能有效提高学生的思维敏捷性，更能帮助学生形成严谨求实、一丝不苟的科学精神．

例如，设(x2-x+1)6=a12x12+a11x11+…+a1x+a0，求a12+a10+…+a2+a0的值．观察题目信息，直接将(x2-x+1)6展开，按要求进行计算可得到答案，但计算量、计算难度和式子的复杂程度对学生的能力都是极大考验，并不能称之为最佳方法．在“算不下去”的情况下，引导学生思考所给等式左右两端有什么特点？能否给x赋予特殊的值，使式子变得简单？撇开之前的方法，开启新的思路，不难发现所要求的式子是以和的形式出现的偶数次幂的项的系数，可以将其看作一个整体来求值，没有必要得出各自的值再相加，依据条件，通过给x赋特殊的值，可以得到a12,…,a0的不同的等量关系．

3.3 思维进程：缩短思维运转时间

思维过程通常会出现许多转换点，影响思维进程快慢曲折的关键就是这些转换点．在数学活动中思维敏捷性表现为能缩短运算环节和推理过程，“直接”得出结果．这一方面体现在学生思维的熟练程度上，另一方面体现在学生的概括能力上．

思维定向训练不等同于形成思维定势．它通过训练让学生在遇到问题时善于思考，并能够将过程中的要点进行分析，整理已知条件，尽快形成明确的解题思路，以提升学生解决问题的熟练程度．思维定向训练犹如航行中的地图，让学生预先了解在这段思维进程中，哪里有“弯道”，哪里有“陷阱”，哪里有“捷径”，从而略过简单机械的步骤，避免可能出现的错误，缩短思维运转时间．例如，求解排列组合应用问题的基本思想是先对问题分类，然后在每一类中分步，根据分步乘法计数原理，计算各类的数目，最后根据分类加法计数原理计算总数目．对较为复杂的排列组合题目，要对问题进行分解，应用加法原理或乘法原理来解决，一般遵循“先组合后排列”的原则．

4 总结

在数学学习过程中，学生主要依靠数学思维来思考和解决问题．数学思维品质就是思维主体在数学活动中所表现出的个性差异．因而个体的思维品质必然会影响到个体本身数学素养的发展．在这种情况下，可以通过对学生思维品质的培养，达到促进数学学科核心素养发展的目的．数学运算是数学活动不可或缺的重要组成部分，思维敏捷性助力于数学运算素养的发展，在理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果等环节中起到了重要作用．为了培养学生思维的敏捷性，需要遵循思维展开的过程，从思维起点、路径和进程入手，有针对性地进行训练，使思维达到快速、减缩、准确的要求．无论是素养的发展还是思维的培养都是一个长期的过程，都需教师细心栽培，培养学生良好的数学思维品质，为学生的全面发展打下坚实的基础．