客货共运下机场线列车运行计划与货运分配方案协同优化

李竹君，柏赟，陈垚*

(1.中国铁道科学技术研究院，科学技术信息研究所，北京 100081；2.北京交通大学，综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044）

0 引言

机场线，如北京首都机场线和北京大兴机场线等，是一种接驳机场的城市轨道交通线路类型，在提升城市对外交通便捷度和整体辐射力方面承担了重要作用。机场线一般连接机场枢纽和市中心，沿途设站较少，客流来源较为单一，运输能力通常存在富余。随着城市货运需求快速增长，利用机场线富余运力开展货运服务，既有助于提升线路运营效益，也能缓解道路拥挤和尾气排放等问题。

城市公共交通货运服务设计是近些年的研究热点。SAVELSBERGH 等[1]指出，未来城市物流的最大机遇在于公共交通和城市货运的综合服务设计。近年，基于城市轨道交通的物流系统引起了学者的广泛关注。刘崇献[2]提出了北京非高峰时段利用地铁进行物流配送的技术要求和政策建议。周芳汀等[3]构建了地铁配送网络路径优化模型，优化列车班次的客户分配、出站点的客户分配及末端配送路径。周晓晔等[4]以配送距离最短为优化目标，构建了基于地铁-货车联运的配送路径优化模型。上述研究主要考虑优化末端配送，较少涉及列车开行和货物分配。

既有研究对高速铁路客货共运服务进行了探讨。刘天增[5]讨论了货运动车组开行方案设计原则。金伟等[6]研究了货流分配和高铁快运列车开行方案协同优化问题。由于系统能力和载运货物特点存在差异，高速铁路开行方案研究结果难以直接应用于城市轨道交通。部分学者对城市轨道交通客运列车开行方案进行了深入研究，探讨了快慢车[7]、多编组[8]及时刻表[9]等问题。客运列车开行方案优化集中于服务水平提升等目标[10]，但客货共运更注重经济性。目前，针对城市轨道交通客货共运列车开行方案的研究相对较少。OZTURK 等[11]和BEHIRI等[12]分别对增开货运专列和利用客车剩余空间两种货物运输形式，研究了列车时刻表优化问题。LI等[13]考虑客货共载和货运专列两种形式，优化了列车的停站方案和时刻表，但其货运列车编组固定，未考虑灵活编组形式，可能导致运能浪费，较难充分发挥客货共运服务的经济性。DI 等[14]在给定列车停站方案和时刻表基础上，研究地铁客货车厢编组和客货流量控制协同优化问题。戚建国等[15]考虑了大小编组形式下的列车时刻表和客货运输方案协同优化，但对货物运输特有的仓储作业和装卸过程未进行考虑。对于线路能力和车站用地紧张的城市轨道交通系统来说，有必要进一步深入刻画货物运输的特点和限制条件，探讨更高效的列车停站、编组和时刻表综合优化方法，以提升方案的可实施性。

鉴于此，本文在不改变客运列车既有开行方案的基础上，考虑客货共载和货物专列两种运输形式，针对货运列车灵活编组与停站模式，详细刻画货物仓储、装卸及运输等作业过程，研究列车开行方案与货物运输方案协同优化问题，以确定列车编组停站方案、时刻表以及各货物的运输列车，为进一步提升机场线运营效益提供理论支持。

1 问题描述

以某城市轨道交通机场线为研究对象。列车由始发站1出发，经由车站2,3,…,S-1，最终，抵达终点站S。沿线同时存在客运与货运需求，客运需求不因开展货运服务而发生变化。客运列车运输组织方案也固定不变。研究时段内，共有J次客运列车开行。客运列车j=1,2,…,J按原定列车开行方案和时刻表运行，以满足机场接驳乘客出行需求。客运列车j在车站s的到发时间表示为和。

货运需求用货单集合K表示。每个货单k∈K中的货物视为1个整体，具有相同的起讫点车站和时效要求。货单k由客户负责送达至起点站ok，送达时刻设为；再由列车运输至目的站dk，并在提货时刻被客户提取。表示起点站为车站s的货单集合，表示目的站为车站s的货单集合，Ks={k|ok≤s＜dk} 表示经过区间s到s+1 的货单集合。由于标准货运箱能便于城市轨道交通系统的装卸和运输作业，本文将货单k的货运需求量表示为qk个标准货运箱。

根据线路技术作业条件，采用客货共载和货运专列两种运输形式。客货共载是利用既有客运列车的车厢空余空间运输货物。每趟客运列车可提供固定的载货能力。货运专列是在客运列车运行图中插入货运列车以扩大货运能力。当增开货运列车时，需根据货单需求量与时效要求决策货运列车开行数量I以及各货运列车i=1,2,…,I的停站方案、编组数量与车站到发时刻。客货共载和货运专列运输形式如图1所示。

图1 机场线客货共运下两种货物运输形式Fig.1 Two formats of freight shipment on existing passenger trains or dedicated freight trains for mixed transport on airport express

为提高线路货运效益，运营企业应尽量增加货运收入并控制货运成本。由于机场线货运能力有限，应尽可能选择净收益高的货单，放弃部分时效要求高且净收益低的货单。同时，企业需综合考虑列车货运能力、车站仓储限制与装卸时间限制，科学决策货单运输分配方案，实现货运服务净收益最大化。

2 模型建立

2.1 模型假设

(1)同一货单中的货物为1 个整体，不可拆分，仅可由同一列车负责运输。

(2)货运列车与客运列车的运行速度相同。列车停站时需考虑列车停站时间和起停附加时间。

(3)各客货列车之间无越行行为。

2.2 模型建立

模型决策变量包括货运列车运行计划与货物运输分配方案两类。在货运列车运行计划方面，变量I表示货运列车开行数量，0-1变量表示货运列车i是否采用第f(f=1,2,…,F)种编组形式，0-1变量表示货运列车i是否在车站s停站。D(si)为货运列车i在车站s的发车时刻，为货运列车i在车站s的到达时刻。在货物运输分配方案方面，0-1变量表示货单k是否由客运列车j运输，0-1变量表示货单k是否由货运列车i运输，ns表示车站s所需的仓储容量。

模型目标为货运服务净收益Φ最大化，包括货物运输收入以及货物运输过程中花费的成本，即

目标函数包括3项，第1项为货物运输收入，表示为被客货列车运输的货单收益之和。其中，货单k的收益pk与货单内货运箱数、运输单价、运输距离以及单位装卸成本相关。第2 项为货运列车运行成本，与第f种编组类型货运列车在机场线上的运行成本cf相关。第3项为车站仓储成本，表示为单位货运箱的仓储成本cinv与各车站所需的仓储容量ns的乘积。车站仓储容量越大，所需仓储场地与人员管理的成本越高。

(1)货运列车时刻表约束

货运列车i在车站s的到达时刻与车站s-1的出发时刻之差为区间纯运行时分Rs-1与起停附加时分之和。其中，货运列车i在车站s-1 起动或车站s停车，则增加起车附加时分W(tra)和停车附加时分W(bra)，即

若货运列车i在车站s不停站，则货运列车i在车站s的出发时刻与到达时刻之差为0，表达为

式中：M为一个较大整数。

列车之间的行车间隔是保证列车安全的基本要求。货运列车之间的行车间隔约束可表达为

式中：hmin为最小行车间隔。

货运列车与客运列车之间的行车间隔表达为

式中：为客货列车的运行次序的0-1变量，若货运列车i晚于客运列车j出发，则Gij等于1；否则，为0。

(2)货运需求约束

货单可由某一货运列车i或客运列车j运输，或不被选择服务，即

若货单分配至货运列车运输，列车必须在货单起讫点停站，表达为

若货单分配至某列车运输，货物需在列车到达货物起点站时已完成送达并准备装车；列车需在客户提货时间前完成卸货并离开货物目的站，表达为

(3)列车载货容量约束

客运列车货运箱装载能力为C(0)。客运列车j在区间s到s+1的载货容量约束为

第f种编组类型货运列车的装载能力为Cf。货运列车i的载货容量约束为

各货运列车只允许采用一种编组类型，即

(4)车站装卸作业时间约束

车站的货物装卸作业必须在列车停站时间内完成。不同于文献[18]，本文考虑多队列同时进行货物装卸。vs表示客运列车在车站s可同时装卸作业的队列数量，取决于车站装卸工作人员的数量。v(sf)表示第f种编组类型货运列车在车站s可同时装卸作业的队列数量，与货运列车的车门数量也相关。将1 个货运箱从车内卸至站台或从站台装于车内视为1 个轮次，客货列车在车站s所需的装卸轮次数表示为整数变量e(sj)和e(si)，即

客货列车每轮次的装卸时间分别设为和tload，装卸作业总时间约束应小于列车停站时间，即

(5)车站仓储容量约束

车站仓储容量受到车站仓储空间等硬件设备的约束。为保障方案的可行性，车站s所需存储的最大货运箱数量ns不能大于车站仓储能力Ns，即

车站货运箱存储数量一直处于动态变化过程。当且仅当有货单送达至起点站或卸车至目的站的两种情形，车站存储货运箱数会增加。为确定车站需存储最大货运箱数ns，可分析某一货单m送达至起点站与卸车至目的站时刻下的车站货运箱数。

当货单m由客户送达至起点站om时，车站货运箱数可通过分析其他货单k(k≠m)在m送达时刻是否存储于车站om进行确定。对于起点站为om的货单k，若货单k的送达时间不晚于货单m的送达时刻，且货单k的装车时间晚于货单m的送达时刻，则在货单m送达时，货单k在车站om。因此，引入0-1变量和。对于目的站为om的货单k，若货单k的卸车时间早于货单m的送达时刻，且货单k的提货时间晚于货单m的送达时刻，则在货单m送达时，货单k在车站om。因此，引入0-1变量和。

当货单m被列车运输至目的站dm时，车站货运箱数可通过分析其他货单k(k≠m) 在m卸车时刻是否存储于车站dm进行确定。对于起点站为dm的货单k，引入0-1变量和。对于目的站为dm的货单k，引入0-1变量和。上述引入的0-1变量定义具体如表1所示。

表1 中间变量意义Table 1 Immediate variables

根据变量定义，各0-1变量需满足约束为

其中，由于货单的送达时刻与提货时刻为已知参数，和可提前计算，将其退化为参数。

在货单m送达至起点站时，车站om的货运箱数包括3 部分：起点站在om的货单还未被列车运走、目的站在om的货单还未被客户提走和货单m，约束为

同理，当货单m卸车至目的站时，车站dm的货运箱数约束为

3 求解算法

模型中，货运列车开行数量I为决策变量，直接求解比较困难。若决策变量I为定值，则模型可转化为混合整数线性规划问题，便于求解。因此，本文采用一维搜索方法求解模型。通过改变决策变量I的取值，并利用Gurobi求解给定I值下的子问题；再比较不同I值下的目标函数结果，得到最优解。

为提升搜索效率，模型设定存在一类编组f为0 的货运列车。该货运列车不提供货物运输能力，不占用线路通过能力(即不影响追踪间隔)，也不耗费列车运行成本。为保证0 编组货运列车不影响通过能力，模型中式(4)～式(6)改为

基于此设定，模型存在以下性质。

性质1 当I的取值增加时，目标函数值Φ(I)保持单调递增。

证明：当I值增加时，模型的解空间增大，目标函数值将提升或不变。当货物列车开行数量大于最优开行数量时，模型结果可开行0 编组货运列车，避免货运收益值下降。

性质2 目标函数值Φ(I)随I值增加呈现先严格单调递增，再维持不变；不会先增加，再不变，再增加。

证明：根据性质1，可有Φ(I+2)≥Φ(I)。假设Φ(I+2)＞Φ(I)，当货物列车开行数量为I+2 时，第I+1列货运列车开行可使货运收益提升，第I+2 列车不使货运收益下降。这意味着，当货物列车开行数量为I+1 时，必然存在可行解，使Φ(I+1)＞Φ(I)。因此，当有Φ(I+2)＞Φ(I)时，必然有Φ(I+1)＞Φ(I)。

根据模型性质，该一维搜索算法可避免初始值或步长过大的问题，提高搜索效率。同时，在一维搜索过程中，可不断增加I的取值。当目标函数值不再提升或已经出现编组为0 列车，表明算法已寻得全局最优解，可终止搜索。一维搜索算法流程如下。

Step 1 初始化。令货运列车开行数量I=I0，目标函数值Φ*=0，搜索步长ΔI。

Step 2 给定I值下，求解子问题。利用Gurobi求解混合整数线性规划模型，记录目标函数值Φ(I)。

Step 3 若Φ(I)大于Φ*，令Φ*=Φ(I)，且若未出现编组为0列车，I=I+ΔI，并返回Step 2；否则，进入Step 4。

Step 4 输出。输出当前最优解Φ*，程序结束。

需要说明的是，Step 2求解子问题时，模型仍包含两类非线性约束，第1 类是装卸时间约束中0-1变量的乘积，例如，式(18)；第2 类是车站仓储约束中0-1 变量与连续变量的乘积，例如式(23)。该两类非线性约束可经过线性化处理，采用Gurobi求解。

4 案例分析

以某市机场线为例，沿途设4 个车站，线路走向和区间运行时间如图2所示。以4:00-10:00为研究时段，客运列车机场站的发车间隔在10～30 min。列车最小安全行车间隔为4 min。

图2 某市机场线走向示意Fig.2 Route map of an airport express

根据客运列车的车辆轮廓尺寸(22.8 m×3.1 m×2.2 m)和车门设置情况，标准化货运箱的尺寸定为1.8 m×1.6 m×0.9 m，重量约为300 kg。客运列车载货容量为8 个货运箱，货运列车每节车厢载货容量为20个货运箱。根据车站空间，车站S1～S4 存储容量最多为50，20，20，50个货运箱。列车停站时有3 个车门位置可用于进行装卸，客运列车每车门装卸效率为24 s·轮次-1，货运列车为12 s·轮次-1，每轮次仅装或卸1个货运箱。

货运车辆单位运营成本约为15 元·车-1·km-1，包含：人工费、电费及维修养护费等。货物装卸成本为20 元·货运箱-1，仓储成本为10 元·货运箱-1，每个货运箱运价为10元·km-1。机场及沿线车站的货运需求如表2所示，包括：货运量，起讫车站以及货单送达起点站时间和预定从终点站提取的时间。

表2 某机场线沿线货运需求Table 2 Freight shipment demand of airport express

线路客运列车采用“7+1”编组形式，即7 节客运车厢，1 节行李车厢。考虑本条线路货运专列车底可能采用货运专用车辆或既有客车车辆，编组类型具有不确定性，因而本文设置两种编组情形。情形1，货车编组长度灵活，最小为1 节，最大等于客运列车编组8 节；情形2，货运编组仅可为4 节或8节编组。分别针对上述两个情形分析优化结果。

4.1 优化结果

在个人电脑(Inter Celeron CPU 3.20 GHz，RAM 8.00 G)，通过Python 3.0 编程，调用Gurobi 实现模型求解。根据求解思路和计算经验，变量I0初始值设为3，ΔI取值设为1。

情形1：货运列车编组长短均可

根据表2货运需求和设置参数，算法在124 s求解得到最优解。货运收益结果如表3所示。

表3 货运服务方案收益(情形1)Table 3 Profit of optimized freight service for case 1

优化方案的机场线货运净收益达13620 元，其中包含，货运收入21450元，装卸成本2380元，仓储成本1310 元，列车运行成本达4140 元。优化方案满足12 个货单运输需求，利用货运专列和客运列车分别服务9个和3个货单，共119个货运箱。

优化后的列车开行方案如图3所示，货单分配以涂色块和编号标签形式添加于图中列车运行线。

图3 客货共运列车开行方案和货单分配方案(情形1)Fig.3 Time-distance diagram for optimized service plans and freight shipment allocation for case 1

由图3可知，共增开了4 趟货运专列，分别在6:00-7:00间插入2趟，7:00-8:00 间插入1 趟，8:00-9:00 间插入1 趟。其中，第1 趟车在车站S2 跳站，第4趟车在车站S3 跳站，其余货运专列均站站停。为更好适应货运需求，第1趟车和第4趟车编组为2节车厢，第2 趟车和第3 趟车编组为1节车厢。

情形2：货运列车编组仅有4 节或8 节两种形式

根据货运编组形式限定，考虑表2货运量增至3 倍，车站仓储容量增至每车站200 个货运箱的情形下，货运服务优化方案和收益情况如表4和表5所示。

表4 货运服务方案收益情况(情形2)Table 4 Profit of optimized freight service for case 2

表5 货运服务方案收益情况(情形2)Table 5 Optimized service plans and freight shipment allocation for case 2

由表5可知，当列车编组类型相对固定为4 节或8 节时，共插入4 趟货运列车，分别有8 节和4 节编组，第2和第3趟车站站停，第1趟车在车站S2，第4趟车在车站S2 和S3 跳站不停。货运服务净收益为14510元，完成了7个货单运输，列车运行成本达到13800 元，接近货运收入的1 2。优化结果表明，编组类型的灵活程度将直接影响列车运行成本和货运服务收益率，对于提升货运服务经济性较为重要。

4.2 结果分析

为探究机场线客货共运优化方案特点和适用性，以案例情形1 为基础，进一步分析车站仓储容量、列车停站方案及编组模式对货运净收益的影响。

(1)车站仓储容量影响

为探究车站仓储容量对货运净收益影响，分别对车站容量从20调整至1000个货运箱下的净收益进行分析，结果如图4所示。其中，未调整车站容量均按20个计算。

由图4可知，在仓储容量无限大情形下，货运净收益计算后达到28702 元，比实际案例13620 元虚增了110.7%。说明车站仓储考虑对于货运服务质量有较大影响。同时，若车站S2 和S3、车站S1和S4 仓储容量分别增加至1000个单位箱，净收益分别达到8462 元和13620 元，后者比前者增加61.0%。结果表明，加大货物起讫点集中的车站仓储容量，更利于提升货运净收益。

图4 货运服务净收益随车站仓储的变化趋势Fig.4 Profit of freight service with varied inventory capacity of different stations

(2)停站方案影响

为探究货运列车停站方案对货运收益的影响，求解列车站站停模式下的优化方案，结果如图5所示，其中，列车停站至少1 min。

图5 站站停模式下的列车开行方案和货单分配方案Fig.5 Time-distance diagram for optimized operation plans and freight shipment allocation under condition that freight trains need to stop at each station

优化方案中，站站停模式净收益为12950 元，跳站停比站站停增加约5.2%。分析发现，承运货单相同，但多增开1趟货运专列导致列车运行成本增加。跳站停模式下，第1趟货运专列承运了货单1,10,18,20，且在车站S2 跳站通过；但站站停模式下，由于行程间隔要求，列车无法既停站又兼顾4个运单，因此，分两趟列车分别承运。优化列车停站可降低货运专列插线难度，影响货运服务方案效率。

(3)灵活编组与固定编组

灵活编组和固定编组模型优化效果的对比结果如表6所示。可知，固定编组和灵活编组方案列车运行成本虽相等，但是灵活编组的货运收入更多，净收益增加约8.4%。两种方案增开的货运车辆总数相等，但灵活编组方案中的第1、第2 和第4趟车覆盖了固定编组方案所有的承运货单，且第2趟车仅需1 节编组，增开的第3 趟车额外承运了货单14。说明灵活编组能够缓解固定编组方案的运力虚糜，更加充分利用列车输送能力。

表6 固定编组和灵活编组下的优化方案收益对比Table 6 Comparison of freight profit with fixed and unfixed train consists

为深入对比两种编组方式，在已考虑货运车辆每公里成本的基础上，额外考虑增开列车带来的司机成本等固定费用，按2名司机月薪成本和倒班计划向上估算约为200元·列-1，两种编组方式下优化方案收益如表7所示。

表7 固定编组和灵活编组下的优化方案收益对比(考虑固定开行费用)Table 7 Comparison of freight profit with fixed and unfixed train consists considering fundamental cost of train operation

由表7可知，考虑固定费用后，灵活编组方案净收益为12820元，仍略大于固定编组11964元，固定编组尽管少开行1 趟车，但灵活编组第2 和第3趟车编组更少，相对而言，更加节约了车辆走行成本，并且与未考虑固定费用的表6相比，优化方案的列车开行方案和货单分配未发生较大变化。

货运净收益在不同货运量和货运时效要求的变化如图6所示。将货运量分别增至1.5 倍和2.0倍后，灵活编组收益始终大于固定编组，且增长幅度约为5%～9%。若调整货运时效要求从40 min变化至120 min，灵活编组比固定编组增加约8%～35%。随着提货时间间隔的增加，增幅呈现先递减后平稳趋势。表明货物时效要求高时，灵活编组优势较为明显；随着时间间隔增大到一定程度，灵活编组的优势逐步稳定。

图6 固定编组和灵活编组在不同货运量和不同货物时效要求下的净收益对比Fig.6 Comparison of freight profit with fixed and unfixed train consists under with varied freight shipments varied time requirements

5 结论

本文针对机场线客货共运问题，考虑两种货运形式和货物仓储、装卸及运输等全过程环节，构建列车开行方案和货物分配协同优化模型，提出列车编组、停站、时刻表和货物分配的综合优化方法，并针对模型设计了一维搜索求解算法。

结合实际案例，分析了仓储容量约束、停站方案和编组对货运净收益的影响。结果表明，考虑仓储容量约束更加符合运输实际情形，不考虑仓储约束下的净收益比实际情形虚增110.7%；且增大货物起讫点较为集中车站的仓储容量，对提升净收益效果更为显著。相比于站站停模式，跳站停模式可降低货运专列插线难度，提升5.2%的货运净收益。相较于固定编组模式，灵活编组的货运净收益增加8.4%，在不同货运量和时效要求下，增幅在5%～35%波动，有效避免了运力浪费；且一定范围内，时效要求越高，灵活编组优势越明显。