顺“思”而为 借“思”而上
——三个数学案例的实录、评析和思考*
2022-11-14章祥俊江苏省苏州吴县中学215129
章祥俊 (江苏省苏州吴县中学 215129)
近年来，数学课堂的变化是巨大的，课堂教学过程中的问题驱动、活动引领、任务驱动、项目学习、单元设计等已经成为趋势．课堂教学中，以学生为中心，关注学生动手实践、自主探究、合作交流、问题解决等已经成为常态．课堂教学中，我们应更多地关注学生的自主空间，关注学生的主动学习，关注学生的主体意识，实现学生的自我价值，激发学生的学习动力，顺势而为，借思而上，引导学生深度思考，促进学生学会学习．本文拟结合三个案例具体谈一谈．
1 顺“思”而为，引发自主探究，促进学生主动学习
案例1
求函数f
(x
)=x
-2x
-3，x
∈R
的最小值．生：因为f
(x
)=x
-2x
-3=(x
-1)-4，所以函数f
(x
)的最小值为f
(1)=-4．设计问题 以二次函数为背景，请你命制一道求函数最值的题目．
生1：求函数f
(x
)=x
-2x
-3，x
∈[2,3]的最小值．生2：求函数f
(x
)=x
-2x
-3，x
∈(2,3)的最小值．生3：求函数f
(x
)=x
-2x
-a
，x
∈[2,3]，a
∈R
的最小值．生4：求函数f
(x
)=x
-ax
-3，x
∈[2,3]，a
∈R
的最小值．生5：求函数f
(x
)=ax
-2x
-3，x
∈[2,3]，a
∈R
的最小值．生6：求函数f
(x
)=x
-2x
-3，x
∈[a
-1,a
+1]，a
∈R
的最小值．生7：求函数f
(x
)=ax
-2ax
-3，x
∈[2,3]，a
∈R
的最小值．生8：求函数f
(x
)=ax
-bx
+c
，x
∈[m
,n
]，a
,b
,c
,m
,n
∈R
的最小值．评析和思考
以二次函数为背景的函数最值问题是高一数学学习中一个重点内容．教师在进行教学设计时，将预设的题目变为引导学生自行研究、小组讨论、解题和归纳的开放题，让学生自己命制求函数最值的题目，顺着第一个学生的思维，组织学生进行自编活动，共编制出8个变式题.通过这样顺“思”而为的活动引导学生主动思考与探究，思维层层递进，将二次函数从“定轴定区间”的研究自然深入到“动轴定区间”“定轴动区间”“动轴动区间”的研究．在这样的过程中，学生的思维因问题的开放性和探究性而激活，教学效果必然好很多，同时，这样处理极大地调动了学生的积极性和主动性．从培养学生数学观念的角度看，这样的过程可以培养学生在一定的数学情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从特殊到一般的活动经验、从静止到变化的函数思想方法，养成在日常学习和实践中从一般性角度思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁，运用数学思维思考并解决问题．顺“思”而为激发了学生的主动学习，实现了学生的思维升华，提升了学生核心素养发展，促进了学生的主动学习．2 借“思”而上，探究知识本质，促进学生乐于学习
案例2
等比数列前n
项和S
=a
+a
q
+a
q
+…+a
q
-1公式的推导．生1：提取公因数a
．生2：倒序加？倒序乘？
生3：特殊化，令S
=1+2+2+…+2-1，猜想S
=q
-1．生4：令S
=1+3+3+…+3-1，那么刚才的猜想不成立，应猜想生5：令S
=1+4+4+…+4-1，那么刚才的猜想也不成立，应猜想生6：当公比为q
时，应该是此时公比应该不能是1．生7：要证即证S
(q
-1)=q
-1，也就是证qS
-S
=q
-1．此时因为qS
=q
+q
+q
+…+q
，S
=1+q
+q
+…+q
-1，两式相减即可证得．又因为首项为a
，所以评析和思考
很多教师在推导等比数列前n
项和公式时将“错位相减法”硬塞给学生，学生表面上听懂了，但他们心中的“惑”由谁人来解？学生是在多次操练下似懂非懂地练“会”了，这是真的会了吗？他们理解为什么这样推导吗？学生对错位相减法的道理感觉云里雾里，整个学习处于被动的状态．在讲授该内容时，笔者曾遇到这样的情景：先问学生如何进行推导，得到的回复是“我不会”，也有回答“错位相减法”的、再追问时得到的回答是“课本上就是这样”，然后顺着学生的回答讲授该方法，学生也就被动地听之．直到两年前，同样讲授该内容时，遇到一个“固执”的学生追问“为何如此推导”，且有不达目的不罢休之势，借着这位学生的“思”引导全班学生共同思考、探究，把顺势和借思的时间给足学生，终得上述案例2．
笔者曾做过多次调查，让高三的学生证明课本中一些定理、公式时，能证明或推导出的学生寥寥无几．课程改革致力于培养学生的核心素养、关键能力和终身学习的学习力，其出发点和根本目的是完全正确的，但是在教学实践中很多教师还是“新瓶装旧酒”，教学中仅仅关注“是什么”而忽视“为什么”，这不得不令人深思．实际教学中，我们完全可以把课堂真正让给学生，把思考的时间和机会留给学生，让学生借“思”而上.通过自己的理解和与同伴的交流讨论，学生一定能理解“错位相减法”的本质，其学习的兴趣也就自然被激发出来了．
3 因“思”利导，提升思维品质，促进学生深度学习
案例3
已知正实数a
,b
满足求3a
+2b
的最小值．生1：消元法，所以只是继续处理有难度，应该有更好的思路解决这道题目．我再想一想．
生2：换元法，令m
=a
+b
>0，n
=a
-b
>0，题目转化为：已知求的最小值．而拆开后用基本不等式解决，3a
+2b
的最小值为生3：这个思路很好，但取不到等号，所以3a
+2b
的最小值肯定不是生4：令则由f
(x
)=在(1,+∞)上递增，解得f
(x
)=f
(1)=6，所以3a
+2b
的最小值为6．生5：也不对！因为当x
=1时，m
=n
，即a
+b
=a
-b
，于是b
=0，与已知条件矛盾．生6：可以借助图象解释原因可以转化为(a
-1)-b
=1(a
,b
>0)，对应的图象为双曲线在第一象限的部分，所以a
=1不可能成立．我认为本题没有最小值．生7：可以将题目改为求3a
+2b
的取值范围．生8：也可以改为：已知正实数a
,b
满足求3a
-2b
的最小值．利用线性规划，在直线与双曲线(第一象限)相切时取得最值．评析和思考
在该案例中，从高考常考的多元最值问题出发，引导学生对问题进行多维的探究与反思，思维在交流碰撞中提升，真正理解了问题的处理方法．学生经历由通性通法研究到错误引发的思维过程，再到找到原因、变式研究，有效地巩固了数学知识、训练了解题方法、提升了解题技能、渗透了数学思想方法、提高了探究能力，这就是培养学生核心素养和关键能力的有效途径．高中数学知识方法千万条，但数学理解是第一条．课堂教学应立足于学生的“最近发展区”，以学生的眼光组织开展数学教学，最大限度地促使学生学会数学思考，提高数学思维的参与度．4 结语
在课堂教学中，我们不能只“授业”，而不“解惑”；不能只训练方法，而忽视能力的提升；不能只关注远方，而忽略了脚下行走的路；不能只关注“正确的”，还要多关注那些“错误的”；不能“硬塞给”学生，而应该吸引他们“过来拿”；不能将“台阶”都铺设好，而应该让学生自己搭建阶梯；不能只关注课前预设，更需要注重课堂生成，顺“思”而为，借“思”而上，因“思”利导，真正促进学生学会学习．
