凸无限规划的松弛Lagrange全对偶及最优性条件*

郑晴慧，胡星星，王仙云

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

(1)

特别地，有学者利用闭性条件或次微分类条件，建立了问题(1)与其Lagrange对偶问题

(2)

例如,Bot等[1]在函数下半连续的前提下，利用闭性条件和次微分性质，等价刻画了凸优化问题的Lagrange强对偶和全对偶;Fang等[3]在函数不一定连续的假设下，引入弱性约束规范条件，建立了原问题与其对偶问题之间的最优性条件和Lagrange全对偶.近来,Dinh等[5]利用上图类条件，等价刻画了问题(1)与其松弛型Lagrange对偶问题

(3)

受文献[5-6]的启发，笔者拟利用函数的次微分性质，引入新的弱性约束规范条件，来刻画凸优化问题(1)与其松弛型Lagrange对偶问题(3)之间的全对偶及最优性条件.

2 基础知识

设X是凸Hausdorff拓扑向量空间，X*为X的共轭空间，赋予弱*拓扑w*(X*，X).x*，x表示泛函x*∈X*在x∈X处的值，即x*，x=x*(x).设Z是X的非空凸子集，clZ，riZ和coneZ分别表示Z的闭包、相对内部和凸锥包.NZ(z0)表示Z在z0点的法锥，

NZ(z0)∶={x*∈X*:≤0，∀z∈Z}.

令δZ表示Z的示性函数，

domf∶={x∈X:f(x)<+∞}，

epif∶={(x，r)∈X×R:f(x)≤r}，

显然，f*是真凸下半连续函数，epif*是弱*闭集.

定义函数f在x∈domf的次微分为

∂f(x)∶={x*∈X*:f(y)-f(x)≥x*，y-x，∀y∈X}.

特别地，由锥的定义有

NZ(x0)=∂δZ(x0) ∀x0∈Z.

由共轭函数的定义可知以下Young-Fenchel不等式成立:

f(x)+f*(x*)≥x*，x∀(x，x*)∈X×X*.

由文献[7]中的定理2.4.2(ⅱ)可知，对于∀x∈domf，以下关系成立:

x*∈∂f(x)⟺f(x)+f(x*)=x*，x∀(x，x*)∈X×X*.

进一步，由文献[7]中的定理2.5.7可知

(4)

∂f(a)+∂h(a)⊆∂(f+h)(a) ∀a∈domf∩domh.

(5)

∂f(a)+∂h(a)=∂(f+h)(a) ∀a∈domf∩domh.

(6)

3 最优性条件

设A表示系统{x∈C;ft(x)≤0，t∈T}的可行解集，即A∶={x∈C:ft(x)≤0，t∈T}.若无特殊说明,本研究均假设A∩domf≠Ø.设x∈domf，为了简便起见，记

命题1设x∈domf∩A，则

Λ1(x)⊆Λ2(x)⊆∂(f+δA)(x).

(7)

(8)

于是由(8)式可知

p，y-x≤(f+δA)(y)-(f+δA)(x) ∀y∈X，

从而p∈∂(f+δA)(x)，故Λ2(x)⊆∂(f+δA)(x).证毕.

为了刻画凸优化问题(1)的最优性条件，先引入以下约束规范条件：

定义1设x0∈domf∩A.

(ⅰ)称系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足松弛(BCQ)f条件，如果

∂(f+δA)(x)=Λ1(x).

(9)

称系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(BCQ)f条件，如果(9)式对于∀x∈domf∩A都成立.

(ⅱ)称系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足松弛(WBCQ)f条件，如果

∂(f+δA)(x)=Λ2(x).

(10)

称系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(WBCQ)f条件，如果(10)式对于∀x∈domf∩A都成立.

(2)由命题1可知，系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(BCQ)f条件，当且仅当对于∀x∈domf∩A，有

∂(f+δA)(x)⊆Λ1(x)，

系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(WBCQ)f条件，当且仅当对于∀x∈domf∩A，有

∂(f+δA)(x)⊆Λ2(x).

(11)

(3)由(7)式可知，松弛(BCQ)f可以推导出松弛(WBCQ)f.

定义2设x0∈domf∩A.称系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足(KKT)f条件，如果

称该系统满足(KKT)f条件，如果对于∀x∈domf∩A，系统{f，δC;ft:t∈H}在x处满足(KKT)f条件.

注2由文献[7]中的定理2.5.7可知，系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足(KKT)f条件，当且仅当

0∈∂(f+δA)(x0)⟺0∈Λ1(x0).

进一步由命题1可知，系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足(KKT)f条件，当且仅当

0∈∂(f+δA)(x0)⟹0∈Λ1(x0).

(12)

定理1系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(BCQ)f条件，当且仅当对于∀p∈X*，该系统满足(KKT)f+p条件.

证明设x0∈domf∩A.由定义2可知，对于∀p∈X*，系统{f，δC;ft:t∈H}在x0处满足(KKT)f+p条件，当且仅当

即

-p∈∂(f+δA)(x0)⟺-p∈Λ1(x0) ∀p∈X*.

(13)

(13)式成立当且仅当∂(f+δA)(x0)=Λ1(x0).证毕.

由定理1可得以下推论:

推论1若系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(BCQ)f条件，则该系统满足(KKT)f条件.

注3在{f;ft，t∈T}是下半连续函数、C是闭凸集的假设下,Dinh等[6]利用(CC)条件

证明了推论1.由文献[1]中的注11可知，在上述假设下,(CC)条件严格强于松弛(BCQ)f条件，因此定理1改进了文献[6]的相关结论.

定理2设x0∈domf∩A，则下列命题等价：

(ⅰ)

(14)

(ⅱ)对于任意的真凸函数f，若f在x0∈domf∩A点连续，则系统{δC;ft:t∈H}在x0点满足(KKT)f条件.

(ⅲ)对于∀p∈X*，系统{δC;ft:t∈H}在x0点满足(KKT)p条件.

证明(ⅰ)⟹(ⅱ).假设(i)成立.设f为真凸函数且f在x0点连续，又设0∈∂(f+δA)(x0).由(6)式可得0∈∂f(x0)+NA(x0)，于是由(14)式可得

即0∈Λ1(x0).因此(12)式成立，从而系统{δC;ft:t∈H}在x0点满足(KKT)f条件.

(ⅱ)⟹(ⅲ).显然成立.

(ⅲ)⟹(ⅰ).假设(ⅲ)成立.由定理1可知，(ⅰ)成立(f=0的情形).

证毕.

4 全对偶

设p∈X*，接下来主要研究凸优化问题

(15)

及其Lagrange对偶问题

(16)

之间的全对偶.

令v1，v3，v15，v16分别表示问题(1)、问题(3)、问题(15)和问题(16)的最优值，S1，S3，S15，S16分别表示问题(1)、问题(3)、问题(15)和问题(16)的最优解集.

定义3(ⅰ)设S1非空，称问题(1)和问题(3)之间的松弛Lagrange全对偶成立，如果v1=v3且问题(3)有最优解.

(ⅱ)称问题(1)和问题(3)之间的松弛Lagrange稳定全对偶成立，如果对于∀p∈X*，问题(15)与问题(16)之间的松弛Lagrange全对偶成立.

定理3下列命题等价：

(ⅰ)系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(WBCQ)f条件.

(ⅱ)问题(1)与问题(3)之间的松弛Lagrange稳定全对偶成立.

证明(ⅰ)⟹(ⅱ).设x0∈domf∩A且x0∈S16.由(4)式可知

0∈∂(f+p+δA)(x0)，

即

-p∈∂(f+δA)(x0)，

由次微分的定义可知

即

注意到

(ⅱ)⟹(ⅰ).设x0∈domf∩A，由命题1可知，要证(10)式成立，只需证(11)式成立.为此，设-q∈∂(f+δA)(x0)，则x0∈S16，即

证毕.

由定理3可得以下结论：

推论2若系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(WBCQ)f条件，则问题(1)与其松弛型对偶问题(3)之间的Lagrange全对偶成立.

注5在{f;ft，t∈T}是下半连续函数、C是闭集的假设下,Dinh等[5]证明了推论2，而本研究是在没有下半连续和闭集的假设下证明了推论2，因此定理3改进了文献[5]中的相关结论.

定理4设x0∈domf∩A，则以下命题等价：

(ⅰ)

(17)

(ⅱ)对于任意的真凸函数f，若f在x0点连续且x0∈S1，则

(18)

(ⅲ)对于∀p∈X*，若x0∈Sp，则

证明(ⅰ)⟹(ⅱ).假设(ⅰ)成立.设函数f在x0点连续且x0∈S1，则由引理1可得

∂(f+δA)(x0)=∂f(x0)+NA(x0).

于是由(17)，(5)式可得

故由注1(ⅱ)可知,系统{f，δC;ft:t∈H}满足松弛(WBCQ)f条件，从而由推论2可知(18)式成立.

(ⅱ)⟹(ⅲ).显然成立.

(ⅲ)⟹(ⅰ).假设(ⅲ)成立.由定理3可知(17)式成立(f=0的情形).

证毕.