高中数学教学的恒久主线：能力培养

孟军军

江苏省郑集高级中学 221100

高中数学教学的目的是什么，在不同的视角下，可能会有不同的答案.比如在“双基”的视角下，教学的目的就是使学生掌握基础知识与基本技能；在课程改革的背景下，教学的目的就是使学生实现“三维目标”；在核心素养的背景下，教学的目标就是发展学生的核心素养.应当说，从“双基”到三维目标，再到核心素养，反映着我国基础教育目的的变化与升级，反映着对学生成长方向的期待.然而需要注意的是，任何一种教育目标的达成，又都必须以学生的内在发展为核心.那么学生的内在发展是什么呢？笔者以为应当是“能力”.相应地，“能力培养”就应当成为学科教学的主线.自然，高中数学教学也不例外.

纵观近年来的教学改革与课程改革，可以发现随着新课程改革的深入，随着核心素养对此前教学目标的高度概括，今天的高中数学教学已经不能再满足了单纯的知识传授或习题训练，而应当真正实现从知识、能力的发展，向核心素养培育这一目标转变.而这实际上就是引导学生用数学的眼光看问题或事物，用数学的语言描述问题或事物，用数学思想和方法解决问题、理解事物.在具体的教学过程中，教师如何才能帮助学生拥有“用数学的眼睛看，用数学的思维想，用数学的语言说”的能力呢？显然，这必须以能力的培养为支撑［1］.因此可以认为，无论教学目标发生了什么样的变化，能力的培养总是不变的，任何教学目标的达成，都应当是以能力培养为途径的.

能力培养是数学教学的根本要求

客观上，我国高中数学教学的发展是伴随着世界教学改革潮流的，尤其是发达国家的教学思想，给我国基础教育带来了不少有益的启示.比如日本文部科学省在2018年3月31日颁布了新的高中数学学习指导要领.这个指导要领的核心思想，就是培养学生的“数学素质和能力”.借鉴这些教学理念，结合我国高中数学教学的实际，可以形成的基本认识就是高中数学应培养的数学素质和能力主要体现在知识技能的学习，思考力、判断力、表达力的培养等方面［2］.笔者以为，理解数学教学中的能力培养，应先从教学理念中树立起深度认识.

其实在高中数学传统教学中，对能力培养也是高度重视的，只不过在很长的一段时间里，能力都被理解为解题能力，当然现在看来这种理解是狭隘的.既然能力可以理解为思考力、判断力、表达力等，那么在数学教学中，就应当从学生学习某一数学概念或规律、解决某一数学问题或生活问题的过程里，去看学生是如何完成学习的，看学生在学习的过程中是如何思考与判断的，看学生学习后是如何进行表达的.看这一能力养成的过程，可以发现其不仅对应着“双基”，也对应着核心素养.尤其是从核心素养的角度来看，学生在数学学习的过程中进行思考与判断，实际上就涉及数学学科核心素养中的逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析等，而学生的学习结果也常常表现为数学模型——广义上的数学模型不仅包括实物模型，也包括数学概念或规律等，后者可以理解为一种认知模型.因此能力养成的过程，可以让学生顺利地发展数学学科核心素养.基于此，如果说核心素养是学生学习的目标，那么能力培养就是达成这一目标的路径的核心.所以说，能力培养就是数学教学的根本要求.

基于能力培养主线的数学教与学

能力培养是指向实践的，对于教师来说这个实践是指教学实践，对于学生来说这个实践是指建构新知识、解决新问题.考虑到思维能力是数学能力生长的关键所在，因此在高中数学课堂中，作为高中数学教师，需要善于利用数学的魅力，挖掘数学学科中的 “真、善、美”，并以此来激发学生的思维，助推核心素养在高中数学学习中的渗透，促进学生核心素养的落地生根［3］.这里来看一个知识教学的案例.

在“任意角和弧度制”的教学中，教师可以从圆周运动这一常见的周期性变化现象出发，让学生在对类似于此问题的探究中，发展自身的知识建构与问题解决能力，进而奠定数学学科核心素养培育的基础.具体包括以下两个教学环节：

首先，利用圆周运动创设一个情境，并提出相关的问题.创设的情境可以是：如图1所示，圆O上的点P以A为起点，做逆时针方向的旋转，对于这一运动，同学们有怎样的认识？这个问题的设计主要想让学生认识到这一圆周运动是周期性变化的运动.等学生认识到这一点后，教师可以进一步提出问题：如何刻画点P的位置变化？

图1

其次，引导学生在任意角概念形成的基础上，寻找到描述角及其变化的方法.点P在圆周上的运动，直观上可以视作点的运动，而进一步分析则可以看出这也是一个OP与OA夹角发生变化的运动，于是“刻画点P的位置变化”就可以转换为“刻画角的变化”.

认识到这一转换的过程，实际上就是思维加工数学知识的过程，对应着学生思维能力的发展，同时也对应着数学学科核心素养中的直观想象，即几何直观与空间想象.在这里教师可以先借助一些数学规定去帮助学生奠定能力培养的基础，这些数学规定主要是指正角、负角和零角的规定，对于高中生来说，他们很容易理解这一规定.从能力培养的角度来看，结合这一规定，需要让学生形成一个表象，这个表象首先是静态的，即任意一个正角或负角，以及夹在两者之间的零角.然后应当引导学生将这个静态表象转换为动态表象，而这可以依靠学生的想象能力来完成.这个动态表象就是类似于图1中的半径OP的顺时针或者逆时针转动.

当学生大脑中有了动态表象后，另一个主要的教学任务就是将角度制切换为弧度制.这对于不少学生来说是一个不小的挑战，因为学生此前大脑中的角度制已经是根深蒂固了，现在换一种度量角的单位制——弧度制，先要让学生在观念上接受概念，然后才是弧度制的具体学习.根据笔者多年的教学经验，对概念的接受显得更为重要，而这也是一个培养能力的过程.其中的关键是让学生认识到一个圆当中圆心角所对的弧长与半径的比值，只与这个角的大小有关，因此这样的比值可以用来衡量角的大小，采用这种方法，可以描述并解决更多的问题.这样的一种认识的培养，对于学生来说，不仅是对知识的更替，也是一种能力的培养.

能力培养奠定核心素养培育的基础

上面这个例子当中，之所以“舍易求难”，用“弧长与半径的比值”来描述角，一个很重要的原因是从“角”到“弧度”，是一个从“形”到“数”的变化.在教学中，如果学生认同了这一点，那么对弧度制的理解就没有任何问题了；但在实际教学中，很多教师恰恰没有注意到这一点，使得学生在学习的过程中难以完成概念上的转换.说到底，这种转换实际上就是一个能力养成的过程.从数学意义的角度来看，这里体现着数形结合思想；从能力养成的角度来看，由“形”向“数”的转换，不仅体现着数学学科的基本特征，也体现着学生的分析与判断能力、理解与概括能力、生活语言向数学语言转换的能力.与此同时，这些能力养成的过程，又使得学生在学习的过程中可以进行有效的数学抽象、精确的逻辑推理、完整的数学建模，涉及数形结合思想时还可以发展学生的几何直观与空间想象，而这正是数学学科核心素养中的直观想象.

综合来看，在数学教学中重视学生的能力培养，实际上也就奠定了数学学科核心素养培育的基础.可以说能力培养是骨架，核心素养是血肉，两者之间相互依存.从这个角度来看，数学教育应保持数学特色，数学活动应保持与学生认知水平相宜的思维力度，教学与评价应从学生学习的内在机制这一根本角度判断与评价［4］.只有这样，才能让学生能力养成的过程支撑起核心素养发展的过程.