基于LFSDR的恒模赋形方向图综合方法*

王晓东 胡孟凯 窦修全 杜宇峰 苗 峻

（1.陕西省医疗器械质量检验院 西安 710065）（2.中国电子科技集团公司第五十四研究所 石家庄 050081）（3.河北省电磁频谱认知与管控重点实验室 石家庄 050081）

1 引言

数字波束合成具有扫描速度快、瞬时多波束特点，广泛应用于雷达探测中，而随着电子技术以及计算科学的发展，相控阵技术应用越来越广泛，不再局限于军事应用，已经渗透到国计民生的各个方面中，且商业应用范围已经超过军事应用，比如卫星通信、射电天文学、5G移动网络、医疗成像检测等领域[1～3]。随着应用领域范围扩大，不同的应用需求对波束形状、覆盖范围、主瓣旁瓣电平比提出特定的要求，通过方向图综合方法优化的空域加权，使阵列的辐射特性尽量地接近期望方向图。近年来，研究者们已经提出了很多赋形方向图综合算法，比如Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法[4]，粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）[5]，遗传算法（genetic algorithm，GA）[6]，基于凸松弛的优化方法[7～10]等。这些方法都能很好地实现赋形方向图的综合，但都没有考虑激励幅度的控制，使得各阵元的激励幅度可能变化很大，这导致天线阵列的馈电难度更大。为了解决这个问题，一些恒模赋形方向图综合方法被提出[11～12]。Cao等提出了一种基于二阶锥规划（second-order cone programming，SOCP）的恒模方向图综合算法[11]，该方法将非凸的恒模约束松弛为幅度限制约束，但是该方法并不稳定，实际应用中难以保证恒模激励。此外，一种基于交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multiplier，ADMM）的方法被提出[12]，但该方法收敛并不稳定，且需要很多次迭代。

为提升赋形方向图综合算法稳定性、降低算求解复杂度，本文提出了一种基于线性分式半正定松弛技术的恒模赋形方向图综合方法。该方法首先建立了恒模赋形方向图综合的模型，该模型利用阵元激励幅度的比值来表示恒模约束；然后，利用线性分式半正定松弛技术对模型进行等价转换，将约束条件进行松弛，获得一个易于求解的凸优化问题；最后，在获得该凸问题的最优解后，再通过特征值分解获得激励向量。仿真结果表明，该方法可以有效地实现恒模赋形方向图综合，且运算量更小，求解更加稳定。

2 恒模赋形方向图综合模型

为验证算法性能及仿真试验对比效果，本文以一维均匀线阵为例，建立方向图综合仿真模型，一维线阵模型如图1所示，假设阵元数为N，阵元间距为d，则该阵列模型的阵因子为

图1 均匀线阵模型

其中，In和αn分别为各阵元激励的幅度和相位。k=2πλ为波数，λ为波长。

令

则式（1）可改写为矢量表达式：

其中w为激励矢量，a(θ)为导向矢量。

2.1 线性分式半正定松弛技术

2.2 基于线性分式半正定松弛的恒模赋形方向图综合

从推导过程可以看出，本文提出的方法不需要多次迭代，运算量较小，并且松弛处理的过程是确定的，且松弛后得到的凸问题具有唯一最优解，所以该方法求解过程是稳定的，下面将通过仿真试验进行分析，确认该种方法的有效性和鲁棒性。

3 仿真试验

为了验证所提方法的有效性，本文进行了仿真试验，对比了三种方法实现的平顶方向图以及对应的激励幅度，试验参数设置为：波束中心指向90°方向，波束宽度30°，阵元数N=32。所有的仿真试验都在64位计算机上完成，CPU为Intel Core（TM）i5-7500，RAM为4 GB，使用的仿真软件为64位的Matlab R2012b。

图2 基于二阶锥规划的方法实现的平顶方向图及其对应的激励幅度

为充分验证算法的性能，分别对两种方法进行了1000次蒙特卡罗仿真试验，为了便于观察和分析，图3和图4仅展示了其中典型的实现结果。图3（a）为文献[11]中基于二阶锥规划的方法实现的平顶方向图，图3（b）为对应的归一化激励幅度，可以看出该方法实现的方向图并不稳定，且不能保证激励是恒模的。图4为文献[12]中基于交替方向乘子法的方法实现的平顶方向图，由于该方法没有对幅度进行松弛，求解得到的激励能严格满足恒模约束，故在此没有展示其对应的归一化激励幅度。从图4中可以发现，该方法实现的平顶方向图也是不稳定的。为了更直观地说明这一现象，对1000次蒙特卡罗实现的结果进行了统计，能否成功实现恒模激励的样本的统计结果如表1所示，可以发现基于二阶锥规划的方法仅有约1/3的概率能成功实现恒模激励的平顶方向图综合，而基于交替方向乘子法的方法则有约1/2的概率能成功实现恒模激励的平顶方向图综合，这直观地说明了上述两种方法的不稳定性。

图3 基于交替方向乘子法的方法实现的平顶方向图

表1 蒙特卡罗仿真结果统计

相比于上述两种方法，本文提出的方法是稳定的，其对原问题松弛后得到的凸问题具有唯一的最优解，这可以使得每次求解都能收敛到相同的解，因此该方法是稳定的。为了说明该方法的有效性，将上述两种方法最好的结果与该方法进行了对比，如图5所示。图5（a）对比了三种方法实现的平顶方向图，图5（b）对比了对应的归一化幅度，可以发现，上述两种方法实现的最好结果仅与本文方法接近，说明了本文方法能稳定有效地实现恒模激励的平顶方向图综合。

4 结语

针对目前恒模赋形方向图综合算法工程化中存在运算量大、求解不稳定的问题，提出了一种基于线性分式半正定松弛的恒模赋形方向图综合方法，利用阵元激励幅度的比值表示恒模约束，并通过线性分式半正定松弛技术对恒模约束进行松弛，由于该方法的松弛过程是确定的，且松弛后的凸问题具有唯一最优解，因此本方法保证了模型求解的唯一性和求解过程的稳定性。同时针对该方法进行蒙特卡洛试验仿真，仿真结果表明，相比于已有的两种方法，本文方法能将实现恒模激励的平顶方向图综合的概率从1/3和1/2提升至1，且已有的两种方法能达到的最好结果仅与本文方法接近。因此，该方法可以有效地实现恒模赋形方向图综合，且运算量更小，求解更加稳定，具有工程推广价值。