考虑换乘异质性的城市轨道交通时刻表协同优化模型

孙会君，代佩伶，郭欣

(北京交通大学，综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044）

0 引言

随着城市出行需求不断增大，城市轨道交通网络也呈现网络化扩张态势。截至2020年底，在开通运营城市轨道交通的45 个城市中，已有22 个城市实现网络化运营[1]。城市轨道交通网络化运营不仅能合理配置交通资源，有效缓解城市面临的交通压力，也能提高乘客可达性，并满足乘客出行需求，是现代轨道交通系统发展的必然趋势。目前，换乘车站的客流组织不仅要满足乘客的乘降和换乘需求，更要关注乘客换乘体验，已成为城市轨道交通网络化运营客流组织的重点。运营企业如何考虑乘客差异化需求，开设运力运量匹配的行车方案，并同时满足乘客高需求和强体验服务，是目前亟需解决的主要问题[2]。

国内外学者针对如何提高轨道交通换乘效率进行了深入地研究，已有研究主要利用运筹学方法优化列车时刻表，提高换乘效率。SILVA-SOTO等[3]建立以乘客换乘等待时间和运营成本最小为目标的时刻表优化模型。白广争等[4]通过建立双目标时刻表优化模型调整乘客总换乘等待时间和换乘站间列车运行时间。CAO 等[5]提出以列车同步到达数量最大为目标的协同优化模型，并设计了基于遗传算法与局部搜索策略的算法对其求解。除考虑以上不同优化目标外，也有一些学者开始考虑特殊时段的时刻表优化问题，高峰期列车发车间隔调整范围较小，线路间有效衔接情况易达到可调范围内最优状态，由于发车间隔较小，乘客即使错过换乘列车，等待下一列车到达所花费的时间也很短，此阶段时刻表协同和列车衔接问题已得到充分解决，现有学者更注重于大客流现象，通常考虑如何提升高峰时段运能，或考虑客流量拥堵状态及结合客流控制方法建立时刻表优化模型。朱宇婷等[6]考虑高峰期拥挤和换乘客流具有脉冲性到达特征，增加列车和站台容量约束，建立城市轨道交通网络列车时刻表优化模型。YIN等[7]考虑高峰期换乘站过度拥挤问题，以最小化高峰时段车站拥挤度为目标，建立时刻表协调优化模型。卢亚菡等[8]针对高峰期车站拥挤问题，构建客流影响下的列车时刻表与客流控制协同优化模型。对于高峰期到平峰期的过渡期间，GUO等[9]考虑过渡期列车发车间隔及乘客出行需求会有显著变化，建立以列车同步到达数量最大为目标的客流过渡期的时刻表优化模型。另外，关于城市轨道交通首末班车换乘研究也日益增多，禹丹丹等[10]建立了以成功换乘客流量最大为目标的末班车协同接续优化模型，提高城市轨道交通网络末班车换乘接续效果。陈垚等[11]通过压缩非换乘站停站时间和区间运行时间，建立了基于换乘站停站时间延长的末班车时刻表优化模型。KANG 等[12]考虑城市轨道交通网络存在首班车换乘等待时间过长现象，以最小化列车到达时间差及错过换乘列车数量为目标，建立早班车时刻表优化模型。

现有研究未考虑换乘站性质和换乘需求特征，而在城市轨道交通网络化运营中，一个换乘站连接多个换乘流线，在多换乘流线组合条件下，换乘需求在不同的换乘流线上往往存在异质性，该异质性体现于换乘需求在不同时间、空间及出行方向存在明显差异，是从网络角度将乘客个体出行差异在时空维度上集计后的结果。若优化时刻表时忽略上述特征，极易导致换乘需求大的换乘方向聚集人数较多，使乘客乘车体验不佳并造成安全隐患；而对于换乘需求小的换乘方向，则会造成运力资源与运营成本的浪费。不仅会加重客流分布失衡问题，也不利于轨道交通系统发挥网络化运营优势，因此，考虑换乘站的换乘异质性是城市轨道成网运营下时刻表优化中的重要问题。

本文通过挖掘多换乘流线组合条件下乘客真实出行数据特性，提出一种考虑换乘异质性的城市轨道交通时刻表衔接优化模型，将量化换乘差异的协同度指标作为最大化列车同步次数的优先级权重，分级优化轨道交通路网中列车协同状态。本文充分发挥大数据优势，通过提升轨道交通网络列车有效同步衔接，增强运力运量匹配度，减少乘客换乘等待时间，提升城市轨道交通换乘效率和服务质量。

1 问题描述

针对平峰时段乘客出行通勤特征不显著，全网客流路径分布较为发散，换乘需求在时间和方向上差异明显，本文以平峰时段城市轨道交通网络为研究对象，综合考虑多换乘流线组合条件下换乘需求差异，即网络中换乘站的空间拓扑结构和换乘需求在时间和方向上异质性，依据协同度有差别的优化列车时刻表，尽可能地增加换乘需求大的换乘站内列车在同一时间窗到达的次数(列车同步次数)，最大化匹配换乘需求与运力资源，增强轨道交通线路间协调性，提升换乘效率和换乘体验。示例网络如图1所示。

图1 示例网络Fig.1 An example of network

网络有3条双向运行线路和3个换乘站a,b,c，各换乘站对应的换乘方向个数分别为24，8，8，图1画出了线路1上行方向与线路2、线路3下行方向下3个换乘站所有换乘方向，其中，同一规划时期由线路1上行方向换乘至线路2下行方向的乘客人数为100人，由线路1上行方向换乘至线路3下行方向的乘客人数为20人，前者是后者的5倍，由此可见，该网络中换乘站的网络拓扑结构和换乘方向存在差异，而现实生活中换乘客流需求在不同时间也具有波动性。

因此，本文以列车发车间隔、换乘站停站时间及换乘站间区间运行时间为决策变量，以最大化全网列车同步次数为目标函数，构建考虑换乘异质性的城市轨道交通衔接优化模型。

2 模型

2.1 模型假设及符号定义

为方便建模，本文对实际问题建立如下合理假设：

(1)在平峰时段，列车剩余容量充足，乘客均可以乘坐第一班到达的列车；

(2)假设乘客不会因为等待时间太长而改变交通方式及出行路径；

(3)假设同一换乘组合下所有乘客的换乘走行速度一致，不考虑乘客的性别、年龄及是否携带行李等差异。

模型参数与决策变量定义如表1所示。

表1 参数及变量定义Table 1 Definition of parameters and variables

2.2 目标函数

(1)协同度

城市轨道交通网络是由轨道交通站点和线路组成的有向拓扑网络，拓扑结构的空间异质性决定了网络中每个节点的重要程度不同。节点的度是复杂网络中评估节点重要程度的常见指标，描述与节点直接相连的节点数目，反映节点在空间上连接的复杂程度。对于站点s，其度Ks定义为

式中：站点s与s′之间有边直接相连，θss′=1；否则，θss′=0。

考虑换乘客流与本线客流强相关性，将换乘客流作为协同度中客流需求指标。城市轨道交通平峰时段划分具有时间波动性，例如，早、晚高峰时段都会向或由平峰时段过渡而来。鉴于此，本模型考虑换乘需求在时间和方向上的差异，在协同度中引入临近高峰时段换乘客流的乘客时间价值差异和平峰时段换乘客流需求差异，结合复杂网络中评估节点重要程度的常见指标——节点度，构建动态协同度指标实时量化换乘异质性。其中，本文基于实际数据特征，考虑高峰时段换乘客流量的空间差异能一定程度揭示哪些换乘方向属于通勤路径，而通勤路径与非通勤路径的乘客具有较大的时间价值异质性，通过引入高峰时段换乘客流量表示乘客时间价值差异。此外，考虑到不同平峰时段的乘客动态需求，引入高峰时段稳定的客流流向特性还可避免客流在平峰时段随机波动产生的误差。综上所述，协同度计算公式为

式中：α,β,γ分别为平峰t时段换乘客流量、高峰小时换乘客流量及节点度指标的权重，且满足α+β+γ=1，对于不同场景，则可依据对α,β,γ进行灵敏度分析以寻找不同场景下最佳取值；Kmax为该轨道交通网络中最大节点的度；和Pmax分别为该轨道交通网络中最大的平峰t时段换乘客流量和最大的高峰小时换乘客流量。

(2)目标函数

本模型引入0-1变量表示列车是否有效同步到达，该定义指不同线路的两列列车到达某站的时间间隔满足一定时间窗(同步换乘时间窗)。同步换乘时间窗的最小值应大于乘客换乘走行时间，最大值不应超过旅客等待容忍限度。本文将协同度引入目标函数，建立考虑换乘异质性的城市轨道交通时刻表优化模型，使其在计划范围内最大限度地优先实现换乘需求较大换乘方向的同步，即

2.3 约束条件

模型的约束为

式(4)为列车发车时间间隔约束；式(5)为列车停站时间约束；式(6)为换乘站点区间运行时间约束；式(7)为线路单向行程时间约束；式(8)和式(9)为列车到发时间计算公式；式(10)为换乘冗余时间计算式；式(11)为换乘等待时间计算式；式(12)和式(13)为判断列车是否有效同步到达；式(14)为0-1变量取值约束。

3 求解算法

本文针对此NP 难问题，构建混合整数非线性规划模型，为保证求解效率和解的质量，设计一种基于天牛须搜索的粒子群优化(BSO)启发式算法。其中，粒子群算法(PSO)考虑群体对单个粒子的影响，求解速度较高效；天牛须搜索算法(BAS)中个体独立学习周围信息能力较强[13]，本文结合BAS算法与PSO算法优势，提出一种改进的BSO算法，该算法以天牛须搜索算法(BAS)为基础，在天牛个体间引入粒子群算法(PSO)中粒子群中信息交互机制，使其在更新天牛群位置时既需要依据天牛触角搜索方式，还需要依据天牛个体极值和当前天牛群全局最优解。并结合PSO 中粒子速度对位置更新的影响，使其在每一次的迭代寻优中可以遍历更多的区域，提高算法的寻优速度。该算法的具体流程如下：

Step 1 初始化算法参数，其中，算法参数包括：学习因子、粒径、惯性权重、迭代次数以及每个天牛两须之间的距离d0。

Step 2 随机初始化每个天牛位置和速度，并用适应度函数f(x)计算所有天牛位置适应度。

Step 3 更新天牛个体最优解和全局最优解。

Step 4 计算每个天牛左右须位置及适应度，表达式为

式中：、分别为第k次迭代中天牛左须和右须位置；x(ik)为第i只天牛的位置；b为天牛前进方向的向量。

良好的资金流动关系保证了资金与供应物流间的相互衔接，伴随着资金流动所发生的信息流也能够作为物资供应段对供应链进行风险防控的主要依据。因此，在供应链运作顺畅的前提下，每次生产站段到货伴随有资金从物资供应段的流出，而对流出资金与现有库存资金的分类统计有助于物资供应段分析出库存动态，库存动态的变化除了可以作为下一年向物资处上报库存计划的重要参考依据外，该库存动态与生产站段生产计划的匹配程度还能够作为廉政风险防控的主要指标。

Step 5 根据式(16)更新由适应度生成的速度更新规则。

式中：vi为BSO 生成的更新率；sign()为判断符号的函数，用于规定当前搜索范围是左须还是右须方向。

Step 6更新所有天牛位置和速度，即

式中：、分别为在第k次迭代中粒子i在第d维所在位置和速度；、分别为粒子i和所有粒子在前k次迭代中最优位置的第d维；c1、c2、c3为学习因子；rand()为[0,1]之间的随机数。

Step 7 判断是否满足收敛条件，若满足，则结束迭代；反之，跳转至Step 2。

4 算例分析

4.1 基本信息

本文选取北京市轨道交通网络为研究对象，如图2所示，该网络有20 条双向运行线路，58 个换乘站，线路均采用单一交路的列车运行模式。以2019年10月25日10:00-11:00 为研究时段，对自动售检票系统刷卡数据进行清洗和分析，采用最短路径算法重构乘客出行路径，并统计各换乘站各换乘方向的平峰和高峰小时换乘客流量，经式(2)计算得出网络中58 个换乘站的协同度，如图3所示。表2为5号线上行方向各换乘站协同度计算结果。

表2 5号线上行方向各换乘站协同度计算结果Table 2 Coordination degree of each transfer station in upward direction of line 5

图3 全网换乘站协同度分布Fig.3 Distribution of coordination degree of transfer stations

4.2 结果分析

(1)算法效率

本文采用3 种算法(PSO、BAS 和BSO)对优化模型进行求解，参数设置如表3所示。表4为算法求解目标值及求解时间对比，其中，初始解均为原始时刻表。可见，BSO能在更短的时间找到本模型的全局最优解，具有更好的全局搜索能力和更高的计算效率。

表3 3种算法参数对比Table 3 Comparison of three algorithm parameters

表4 3种算法优化效率对比Table 4 Comparison of optimization efficiency of three algorithms

(2)优化结果

从图4(b)可知，优化后前2 列列车间的发车间隔较小，平均发车间隔从6 min减小至5.25 min，这是由于该时段是由高峰时段过渡而来，其换乘客流需求较大，需要提供相应的运力满足客流需求。图4直观展示了5号线上行方向平峰时段优化前后各车次发车间隔。可以看出，优化后发车间隔与高峰时段差距较小，更利于列车运输乘客能力从高峰时段平稳过渡至平峰时段。进一步分析城市轨道交通网络整体优化结果，如表5所示。

图4 5号线上行方向优化前后列车运行图Fig.4 Comparison of train diagrams before and after optimization in upward direction of line 5

由表5可知，相较于优化前，列车同步次数增加1362次，提升率达33.86%；乘客平均换乘等待时间减少0.76 min，提升率达22.75%。结果表明，本文模型在现有的发车能力下能有效提升列车在换乘站同步次数，并减少乘客换乘等待时间。

表5 优化前后结果对比Table 5 Comparison of results before and after optimization

北京市轨道交通网络20条线路上行和下行方向优化前后的列车同步次数对比情况如表6所示。由表6可知，优化后大部分线路上行和下行两个方向的列车同步次数都明显增加，全网上行方向提升率提升了32.53%，全网下行方向提升了35.35%。优化前后乘客平均换乘等待时间的累积概率分布如图5所示。

图5 优化前后乘客平均换乘等待时间累积概率图Fig.5 Cumulative probability of average passenger transfer waiting time before and after optimization

表6 优化前后各线路同步次数对比Table 6 Comparison of transfer synchronization events on each line before and after optimization

当乘客平均换乘等待时间小于7 min 时，优化后时刻表的累积概率曲线一直位于优化前时刻表的累积概率曲线上方，表明优化后整体换乘等待时间较小；而且优化后曲线更平滑，表明本文模型能通过匹配换乘乘客需求，优化列车同步到达次数，有效减少乘客换乘所需的平均等待时间，从而提高全网乘客换乘效率。

本文以4 号线下行方向为例分析换乘站协同度对列车同步次数的影响，如图6所示。可知，换乘站的列车同步次数占比与协同度具有同样的变化趋势，说明轨道换乘站协同度与列车同步次数联系较为紧密。

图6 4号线下行方向换乘站协同度及列车同步次数比例Fig.6 Coordinated degree of transfer station and transfer synchronization events in downward direction of line 4

西直门站不同换乘方向的协同度与列车同步次数的影响关系如图7所示，横坐标为西直门站所有换乘方向，其中，4-13表示从4号线换乘13号线。

图7 西直门站各换乘方向协同度和列车同步次数比例Fig.7 Coordination degree of each transfer direction and transfer synchronization events in Xizhimen station

由图7可知：随着不同换乘方向协同度的增大，列车同步到达次数占比也呈现增长的趋势，与优化前相比，换乘方向的列车同步次数比例平均增幅为16.67%；且可以看出协同度越大的换乘方向，列车同步到达次数比例的增幅越大，其中，协同度最大的2号线换乘4号线方向的列车同步次数比例增幅最大，达34.25%。

综上所述，本文选取的协同度能有效依据该站点在轨道交通网络中空间和换乘方向异质性对时刻表进行优化调整，从而增加换乘需求较大的换乘方向的列车同步次数。

5 结论

本文基于网络中换乘站的空间拓扑结构和换乘需求在时间和方向上的特征，通过构建量化换乘差异的协同度，建立一种考虑换乘异质性的时刻表优化模型，并设计BSO 算法作为本文所提的混合整数非线性规划模型的求解算法，并将该模型及算法应用于北京轨道交通网络进行验证。结果表明：

(1)本文模型通过对列车发车间隔、换乘站停站时间及换乘站间区间运行时间进行决策，优化后的列车时刻表不仅能显著提高全网列车同步到达次数，同时，能有效减少乘客换乘等待时间。经案例验证得知，北京轨道交通网络列车同步次数提升达33.86%；乘客平均换乘等待时间减少0.76 min，提升率达22.75%。

(2)本文模型能有效依据协同度分级优化轨道交通路网中列车协同状态，提升时刻表和乘客换乘出行需求间的匹配度。分析案例发现，该模型能根据换乘需求在时间上的波动调整列车发车间隔，对于换乘需求集中的时段，优化后的时刻表中列车运行线更密集，发车间隔更小，优化后5 号线上行方向前7 列列车的平均发车间隔从6 min 减小至5.25 min。并能根据换乘需求在方向上的差异优化列车同步到达次数，对于换乘需求越大的方向，列车同步到达次数比例越大，西直门站协同度最大的2号线换乘4号线方向的列车同步次数比例增幅达34.25%。

(3)本文所提BSO算法具有较好的全局搜索能力和求解效率。对于算例中大规模北京轨道交通网络，BSO 算法可以在52.24 s 内找到最优解，求解效率优于PSO和BAS算法。