基于埋置梁广义位移法的桩基拱式渡槽受力分析

胡荣金，皮家骏，潘世洋，黄永涛，刘晓青

(1. 中铁水利水电规划设计集团有限公司，江西 南昌 330029； 2. 常州工学院 土木建筑工程学院，江苏 常州213032； 3. 河海大学 水利水电学院，江苏 南京 210098)

拱式渡槽一般由桩基础、承台、排架、拱及槽身等组成，其中排架、拱和桩属于梁式结构。在采用有限元分析时，有些研究人员对所有结构一律采用等参单元来模拟[1-2]，由于梁的刚度与断面几何尺寸之间是高次非线性关系，因此需要大量的等参单元才能满足精度要求。用梁（线）单元模拟排架、拱和桩基等结构，则可以用较少的单元获得较高的精度，但需实现用梁单元模拟的排架、拱与用等参单元模拟的土体、承台及槽身之间的转角位移协调。广义位移法为解决这一问题提供了途径，广义位移是采用已知节点位移插值求解所得的未知节点位移[3]。钟万勰等[4-5]较早利用该方法解决了开口薄壁杆件的扭转分析、不可压缩材料的有限元分析等问题。廖雄华等[3]应用广义位移法进行了土与结构相互作用的计算分析。曹广德等[6-7]采用基于广义位移法的三维薄壳单元模拟了水工薄壁结构，提高了计算效率。

广义位移法中被插值的节点称为主节点，通过插值获得位移的节点称为从节点。上述文献中大多将梁、板单元节点作为主节点，梁或板上任意节点作为从节点。在求解锚杆在边坡中的加固效应、钢筋对混凝土裂缝限制作用等问题时，通常将锚杆或钢筋单元作为从节点来处理[8-14]，锚杆或钢筋只考虑线位移。将梁单元作为主节点的梁单元广义位移法，主要通过梁单元的位移获得梁表面的广义位移从而建立与等参单元之间的位移协调。这种方法精度高，但当需要模拟的梁单元较多时，有限元网格的单元数会随之大大增加。将梁单元节点作为从节点时，可视梁为埋置于等参单元内的单元，故称之为埋置梁广义位移法，其网格单元数可大大减少，计算效率明显提高，但带来的问题是如何获得梁转角的广义位移及能否保证计算精度。

本文从梁单元节点作为主节点的广义位移公式出发，推导梁单元节点作为从节点时，其转动位移与所埋置等参单元节点位移之间的埋置梁广义位移表达式。通过设置不同的网格尺寸和地基模量，研究讨论梁单元与等参单元之间采用不同主从节点的计算模式对桩基上拱式渡槽结构分析的适用性，并应用于某拱式渡槽的受力分析。

1 梁单元与等参单元之间位移转换的广义位移法

1.1 梁单元广义法

将梁单元节点作为主节点求解梁内任意节点广义位移方法简称为梁单元广义位移法。对于局部坐标

系下的梁单元，其单元的出口自由度可由式（1）表示：

式中：下标A、B分别代表梁单元上的两个出口端点；u,v,w代表线位移；θ代表转角位移。

梁单元中性轴上任一点i位移可表示为：

式中：Ni为单元形函数；N′为形函数对轴向的偏导数。形函数表达式如下：

式中：l为梁的长度。

梁单元中性轴i对应截面上任一点j的位移可根据梁的平面变形假设表述为：

将式（2）代入式（4）得：

式中：TMA和TMB分 别代表主节点A和B对应节点j的广义位移控制矩阵。

1.2 埋置梁广义位移法梁单元节点的广义位移

将埋置于等参单元内的梁单元节点的广义位移求解方法简称为埋置梁广义位移法。当梁单元埋置于等参单元内时，假定与梁相连处等参单元节点位于梁内（当等参单元尺寸较大时这一假定存在一定误差），则其位移可以用式（4）表述。当式（4）成立时，对式（4）求导，则对任一截面，可建立梁截面上转角位移

设埋置于等参单元的梁单元节点集合为：

式中：m为 这类节点的节点总数。对其中任一节点di可 找出包含该节点的所有等参单元G：

式中：gi为 包含该节点的等参单元数。设xyz为整体坐标系，与节点di相 连的梁单元的局部坐标系x¯y¯z¯ 中的x¯为梁柱单元的轴向，y¯和z¯根 据梁单元的截面特性参数定义（主要是根据惯性矩Iy、Iz选定）。设局部坐标与整体坐标之间的转换矩阵为R：

式中：n为 单元ej的节点总数。

节点di的 转动位移可表示成单元ej的节点位移的线性组合形式，根据式（5）有：

式中：k=1,2,···,n。

节点的平均平动位移和平均角位移为：

因为对整个系统的求解必须在整体坐标系下进行，故式（13）、（14）可转换成整体坐标下埋置于等参单元内的梁单元节点广义位移表达式：

式中：I为单位矩阵。

2 广义位移法对拱式渡槽受力分析的适用性

对桩基上的拱式渡槽，可以采用梁单元广义位移法或埋置梁广义位移法与等参单元组合求解其结构受力。显然，采用埋置梁广义位移法求解拱、桩、地基与承台的共同作用时，承台及地基的有限元网格剖分更加灵活，但由于采用梁单元模拟拱或桩等结构时，其与等参单元相交或埋置于等参单元内的梁节点位移是由等参单元节点位移间接求解的，因此等参单元的网格尺寸及刚度对计算结果的精度均有直接影响。本文构建一个渡槽简化模型，分析其单元网格尺寸及地基模量对计算结果精度的影响，并研究广义位移法的适用性。

2.1 模型及计算参数

为论证梁单元广义法或埋置梁广义位移法对桩基上拱式渡槽受力分析的适用性，设计一个包含桩基础、承台及排架的简化计算模型如图1和2所示。该模型中排架和桩截面尺寸均为2 m×2 m，桩长20 m，排架高10 m，承台长×宽×高为10 m×6 m×10 m；地基3个方向计算范围均取为50 m。考虑上部渡槽受槽身自重和风力作用，排架顶部受竖直向下和横向200.00 kN的外力作用。地基的弹性模量和泊松比分别取1.8 GPa和0.3，桩、承台及排架的弹性模量和泊松比均取为30 GPa和0.167。为研究埋置梁广义位移法适用性，对承台及地基水平截面上的单元网格分别采用1、2和4 m等3种不同尺寸，其中1 m单元网格如图1、图2所示，并考虑了地基模量变化的影响。具体分析步骤如下：

图1 渡槽简化模型及网格示意图（单元尺寸：1 m）Fig. 1 Simplified model and grid diagram of aqueduct(grid size： 1 m)

图2 排架-承台-桩基示意及网格图（1 m网格）Fig. 2 Bent-bearing platform-pile foundation system and grid diagram (1 m grid)

（1）对反映排架及桩实际尺寸的2 m单元网格模型，分别进行实体单元有限元法、梁单元广义位移法和埋置梁广义位移法计算分析，以此实际尺寸下的解作为模型基准解。

（2）网格尺寸影响研究：对1和4 m单元网格模型，采用埋置梁广义位移法进行计算分析。通过与基准解比较，分析网格尺寸对埋置梁广义位移法计算结果的影响。

（3）地基模量影响研究：对各种尺寸网格地基取用3种不同模量：18、180和1 800 MPa，分别采用埋置梁广义位移法或梁单元广义位移法进行计算分析。

（4）分析计算结果，得到梁单元广义位移法或埋置梁广义位移法的适用条件。

2.2 计算结果及分析

图3和4 为分别采用梁单元广义位移法和埋置梁广义位移法分析2 m单元网格（结构真实尺寸）模型的主要计算结果。以2 m网格进行实体单元计算所得的结果（图5），其趋势与梁单元结果趋势一致，在数值大小上有所不同。

图3 梁单元广义法2 m网格模型受力Fig. 3 Force diagram of the 2 m model using the generalized displacement method

图5 2 m网格实体单元模型受力Fig. 5 Force diagram of the 2 m entity-element model

当地基模量分别为18、180和1 800 MPa时，采用梁单元广义位移法和埋置梁广义位移法对1、2和4 m单元网格模型进行分析，表1为不同网格尺寸的梁单元在不同地基模量情况下计算结果的最值。可见，不同单元网格尺寸模型的计算结果分布一致，仅在数值大小上有所不同。埋置梁广义位移法2 m单元网格的计算结果与梁单元广义位移法结果的相对误差最小，其次为4 m网格，最次为1 m网格。说明当单元网格为2 m时，采用埋置梁广义位移法，既能有效提高计算效率，也可保证计算精度。进而可知，地基的单元网格尺寸越接近桩基实际尺寸，所得结果误差越小。此外，加密网格对相对误差的放大效应略高于粗网格。

图4 埋置梁广义位移法2 m网格模型受力Fig. 4 Force diagram of the 2 m model using the built-in beam generalized displacement method

由表1可知，梁单元广义位移法和埋置梁广义位移法对上部排架结构的计算结果基本一致；下部桩基结构计算结果的相对误差随着地基模量的增大而增大。由于桩一般用于软土地基加固，因此在分析软土地基中桩的受力时，可通过采用合理网格尺寸的埋置梁广义位移法来提高建模和计算效率。

表1 不同单元网格不同地基模量计算结果最值比较Tab. 1 Comparison of maximum results of different foundation moduli of different element grids

综合网格尺寸和地基模量影响分析可得：当以上部结构的分析为主时，可直接采用埋置梁广义位移法提高计算效率；当需要研究软基内下部结构受力特性时，可采用地基与桩断面相当的有限元网格并结合埋置梁广义位移法来进行计算分析。

续表1

3 某拱式渡槽结构受力分析

利用前述渡槽简化算例的研究结果，对某拱式渡槽做结构静力分析。某连拱多跨渡槽采用9孔60 m宽（单孔）水平简支梁，渡槽由槽身、排架、拱圈及槽墩等结构组成，槽身过水横断面为U形，半径2.0 m，直墙高3.5 m，侧壁厚0.2 m，底部厚0.4 m，下设多品排架支撑，排架支撑拱圈上，拱圈采用预制变截面梁，两端坐落在槽墩上，底部位于混凝土扩大基础。渡槽示意图见图6。根据渡槽结构图建立三跨渡槽有限元分析模型如图7所示，其中排架、拱结构和地基桩采用梁单元模拟，其余部分采用空间六面体单元进行离散。X轴为顺槽向，以指向渡槽下游为正；Y轴为横向，以迎风面为负、背风面为正；Z轴为竖向，以向上为正。模型共划分25 879个节点、20 482个单元，其中，槽身单元2 640个，梁单元271个。渡槽槽身预制混凝土强度等级为C40，现浇排架柱混凝土强度等级为C25，槽墩混凝土强度等级为C25；地基由上自下分为3层，第1层为壤土，第2层为砂壤土，第3层为岩体。各部分材料参数见表2。槽内加大水深2.93 m，横向风荷载根据《灌溉与排水渠系建筑物设计规范》（SL 482—2011）规定取值1.2 kPa。计算工况设置为施工吊装和满水位工况。

表2 各结构材料参数取值Tab. 2 Material parameters of different structures

图6 60 m拱式渡槽示意Fig. 6 Diagram of 60 m arch aqueduct

图7 三跨渡槽模型有限元网格Fig. 7 Finite element mesh of three-span aqueduct model

根据2.2节研究，由于主要分析上部结构受力且地基弹性模量不高，因此，采用埋置梁单元法对桩基进行计算分析，控制桩基部位的地基网格尺寸（边长）为1.2～2.4 m。

表3为各工况计算结果最值。图8为满水位运行工况下的主要结果，下面详细介绍满水运行工况下的计算结果。

图8 满水位运行工况下主要计算结果Fig. 8 Main calculation results under full water level operation condition

表3 各工况计算结果Tab. 3 Results of different working conditions

（1）满水位工况整体位移：顺槽向最大位移为-10.0 mm，出现在两侧桥墩顶部。横向最大位移为4.7 mm，出现在顺槽向第3号拱圈上槽身的中部。竖直方向最大的位移为-35.4 mm，出现在顺槽向第3号拱圈上槽身的中部。

（2）满水位工况拱圈结构：拱圈的最大轴力为-5 281.00 kN，最大横向剪力为-32.00 kN，最大纵向剪力为-4 380.00 kN，均出现在顺槽向第3号拱圈的拱端。拱圈的最大扭矩为85.00 kN·m，最大横向弯矩为2 653.00 kN·m，最大纵向弯矩为140.00 kN·m，均出现在顺槽向第3号拱圈的拱端。

（3）满水位工况桩基结构：桩基的最大轴力为-2 459.00 kN，最大横向剪力为-169.50 kN，最大纵向剪力为348.00 kN，均出现在顺槽向最后一个桥墩下。桩基的最大扭矩为-3.50 kN·m，最大横向弯矩为588.64 kN·m，最大纵向弯矩为408.00 kN·m。模型两侧桥墩未设置外侧的拱圈和槽身结构而受力不对称，因此导致两侧桥墩下的桩基结构受力不对称且最值均出现在顺槽向最后一个桥墩下。

在对渡槽进行受力分析时，通过合理选用梁单元广义位移法和埋置梁广义位移法，可以在保证计算精度的前提下，提高前处理和计算分析的计算效率。另外，由于梁单元分析的自身优势，在后处理时可以直接获取梁柱结构的结果分布，简化了后处理的步骤，进一步提高了计算效率。

4 结 语

本文建立了梁单元节点作为从节点时的广义位移表达式。从渡槽简化模型入手，分析了梁单元广义位移法和埋置梁单元广义位移法两种分析方法的计算特性，讨论了网格尺寸和地基模量对结构分析的影响。上部结构分析为主时，可直接采用埋置梁广义位移法提高计算效率；需要研究软基内下部结构受力变化时，可采用地基与桩断面相当的有限元网格并结合埋置梁广义位移法来进行计算分析。

在某渡槽工程中应用埋置梁广义位移法，进一步验证了本文所提方法在实际工程中的实用性。在渡槽受力分析时，通过合理选用埋置梁广义位移法，可以在保证计算精度的同时提高计算效率。