合理拆分思路通 变式推广规律明——对2022年一道奥林匹克不等式题的探究

朱 斌

(南京师范大学第二附属高级中学 320900)

1 赛题与证明

2022年第48届俄罗斯数学奥林匹克联邦区域竞赛中有一道不等式试题：

不等式①是一个分式不等式，每个分式项的分子都是一个三次单项式，分母含有三项，前面一项是一个二次单项式，后面两项都是一次单项式.分子、分母中都含有相同的变量.由此入手进行拆项处理，则可打开解题思路．

点评如果按照不等式①的结构联想到柯西不等式，将不等式①转化为

2 变式与推广

在变式1和变式2的基础上，可以将上述竞赛题作如下推广：

推广1设a,b,c,d为非负实数，有a+b+c+d=8，n∈N*，证明：

证法类似，留给读者完成．

如果改变已知条件中的等式，那么用同样的方法可以证明：

推广2设a,b,c,d为非负实数，有a+b+c+d=4k，k>0，n∈N*，证明：