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合理拆分思路通 变式推广规律明
——对2022年一道奥林匹克不等式题的探究

2022-11-14

中学数学杂志 2022年8期
关键词:竞赛题单项式分式

朱 斌

(南京师范大学第二附属高级中学 320900)

1 赛题与证明

2022年第48届俄罗斯数学奥林匹克联邦区域竞赛中有一道不等式试题:

不等式①是一个分式不等式,每个分式项的分子都是一个三次单项式,分母含有三项,前面一项是一个二次单项式,后面两项都是一次单项式.分子、分母中都含有相同的变量.由此入手进行拆项处理,则可打开解题思路.

点评如果按照不等式①的结构联想到柯西不等式,将不等式①转化为

2 变式与推广

在变式1和变式2的基础上,可以将上述竞赛题作如下推广:

推广1设a,b,c,d为非负实数,有a+b+c+d=8,n∈N*,证明:

证法类似,留给读者完成.

如果改变已知条件中的等式,那么用同样的方法可以证明:

推广2设a,b,c,d为非负实数,有a+b+c+d=4k,k>0,n∈N*,证明:

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