斯坦纳-莱莫定理的λ-推广

孙四周

(江苏省苏州市吴江盛泽中学 215228)

初等几何中有个名气非常响的定理——斯坦纳-莱莫(Steiner-Lehmer)定理[1]，内容如下：

如果一个三角形的两条内角平分线相等，则该三角形是等腰三角形.

欧几里得将该结论作为定理收入了《几何原本》，对于其证明却只字未提.直到1840年经莱莫(C.L.Lehmus)重新提起，斯坦纳(J.Steiner)首先给出了证明，引起了数学界极大反响，从此而被称为“斯坦纳-莱莫定理”.此后百余年，全世界的各种杂志上经常可以看到论证这个定理的文章，至今已有接近百种证明.1980年，美国《数学教师》月刊还登载了这个定理的研究现状.这个定理能够保持如此持久的热度，主要是因为它符合“著名定理”的特征，比如：表述非常简单，结论看似显然而证明却往往涉及更深刻的内容.

有趣的是，2012年文[2]用中国古人所擅长的“割补求积法”在不添加任何辅助线的情况下，给出一个简洁(也可以说是“中国化”)的证明.并引申出13个定理，拓宽了它的应用.本文将向另一个方向出发，首先把“角平分线”换成“三等分角线”，进而给出任意等分角的推广(本文中单字母表示角时意义如下：A=∠BAC,B=∠ABC,C=∠BCA).

1 三等分角的Steiner-Lehmer定理

图1

证明由S△ABD+S△ACD=S△BAE+S△BCE知，

如果A>B,则①式左边为正，右边为负；如果A

类似地,对于三等分角的另外一条分角线，Steiner-Lehmer定理也成立.即

证明同上,略.

如果改成“四等分角”“五等分角”……“n等分角”，是否还成立呢？经研究发现，结论是肯定的.事实上我们有更一般的推广.

2 Steiner-Lehmer定理的λ-推广

图2

定理3△ABC中，D,E分别是边CB,CA上的点，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),则AD=BE的充要条件是CA=CB.

此定理的证明比较繁琐,为了体现其层次性和关键技巧,我们先证下面的两个引理，再将证明逐渐展开.

引理1若λ∈(0,1)，A，B是△ABC的内角，则A>B的充要条件是sinλA>sinλB.

证明只要证明当x∈(0,π)时，f′(x)>0恒成立即可.

记g(x)=sinλx-λsinx，则g′(x)=λcosλx-λcosx=λ(cosλx-cosx)，因为0<λxcosx.故g′(x)>0恒成立，即g(x)在(0,π)上递增.又g(0)=0，故当x∈(0,π)时，g(x)>0.从而知f′(x)>0恒成立，即知f(x)在(0,π)上单调递增.证毕.

定理3的证明

由引理1，2知,若A>B,则上式左边为正,右边为负,矛盾;若A

3 Steiner-Lehmer定理的等价形式

图3

在定理3中，研究线段AD与BE的交点S(图3)，以及由此产生的线段SA和SB，也是一个很有意义的课题，并且可以得到一系列有价值的结果.

定理4△ABC中，D,E分别是边CB,CA上的点，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),AD,BE的交点是S,则SA=SB的充要条件是AD=BE.

证明一方面，在△ABS中，SA=SB⟺λA=λB⟺A=B.另一方面，△ABC中，AD=BE⟺A=B(定理3).综合即知SA=SB⟺AD=BE.证毕.

综合定理2和定理4，立刻知：

定理5△ABC中，D,E分别是边CB,CA上的点，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),AD,BE的交点是S,则SA=SB的充要条件是CA=CB.

定理6△ABC的内角平分线AD,BE的交点是S,若SA=SB,则CA=CB(图3).

按照定理6的构图原则，我们构造更具一般意义的图形，可得：

图4

根据欧几里得第五公设知，射线AC′与BC′的交点C′在C的同侧.

(1)如果0<λ<1，则C′在△ABC的内部，即为定理5，已证;

(2)如果λ=1，则C′与C重合，显然;