有限温度影响下光子计数分布的解析演化

孟祥国,吴孟艳,刘业欣

(聊城大学 物理科学与信息工程学院、山东省光通信科学与技术重点实验室,山东 聊城 252059)

0 引言

目前,量子退相干是量子信息和量子计算中普遍存在的本质问题,并给相关信息技术的发展和应用带来了很大困扰。因此,量子光场的退相干问题已成为物理学家一个重要的研究热点。

在相互作用表象下,开放系统的量子退相干效应可用系统的约化密度算符满足的量子主方程进行描述。在已有的文献[1-4]中,一般通过求解密度算符的P-表示或维格纳函数满足的福克-普朗克方程来分析系统的退相干演化规律。与以往的方法不同,基于热场动力学理论,范洪义教授引入了一种描述系统与其周围环境相互作用的热场纠缠态表象(系统作为实模,与系统有相互作用的环境作为虚模),由此推导出了实、虚模算符满足的算符恒等式及其互换关系,并将关于密度算符的量子主方程转化为相应态矢量满足的方程,从而成功求解了一系列描述系统发生退相干演化的量子主方程并给出了其解析解的不同表示[5,6]。

在光学理论中,热通道噪声是引起退相干的重要来源,因此热噪声影响下量子态的演化及其退相干问题备受关注。目前,对于热通道,其研究主要集中在热噪声影响下量子态的非经典性质、魏格纳函数及其在量子信息中的具体应用等方面[7-9]。而对于量子态的光子计数分布,主要讨论了它们在一些简单的退相干通道(如相位阻尼、振幅衰减等)中的演化规律[10],推广至更为一般情况。本文利用热场纠缠态表象理论以及算符排序法,推导出光子计数分布在热通道中的解析演化公式,进而探查系统在热通道中的退相干行为。

1 热场纠缠态表象

为了准确描述量子系统和外界热环境之间发生的相互纠缠,类似于建立物理空间中连续变量纠缠态|η〉和|ζ〉表象[9],这里引进一个新的连续变量纠缠态表象——热场纠缠态表象。在双模福克空间中,热纠缠态|ω〉表示为[5,6]

式中D(ω)＝exp(ωa†-ω*a)为平移算符,参量ω为复数,为与真实的光子产生算符a†相伴而生的虚模的产生算符,而˜a能湮灭〉且满足对易关系和。利用有序算符内积分法可证明,为算符和的本征态,即

且拥有正交归一性

和完备性

2 描述有限温度模型的密度算符主方程的解

对于系统与环境相互作用的开放系统,热噪声总是与基本的力学过程相伴随的,从而使得热噪声成为了引起系统非经典性衰退的重要原因。理论上,在Born-Markov近似下,描述有限温度模型的密度算符主方程表示为[11]

式中κ为衰减常数,为平均热光子数。特殊地,当且κ为有限值时,意味着真实物理系统的环境温度趋近于零。因此,式(6)退化为描述振幅衰减通道的量子主方程,即

它代表能量从系统向零温环境进行传输。

为求解描述有限温度模型的密度算符主方程(6),我们将充分利用热场纠缠态下的实、虚模玻色算符的互换关系(5)。将式(6)两边作用到态矢量上,利用式(5)并令,可得

取ρ0为初始时刻的密度算符,ρ0|ω＝0〉≡|ρ0〉,则方程(8)解的标准形式为

为求解式(9),注意到

将式(10)代入到式(9),并利用对易关系

和算符恒等式

式中算符A,B满足等式[A,B]＝τB,可得

利用算符恒等式

可将式(15)改写为

或者

式中M i,j为有限温度下演化密度算符ρt所对应的克劳斯算符

式(19)代表初始态的密度算符ρ0如何演化为终态ρt。因此,在ρ0已知的情况下,很容易导出任意时刻t的演化密度算符ρt。特殊地,当且κ为有限值时,由于,T3＝1,则式(19)简化为振幅衰减通道中密度算符ρt的无限维算符和表示

式中

下面证明克劳斯算符M i,j的归一化。利用Glauber算符公式,式中算符A,B满足,可导出

另外,通过比较

和

可导出算符恒等式

这样,利用式(24)和(27)可得

进一步,利用拉盖尔多项式Lm(xy)与双变量埃尔米特多项式Hm,m(x,y)之间的关系式

以及拉盖尔多项式Lm(x)的产生函数

可得到

再考虑到式(18),这样就验证了克劳斯算符的归一化条件

此式能导致trρt＝trρ0成立,这说明克劳斯算符M i,j是一个保迹的量子操作。

3 热通道中光子计数分布的时间演化

本小节根据式(19)中演化密度算符ρt的无限维算符和表示,并利用算符排序法,可推导出任意初始密度算符ρ0的光子计数分布在热通道中随时间t的演化规律。

3.1 光子计数分布的反正规乘积表示

为了推导出热通道中光子计数分布的解析演化表达式,利用反正规乘积公式[12,13]

进一步,利用数学积分公式

这样,把式(36)代入计算光子计数分布的基本公式

这里参数ξ被称为量子检测效率,即时间间隔T内单光子被检测到的几率,可得到光子计数分布的反正规乘积表示

它是量子光学计数分布的新表达式,能为计算一些量子态(如相干态)的光子计数分布及其在退相干环境中的演化提供方便。

3.2 光子计数分布在热通道中的解析演化

现在利用式(38)来考察任意态ρ0的光子计数分布在热环境中的退相干演化规律。为了方便计算,把光子计数分布的解析演化规律表示为

式中

进一步,利用恒等式

可把算符Ο(t)改写为

可给出

进一步,利用式(44)以及数学积分公式[14,15]

可导出算符Ο(t)的正规乘积表示

式中

这样,结合式(39)和式(47),可最终得到有限温度下光子计数分布随时间的演化规律,即

显然,一旦知道初始态的密度算符ρ0,很容易导出此态的光子计数分布在有限温度通道中的演化特性。如,对于相干态,它的光子计数分布在有限温度下随时间的演化公式为

由式(37)和式(51)比较可知,在振幅衰减通道中光子计数分布由衰退的量子效率来控制。此结果能极大简化耗散量子光场光子计数分布的理论研究。

综上,根据连续变量热场纠缠态表象理论,导出了量子系统和环境间的玻色算符互换关系,从而求解了有限温度下系统的密度算符量子主方程,并把其解析解表示为无限维克劳斯算符和的形式。利用光子计数分布的反正规乘积表示,推导出了热噪声影响下光子计数分布的解析演化规律。这些结论能为开放系统退相干行为的理论研究提供一种新的数理处理方法,并为系统光子计数分布的实验研究提供理论参考。