蚊子分阶段疟疾传播模型的后向分支

殷红燕，杨诗祖

（中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074）

疟疾是经雌性按蚊叮咬或输入带有处于感染阶段的疟原虫血液，感染疟原虫所引起的一类虫媒传染病.疟疾对人体的破坏力很强，严重危害身体健康，尤其是恶性疟疾，致死率极高，在非洲地区最为流行.世界各国疟疾防控专家为消除疟疾提出了各种策略.许多学者通过建立微分方程模型来研究疟疾传播，通过对模型的动力学性质进行分析，预测疾病的发展趋势，并找到控制疟疾流行的最优策略［1-9］.特别地，文献［9］考虑到蚊子生长发育过程所经历的不同阶段，将蚊子分为幼虫阶段和成虫阶段，建立了一类蚊子具有阶段结构的疟疾传播模型.

本文在文献［9］的基础上，研究如下蚊子分阶段疟疾传播模型：

其中Nh(t)为t时刻人口的总量，并将其分为易感者类Sh(t)与感染者类Ih(t)，从而Nh(t)=Sh(t)+Ih(t).Jv(t)为t时刻蚊子幼虫的数量.类似地，t时刻成蚊的数量为Nv(t)，也将其分为易感蚊子类Sv(t)和感染蚊子类Iv(t)，从而Nv(t)=Sv(t)+Iv(t).参数Λh为人类易感者的新增率；μh和μv分别表示人类和成蚊的自然死亡率；δh表示人类的因病死亡率；θh表示染病的人经过治疗后变成易感者的发生率；r是单位时间内平均每只蚊子叮咬人的次数，βv为人被染病的蚊子叮咬后得病的概率，βh为蚊子叮咬了染病的人后得病的概率，于是人类的染病率为蚊子的染病率为参数bv为成蚊的产卵率，αv＞0表示蚊子幼虫发育为成虫的最大发生率；d0+d1Jv表示蚊子幼虫的死亡率，d0和d1分别为非密度制约和密度制约系数.

注意到，所有成蚊的数量满足下面的方程：

因此代替方程组（1），考虑如下系统：

1 无病平衡点和基本再生数

系统（3）中的第3和第4个方程中只含有Jv和Nv，故可先研究系统

引理1［9］如果，则系统（4）的平衡点(0，0)是一个全局渐近稳定的结点，且不存在正平衡点.如果则系统（4）的平衡点(0，0)是不稳定的，且存在唯一的正平衡点这里：

由引理1，设r^＞1，则系统（3）存在两个无病平衡点显然，E1一定是不稳定的.下面求系统（3）的基本再生数.通过计算，系统（3）在无病平衡点E0的雅可比矩阵为：

由文［10］，只要子矩阵D12的特征值都有负实部，则无病平衡点E0是局部渐近稳定的.矩阵D12的特征方程为：

程（6）的根都有负实部，定义：

于是，当R0＜1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的；而当R0＞1时，方程（6）必存在一个具有正实部的根，那么无病平衡点E0是不稳定的.R0即为系统（3）的基本再生数，它表示一个感染者在整个传染期内所传染的新的感染者人数.通常情况下，若R0＞1，疾病会进一步传播；若R0＜1，疾病最终会消失.

2 地方病平衡点的存在性

这里：

系统（3）存在地方病平衡点当且仅当方程（11）存在正根，下面分析方程（11）正根的存在性.

当R0＞1时，必有K3＜0，又K1＞0，所以此时方程（11）存在唯一的正根.

当R0=1时，方程（11）可写为此时方程（11）存在唯一的正根当且仅当K2＜0.记等价于即当R0=1时，如果M＜1，则方程（11）存在唯一的正根.

当R0＜1时，K3＞0，如果，则必有K2＞0，此时方程（11）无正根.下面讨论的情形.在这种情况下，如果，则方程（11）无正根.如果令Δ=K22-4K1K3，则方程（11）当Δ＜0时无正根，当Δ=0时存在唯一的正根，当Δ＞0时，存在两个正根.事实上，R0的临界值可由Δ=0解得：这里于是当时，方程（11）无正根；当时，方程（11）存在唯一的正根；当时，方程（11）存在两个正根.

根据上述分析，关于系统（3）的地方病平衡点的存在性有如下结论：

定理1如果R0＞1，那么系统（3）总是存在唯一的地方病平衡点.当时，如果R0≤1，则系统（3）无地方病平衡点；当时，如果R0=1，则系统（3）存在唯一的地方病平衡点；如果R0≤则系统（3）无地方病平衡点；如果，则系统（3）无地方病平衡点；如果则系统（3）存在唯一的地方病平衡点；如果R0＜1，则系统（3）有两个地方病平衡点，其中：

3 后向分支的存在性

因为系统（3）的第3和第4个方程是独立的，且由引理1可知，当r^＞1时所以系统（3）可以被简化成如下的3个方程：

令Sh=x1，Ih=x2，Iv=x3，并引入向量符号x=(x1，x2，x3)T和f=(f1，f2，f3)T，则方程（13）可以写成：

这里：当R0=1时如果

因 此，它 的 特 征 根 是λ1=-μh，λ2=-(σh+μv)和λ3=0.

令w=(w1，w2，w3)T，v=(v1，v2，v3)分 别 为 对 应于0特征值的非负右特征向量和左特征向量.容易再计算f在E′0的二阶偏导数：

而f在E′0的其他所有的二阶偏导数都等于0.于是，根据文［11］中的定理4.1所定义的系数a和b的公式，计算可得：

显然b＞0，而当时，a＞0.所以，当δh＞时，系统（3）会出现后向分支.

后向分支的发生说明，即使基本再生数R0＜1，疾病仍可能会流行.所以，当时，疾病的控制变得更加困难.

定理2当时，如果R0＜1，则系统（3）的无病平衡点E0是局部渐近稳定的；如果R0＞1，则系统（3）唯一的地方病平衡点是局部渐近稳定的，无病平衡点E0是不稳定的.

定理2表明，如果因病死亡率δh满足条件0≤，那么只要通过某些措施使得基本再生数R0＜1，疾病将会消亡.

4 平衡点的全局稳定性

关于无病平衡点E0的全局稳定性，有如下的结果.

定理3如果那么系统（3）的无病平衡点E0是全局渐近稳定的，这里：

证明令，那么存在一个充分小的数ε＞0，使得系统（13）的任意一个正解，那么∃T1＞0，使得对有因 为因 此∃T2：T2＞T1，使得对考虑李雅普

令G={(Sh，Ih，Iv)：V˙(Ih(t)，Iv(t))=0}，则G⊂{(Sh，}Ih，Iv)：Ih=0.再令H是系统（13）的包含于G中的最大的不变集，(Sh(t)，Ih(t)，Iv(t))是系统（13）在H中的任意一个解，那么对于∀t∈R，(Sh(t)，Ih(t)，Iv(t))有定义并且是有界的.

定理3表明，在系统（3）产生后向分支的情形

在定理3中，如果δh=0，则R^=1.于是，有如下推论1.

推论1假设δh=0，如果R0＜1，那么系统（3）的无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

由定理1可知，当R0＞1时，系统（3）存在唯一的地方病平衡点.此时，对于地方病平衡点的稳定性，有如下定理4.

定理4假设δh=0，如果R0＞1，那么系统（3）唯一的地方病平衡点是全局渐近稳定的.

证明由引理1可知，系统（4）的正平衡点内是全局渐近稳定的，考虑δh=0的情形，因为当t→∞时，因此只要考虑系统：的正平衡点的全局稳定性即可.由定理2和定理3易知，当δh=0，R0＞1时，系统（16）必存在唯一的正平衡点且是局部渐近稳定的，为了得到其全局稳定性，可应用Bendixson-Dulac判别法.取Dulac函数为同时，令：

5 数值模拟

本节给出一些数值例子来证实前面的一些理论结果.

例1选取参数av=0.7，uv=0.1，Λh=0.9，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=10，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.计算可得系统（3）的基本再生数R0≈1.2202＞1，因此存在唯一的局部渐近稳定的地方病平衡点.当t→∞时，系统（3）的解趋近于这个地方病平衡点，如图1.

图1 当R0＞1时，系统（3）存在唯一的稳定的地方病平衡点Fig.1 System（3）has a unique stable endemic equilibrium when R0＞1

例2选取参数uv=0.1，Λh=0.9，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=10，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.

图2 当且R0＜R*＜1时，系统（3）只有一个局部渐近稳定的无病平衡点Fig.2 System（3）has a locally asymptotically stable infection-free equilibrium when nd R0＜R*＜1

再取αv=0.45，此时R*＜R0=0.9754＜1时，系统（3）存在两个地方病平衡点，其中一个是不稳定的，一个是局部渐近稳定的.选取初始值为［10 20 10 10 10］时，系统（3）的解趋近于正平衡点，如图3（a）；选取初始值为［1 2 1 1 5］时，系统（3）的解趋近于无病平衡点，如图3（b）.

图3 当R*＜R0＜1时，系统（3）的解Fig.3 The solution of system（3）when R*＜R0＜1

例3选取参数av=0.4，uv=0.1，Λh=5，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=5，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.

图4 当时系统（3）的无病平衡点Fig.4 The infection-free equilibrium of system（3）when

6 结论

本文对一类蚊子分阶段疟疾传播模型进行了定性分析，研究了模型的地方病平衡点与无病平衡点的存在性、局部稳定性和全局稳定性，给出了基本再生数公式，并证明了后向分支的存在性.当后向分支出现时，尽管基本再生数R0＜1，疾病仍然有可能发生.可以控制基本再生数，当R0＜R*＜1时，可以使疾病消除，这里R*由（8）式给出.另外，由无病平衡点的全局稳定性，当R0＜时，也是可以使疾病消除的，这里由（11）式给出.通过上述分析，大力消灭蚊子幼虫，积极治疗病人降低因病死亡率都是可以控制疟疾的传播的.本文与文献［9］的研究虽类似，但是由于文［9］中的模型更为复杂，所以很难做全局分析.而本文将模型简化后，可以进行全局分析，并得到很好的结果.